Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств
Материал из MachineLearning.
(→Особенности данного распределения) |
м |
||
| (4 промежуточные версии не показаны) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | {{stop| | ||
| + | Похоже, что статья написана на основе источников с устаревшей терминологией. | ||
| + | При современной интерпретации терминов многие фразы не имеют смысла либо ошибочны. | ||
| + | В частности: "порядок следования элементов в подмножестве", "вероятность распределения", "математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей".. | ||
| + | |||
| + | В целом есть большие сомнения, что кто-нибудь сможет понять, о чём тут вообще написано.. | ||
| + | --[[Участник:Nvm|В.М. Неделько]] 20:01, 9 сентября 2015 (MSD) | ||
| + | }} | ||
| + | |||
==Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств == | ==Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств == | ||
| Строка 633: | Строка 642: | ||
== Общий и частный случаи мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств == | == Общий и частный случаи мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств == | ||
| - | Общий случай | + | Общий случай мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств имеет место, когда одно и более подмножеств содержит хотя бы одну выборку объёмом не менее двух элементов. |
Частный случай этого распределения имеет место, когда выборки различимы между собой и принимают нулевые и/или единичные значения, а число выборок не меньше числа случайных величин распределения. | Частный случай этого распределения имеет место, когда выборки различимы между собой и принимают нулевые и/или единичные значения, а число выборок не меньше числа случайных величин распределения. | ||
| Строка 641: | Строка 650: | ||
В основу получения вероятностей этого распределения положен алгоритм Феллера, суть которого изложен на с.60 <ref>''Феллер В.'' Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с. </ref>. | В основу получения вероятностей этого распределения положен алгоритм Феллера, суть которого изложен на с.60 <ref>''Феллер В.'' Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1984. 527 с. </ref>. | ||
| - | Произвольный исходный набор, например, 22111100 (таблица 2, 3-я строка сверху), разбивается на три группы, в каждой из которых выборки равных объёмов, а именно: 22, 1111 и 00 (2, 4 и 2). Такое разбиение может быть выполнено < | + | Произвольный исходный набор, например, 22111100 (таблица 2, 3-я строка сверху), разбивается на три группы, в каждой из которых выборки равных объёмов, а именно: 22, 1111 и 00 (2, 4 и 2). Такое разбиение может быть выполнено <tex>\frac{8!}{2!4!2!}=420</tex> способами. Каждому из этих 420-ти различимых наборов соответствует вероятность <tex>\frac{8!}{2!2!}8^{-8}=0,000600</tex>. Общая вероятность 420-ти различимых наборов (из исходного набора 22111100) составит <tex>\frac{8!}{2!2!}8^{-8}\frac{8!}{2!4!2!}=0,252432222</tex>. |
Аналогично рассчитываются вероятности для всех других наборов таблицы 3. Жирным шрифтом в таблицах 3 и 4 выделены максимумы, косым шрифтом - минимумы. | Аналогично рассчитываются вероятности для всех других наборов таблицы 3. Жирным шрифтом в таблицах 3 и 4 выделены максимумы, косым шрифтом - минимумы. | ||
== Принцип получения математического ожидания мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств== | == Принцип получения математического ожидания мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств== | ||
| - | Математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств находится из тех же соображений, что и глобальный максимум любого | + | Математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств находится из тех же соображений, что и глобальный максимум любого мультиномиального распределения, а именно, чем меньше знаменатель мультиномиального коэффициента, тем больше вероятность. Отсюда в искомом наборе должны присутствовать выборки объёмами 0 и 1, а сам набор должен быть как можно большего размера с тем, чтобы разместить в нём как можно больше нулевых и единичных выборок. |
В общем случае из-за наличия нулевых выборок это выполнить невозможно без добавления выборок большего объёма. Такими могут быть только выборки с объёмами по два элемента исходного множества. Следовательно, выборками объёмами 0, 1 и 2 элемента можно описать любой набор максимального размера, и глобальный максимум вероятностей различимых наборов необходимо искать в наборах, в которых имеются три группы выборок с объёмами 0, 1 и 2 элементов (см.таблицу 2, 3-ю строку сверху). Единственное исключение составляет случай биномиального распределения. Его набор можно заполнить только одними единицами: 11. | В общем случае из-за наличия нулевых выборок это выполнить невозможно без добавления выборок большего объёма. Такими могут быть только выборки с объёмами по два элемента исходного множества. Следовательно, выборками объёмами 0, 1 и 2 элемента можно описать любой набор максимального размера, и глобальный максимум вероятностей различимых наборов необходимо искать в наборах, в которых имеются три группы выборок с объёмами 0, 1 и 2 элементов (см.таблицу 2, 3-ю строку сверху). Единственное исключение составляет случай биномиального распределения. Его набор можно заполнить только одними единицами: 11. | ||
| - | В первом приближении группы двоек, единиц и нулей принимаются равными. Максимальная длина набора делится на 3. При этом, если число делится на 3 с остатком, то остаток добавляется в группу единиц. Например, в таблице 2 число случайных величин (восемь) на три делится с остатком (< | + | В первом приближении группы двоек, единиц и нулей принимаются равными. Максимальная длина набора делится на 3. При этом, если число делится на 3 с остатком, то остаток добавляется в группу единиц. Например, в таблице 2 число случайных величин (восемь) на три делится с остатком (<tex>\frac{n}{3}=\frac{8}{3}\approx2,667</tex>). Получается две группы по две двойки и по два нуля, а оставшаяся группа будет содержать четыре единицы: <tex>22111100 </tex>, поскольку 1!=1. Соответственно глобальный максимум вероятностей будет <tex> k_{n=8}=0,252</tex> (таблица 3, 3-я строка сверху). |
==Литература== | ==Литература== | ||
Текущая версия
| Похоже, что статья написана на основе источников с устаревшей терминологией.
При современной интерпретации терминов многие фразы не имеют смысла либо ошибочны. В частности: "порядок следования элементов в подмножестве", "вероятность распределения", "математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей".. В целом есть большие сомнения, что кто-нибудь сможет понять, о чём тут вообще написано.. --В.М. Неделько 20:01, 9 сентября 2015 (MSD) |
Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств
Особенности данного распределения
1. Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств (левая часть таблицы 1 и таблица 2) имеет место, когда его подмножества различимы только местоположением элементов в них. В общепринятом понимании мультиномиальное распределение — это мультиномиальное распределение с упорядоченными подмножествами, а именно, то распределение, в котором учитывается только порядок следования самих подмножеств, но не учитывается порядок следования элементов в каждом подмножестве (таблица 3).
| Номер | Различимые элементы | Наразличимые элементы | ||||
| Комбинации | Вероятность различимой комбинации | Неразличимая комбинация | Вероятность неразличимой комбинации | |||
| 1 | a | c | e | |||
| 2 | a | e | c | |||
| 3 | c | a | e | 0,01333... | * * * | 0,08 |
| 4 | c | e | a | |||
| 5 | e | a | c | |||
| 6 | e | c | a | |||
| Значения восьми случайных величин | Знаменатель вероятности | Вероятность распределения | Дисперсия распределения | Экстремумы распределения | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 8!×1! | 0,240×10-2 | 3,937 | 1-й локальный максимум |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 6!×2! | 0,673×10-1 | 3,172 | 1-й локальный минимум |
| 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 2!4!2!×2!2! | 0,252 | 2,625 | Математическое ожидание (второй локальный максимум) |
| 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3!2!3!×2!2!2! | 0,168 | 2,297 | |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4!4!×2!2!2!2! | 0,150×10-3 | 2,187 | 2-й локальный минимум |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 5!2!×3! | 0.400×10-3 | 2,516 | 3-й локальный максимум |
| 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2!4!×3!2!2! | 0,200×10-3 | 2,078 | |
| 3 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!5!×313121 | 0,100×10-3 | 1,859 | |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4!3!×4! | 0,334×10-4 | 1,641 | 3-й локальный минимум |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2!4!×4!2! | 0,100×10-3 | 1,969 | 4-й локальный максимум |
| 4 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!5!×4!2!2! | 0,500×10-4 | 1,641 | |
| 4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5!×4!3! | 0,250×10-4 | 1,531 | |
| 4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5!×4!3! | 0,250×10-4 | 1,531 | |
| 4 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×4!4! | 0,167×10-5 | 1,422 | |
| 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!4!×3!2!3! | 0,417×10-5 | 1,312 | 4-й локальный минимум |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3!4!×5! | 0,200×10-4 | 1,531 | 5-й локальный максимум |
| 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5!×5!2! | 0,100×10-4 | 1,312 | |
| 5 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×5!3! | 0,334×10-5 | 1,203 | |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!5!×6! | 10-5 | 1,203 | |
| 6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×6!2! | 0,167×10-5 | 1,094 | |
| 7 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×7! | 0,477×10-6 | 0,984 | |
| 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 7!×8! | 0,596×10-7 | 0,875 | |
| Значения восьми случайных величин | Знаменатель вероятности | Вероятность распределения | Дисперсия распределения | Экстремумы распределения | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 8!×1! | 0,240×10-2 | 3,937 | Математическое ожидание |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 6!×2! | 0,120×10-2 | 3,172 | |
| 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 2!4!2!×2!2! | 0,600×10-3 | 2,625 | |
| 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3!2!3!×2!2!2! | 0,300×10-3 | 2,297 | |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4!4!×2!2!2!2! | 0,150×10-3 | 2,187 | 1-й локальный минимум |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 5!2!×3! | 0.400×10-3 | 2,516 | 1-й локальный максимум |
| 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2!4!×3!2!2! | 0,200×10-3 | 2,078 | |
| 3 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!5!×313121 | 0,100×10-3 | 1,859 | |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4!3!×4! | 0,334×10-4 | 1,641 | 2-й локальный минимум |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2!4!×4!2! | 0,100×10-3 | 1,969 | 2-й локальный максимум |
| 4 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!5!×4!2!2! | 0,500×10-4 | 1,641 | |
| 4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5!×4!3! | 0,250×10-4 | 1,531 | |
| 4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5!×4!3! | 0,250×10-4 | 1,531 | |
| 4 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×4!4! | 0,167×10-5 | 1,422 | |
| 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!4!×3!2!3! | 0,417×10-5 | 1,312 | 3-й локальный минимум |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3!4!×5! | 0,200×10-4 | 1,531 | 3-й локальный максимум |
| 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5!×5!2! | 0,100×10-4 | 1,312 | |
| 5 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×5!3! | 0,334×10-5 | 1,203 | |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2!5!×6! | 10-5 | 1,203 | |
| 6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×6!2! | 0,167×10-5 | 1,094 | |
| 7 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6!×7! | 0,477×10-6 | 0,984 | |
| 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 7!×8! | 0,596×10-7 | 0,875 | |
2. В данном распределении не выполняются технические задачи и технические результаты, принятые и описанные в [1] для общепринятого мультиномиального распределения с упорядоченными подмножествами.
3. Отсутствует однозначность между номером случайной величины полиномиального распределения и её числовым значением.
4. Дисперсия данного мультиномиального распределения не зависит от различимости элементов его подмножеств и совпадает с дисперсией обычного мультиномиального распределения (с различимыми подмножествами).
Общий и частный случаи мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Общий случай мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств имеет место, когда одно и более подмножеств содержит хотя бы одну выборку объёмом не менее двух элементов.
Частный случай этого распределения имеет место, когда выборки различимы между собой и принимают нулевые и/или единичные значения, а число выборок не меньше числа случайных величин распределения.
Принцип получения вероятностей мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
В основу получения вероятностей этого распределения положен алгоритм Феллера, суть которого изложен на с.60 [1].
Произвольный исходный набор, например, 22111100 (таблица 2, 3-я строка сверху), разбивается на три группы, в каждой из которых выборки равных объёмов, а именно: 22, 1111 и 00 (2, 4 и 2). Такое разбиение может быть выполнено способами. Каждому из этих 420-ти различимых наборов соответствует вероятность
. Общая вероятность 420-ти различимых наборов (из исходного набора 22111100) составит
.
Аналогично рассчитываются вероятности для всех других наборов таблицы 3. Жирным шрифтом в таблицах 3 и 4 выделены максимумы, косым шрифтом - минимумы.
Принцип получения математического ожидания мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств
Математическое ожидание как глобальный максимум вероятностей мультиномиального распределения с упорядоченными элементами подмножеств находится из тех же соображений, что и глобальный максимум любого мультиномиального распределения, а именно, чем меньше знаменатель мультиномиального коэффициента, тем больше вероятность. Отсюда в искомом наборе должны присутствовать выборки объёмами 0 и 1, а сам набор должен быть как можно большего размера с тем, чтобы разместить в нём как можно больше нулевых и единичных выборок.
В общем случае из-за наличия нулевых выборок это выполнить невозможно без добавления выборок большего объёма. Такими могут быть только выборки с объёмами по два элемента исходного множества. Следовательно, выборками объёмами 0, 1 и 2 элемента можно описать любой набор максимального размера, и глобальный максимум вероятностей различимых наборов необходимо искать в наборах, в которых имеются три группы выборок с объёмами 0, 1 и 2 элементов (см.таблицу 2, 3-ю строку сверху). Единственное исключение составляет случай биномиального распределения. Его набор можно заполнить только одними единицами: 11.
В первом приближении группы двоек, единиц и нулей принимаются равными. Максимальная длина набора делится на 3. При этом, если число делится на 3 с остатком, то остаток добавляется в группу единиц. Например, в таблице 2 число случайных величин (восемь) на три делится с остатком (). Получается две группы по две двойки и по два нуля, а оставшаяся группа будет содержать четыре единицы:
, поскольку 1!=1. Соответственно глобальный максимум вероятностей будет
(таблица 3, 3-я строка сверху).
Литература
См. также
- Распределение вероятностей
- Бернулли распределение
- Распределение биномиальной выборки
- Биномиальное распределение одной случайной величины
- Биномиальное распределение Буняковского
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Биномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств
- Биномиальное распределение: парадоксы
- Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Мультиномиальное распределение с упорядоченными элементами подмножеств
- Мультиномиальное распределение: парадоксы
