Барицентры и их приложения (регулярный семинар)

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Описание семинара:

Многие возникающие на практике многомерные ряды данных можно представить как меры на некотором метрическом пространстве (распределение интенсивности по полю изображения или по объему томограммы, пикселов - в цветовом пространстве и т.п.). Задачи анализа таких данных требуют подходящей операции усреднения, но множество мер на метрическом пространстве само допускает лишь метрическую структуру ("метрика Вассерштейна"): естественных векторных операций, необходимых для усреднения, на нем нет. Однако усреднение можно определить в чисто метрических терминах, как среднее по Фреше (элемент пространства мер, минимизирующий сумму квадратов расстояний до элементов выборки) - эта конструкция была предложена в 2011 году G. Carlier и M. Agueh под названием "барицентра Вассерштейна". В нашей группе мы изучаем геометрию пространства мер, планируем получить предельные теоремы для случайных мер (варианты закона больших чисел, центральной предельной теоремы, принципов больших уклонений - все с использованием барицентров Вассерштейна как средних), а также рассмотрим аналогичные конструкции для параметрических моделей (трактуемых как конечномерные подмногообразия в пространстве мер). Будут также рассматриваться вопросы эффективного численного вычисления барицентров.

Время заседаний:

Регулярный семинар, проводится в ИППИ РАН по пятницам в 10-00, ауд. 615.

Научные руководители семинара

А.Н. Соболевский, В. Г. Спокойный, Е. О. Черноусова

Организатор семинара

Совместный учебно-научный семинар магистерской программы Математические методы оптимизации и стохастики Факультета Компьютерных наук НИУ ВШЭ, Института проблем передачи информации РАН и Лаборатории ПреМоЛаб МФТИ. Куратор семинара Андрей Соболевский (профили в НИУ ВШЭ и на MathNet.ru)

Прошедшие заседания

Полезные ссылки

1. Страница R.J. McCann на сайте математического факультета университета Торонто
2. Страница L. Ambrosio на CVGMT.sns.it

Литература

Некоторые первоисточники

1. Monge, Gaspard (1784). Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais. Histoire de l'Académie Royale des des sciences (1784) 666-704 (читать)
2. Brenier, Yann (1991). Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 44:4 (1991) 375-417 (скачать) doi:10.1002/cpa.3160440402
3. Agueh, Martial; Carlier, Guillaume (2011). Barycenters in the Wasserstein space. SIAM J. Math. Anal. 43:2 (2011) 904-924 (скачать) doi:10.1137/100805741

Обзоры, монографии, учебники

1. Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola (2011). A user's guide to optimal transport (preprint), 2001 (скачать)
2. Villani, Cédric (2009) Optimal transport, old and new. Grundlehren der Matematiscohen Wissenschaften 58, Berlin etc: Springer, 2009 (скачать препринт)

Разные статьи

1. Gangbo, Wilfrid; MacCann, Robert J. (1996). The geometry of optimal transportation. Acta Math. 177 (1996) 113-161 (скачать) doi:10.1007/BF02392620 (определение и подробное обсуждение основных понятий -выпуклого анализа)
2. Otto, Felix (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. Comm. PDE 26 (2001) 101-174 (скачать препринт) doi:10.1081/PDE-100002243 (математическое описание диффузии как градиентного потока в пространстве Вассерштейна)
3. Carlen, Eric; Gangbo, Wilfrid (2003). Constrained steepest descent in the -Wasserstein metric. Annals of Math. 157:3 (2003) 807-846 (скачать) doi:10.4007/annals.2003.157.807 (развитие работы F. Otto — подробное описание пространства мер с квадратичной метрикой Вассерштейна как риманова многообразия: касательные пространства, метрический тензор)
4. Takatsu, Asuka (2011). Wasserstein geometry of Gaussian measures. Osaka J. Math 48:4 (2011) 1005-1026 (скачать) http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1326291215 (явное описание римановой метрики, индуцируемой метрикой Вассерштейна на конусе положительно определенных симметричных матриц, рассматриваемых как матрицы ковариации гауссовых распределений)
5. Cuturi, Marco; Doucet, Arnaud (2014) Fast computation of Wasserstein barycenters. Proc. 31st Intl Conf. Machine Learning (Beijing, 2014) 685-693 (скачать)