Функция распределения

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение)
м (Добавил недостающие скобки в теги)
 
(4 промежуточные версии не показаны)
Строка 29: Строка 29:
В частности, вероятность того, что случайная величина <tex>X</tex> примет заданное значение <tex>x</tex>, равна скачку функции распределения в данной точке:
В частности, вероятность того, что случайная величина <tex>X</tex> примет заданное значение <tex>x</tex>, равна скачку функции распределения в данной точке:
-
<center><tex>P(X=x)=\lim_{t\tox+0}F(t)-\lim_{t\to x-0}F(t)</tex>.</center>
+
<center><tex>P(X=x)=\lim_{t\to x+0}F(t)-\lim_{t\to x-0}F(t)</tex>.</center>
Если функция распределения непрерывна в точке <tex>x</tex>, то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется '''непрерывным'''), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.
Если функция распределения непрерывна в точке <tex>x</tex>, то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется '''непрерывным'''), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.
Строка 37: Строка 37:
<center><tex>P(a\le X < b) = F(b)-F(a)</tex></center>
<center><tex>P(a\le X < b) = F(b)-F(a)</tex></center>
-
С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: <tex>(a,b)</tex>, tex>[a,b]</tex> и tex>(a,b]</tex>. Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>. Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).
+
С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: <tex>(a,b)</tex>, <tex>[a,b]</tex> и <tex>(a,b]</tex>. Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>. Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).
==Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение==
==Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение==
Строка 51: Строка 51:
<center><tex>X=F^{-1}(Z)</tex></center>
<center><tex>X=F^{-1}(Z)</tex></center>
-
имеет функцию распределения <tex>F(t)</tex>. Это верно для любых функций распределения (не обязательно непрерывных), однако при этом обратная функция должна быть доопределена в точках разрыва следующим образом (в точках непрерывности это определения совпадает с обычным):
+
имеет функцию распределения <tex>F(t)</tex>. Это верно для любых функций распределения (не обязательно непрерывных), однако при этом обратная функция должна быть доопределена в точках разрыва следующим образом (в точках непрерывности это определение совпадает с обычным определением обратной функции):
<center><tex>F^{-1}(z)=\sup\{t:F(t)\le z\}</tex>.</center>
<center><tex>F^{-1}(z)=\sup\{t:F(t)\le z\}</tex>.</center>
Строка 57: Строка 57:
Данное свойство дает универсальный способ генерации случайной величины, имеющей заданное распределение, с помощью величины, равномерно распределенной на отрезке <tex>[0,1]</tex>. Именно поэтому при построении генераторов псевдослучайных чисел обычно ограничиваются именно этим распределением.
Данное свойство дает универсальный способ генерации случайной величины, имеющей заданное распределение, с помощью величины, равномерно распределенной на отрезке <tex>[0,1]</tex>. Именно поэтому при построении генераторов псевдослучайных чисел обычно ограничиваются именно этим распределением.
 +
==Литература==
 +
1. {{книга
 +
|автор = Ширяев А.Н.
 +
|заглавие = Вероятность
 +
|год = 2004
 +
|место = М.
 +
|издательство = МЦНМО
 +
}}
-
 
+
[[Категория:Теория вероятностей]]
-
[[Категория:Материалы по теории вероятностей]]
+

Текущая версия

Содержание

Определение

Функция распределения случайной величины X - это числовая функция, которая имеет вид:

F_X(t)=P(X<t), t\in\mathbb{R}.

Обозначение F_X используется для того, чтобы подчеркнуть, о какой случайной величине идет речь; если это ясно из контекста, то часто индекс опускают и обозначают функцию распределения просто F(t)

Свойства

Функция распределения F(t) определена на всей числовой оси и обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств вероятностной меры:

1. 0\le F(t)\le 1

2. \lim_{t\to-\infty}F(t)=0, \lim_{t\to+\infty}F(t)=1.

3. Функция распределения является неубывающей: если t_1<t_2, то F(t_1)\le F(t_2)

4. Функция распределения непрерывна слева: \lim_{t\to x-0}F(t)=F(x) для любого x\in\mathbb{R}.

Примечание. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: P(X\le t). В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: F(t)\to F(x) при t\to x+0. Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.

Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция F(t), удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.

Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.

В частности, вероятность того, что случайная величина X примет заданное значение x, равна скачку функции распределения в данной точке:

P(X=x)=\lim_{t\to x+0}F(t)-\lim_{t\to x-0}F(t).

Если функция распределения непрерывна в точке x, то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.

Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:

P(a\le X < b) = F(b)-F(a)

С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: (a,b), [a,b] и (a,b]. Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой \mathcal{B}(\mathbb{R}). Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).

Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение

Рассмотрим случайную величину X, имеющую функцию распределения F_X(t). Предположим, что F_X(t) непрерывна. Рассмотрим случайную величину

Z=F_X(X).

Легко показать, что тогда Z будет иметь равномерное распределение на отрезке [0,1].

Обратно, пусть случайная величина Z имеет равномерное распределение на отрезке [0,1], а F(t) - произвольная функция распределения (т.е. удовлетворяет свойствам 1-4). Тогда случайная величина

X=F^{-1}(Z)

имеет функцию распределения F(t). Это верно для любых функций распределения (не обязательно непрерывных), однако при этом обратная функция должна быть доопределена в точках разрыва следующим образом (в точках непрерывности это определение совпадает с обычным определением обратной функции):

F^{-1}(z)=\sup\{t:F(t)\le z\}.

Данное свойство дает универсальный способ генерации случайной величины, имеющей заданное распределение, с помощью величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1]. Именно поэтому при построении генераторов псевдослучайных чисел обычно ограничиваются именно этим распределением.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F»