Интерполяция полиномами Лагранжа и Ньютона

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (→Постановка задачи)
(викификация, категория)
 
(7 промежуточных версий не показаны.)
Строка 4: Строка 4:
<tex> y = f(x) </tex>. <br>
<tex> y = f(x) </tex>. <br>
Пусть заданы точки
Пусть заданы точки
-
<tex> \bf{x} = \{ x_i | i = 1..n \}</tex>
+
<tex> \bf{X} = \{ x_i | i = 1..n \}</tex>
из некоторой области <tex> \bf D </tex>.<br>
из некоторой области <tex> \bf D </tex>.<br>
Пусть значения функции <tex> f </tex> известны только в этих точках.<br>
Пусть значения функции <tex> f </tex> известны только в этих точках.<br>
-
Точки <tex> \bf{x} </tex> называют узлами интерполяции.<br>
+
Точки <tex> \bf{X} </tex> называют узлами интерполяции.<br>
-
<tex> \delta x_i = x_i - x_{i-1}</tex> - шагом интерполяционной сетки.<br>
+
<tex> \delta x_i = x_i - x_{i-1}</tex> - шаг интерполяционной сетки.<br>
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции <tex> F </tex> из заданного класса функций, что
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции <tex> F </tex> из заданного класса функций, что
<tex> F(x_i) = y_i</tex>
<tex> F(x_i) = y_i</tex>
== Метод решения задачи ==
== Метод решения задачи ==
 +
===Полином Лагранжа===
 +
Представим интерполяционную функцию в виде полинома<br>
 +
<tex>P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i Q_{n,i}(x)</tex><br>
 +
где <tex>Q_{n,i}(x)</tex> - полиномы степели n вида:<br>
 +
<tex>Q_{n,i}(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n} \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}</tex><br>
 +
Очевидно, что <tex>Q_{n,i}(x)</tex> принимает значение 1 в точке <tex>x_i</tex> и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке <tex>x_i</tex> исходный полином принимает значение <tex>y_i</tex><br>
 +
Таким образом, построенный полином <tex>P_n(x)</tex> является интерполяционным полиномом для функции
 +
<tex> y = f(x) </tex> на сетке <tex> \bf{X} </tex>. <br>
 +
===Полином Ньютона===
 +
Интерполяционный полином в форме Лагранжа не удобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.<br>
 +
Перепишем полином Лагранжа в другом виде:<br>
 +
<tex>P_n(x) = P_0(x) + \sum_{i=1}^n{(P_i(x) - P_{i-1}(x))} </tex><br>
 +
где <tex>P_i(x)</tex> - полиномы Лагранжа степени i ≤ n.<br>
 +
Пусть <tex>Q_i(x) = P_i(x) - P_{i-1}(x) \qquad(*)</tex> <br>. Этот полином имеет степень i и обращается в нуль при
 +
<tex>x = x_0, x = x_1, ..., x = x_{i-1}{</tex>. <br>
 +
Поэтому он представим в виде:<br>
 +
<tex>Q_i(x) = A_i(x - x_0)...(x - x_{i-1})</tex>,
 +
где <tex>A_i</tex> - коэффициент при <tex>x^i</tex>. Так как <tex>x^i</tex> не входит в <tex>P_{i-1}(x)</tex>, то <tex>A_i</tex> совпадает с коэффициентом при <tex>x^i</tex> в полиноме <tex>P_i(x)</tex>. Таким образом из определения <tex>P_i(x)</tex> получаем:<br>
 +
<tex> A_i = \sum_{k=0}^i\frac{f(x_k)}{w_{k,i}}</tex><br>
 +
где <br>
 +
<tex> w_{k,i} = (x_k - x_0)...(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})...(x_k - x_i)</tex><br>
 +
Препишем формулу <tex>\qquad(*)</tex> в виде <br>
 +
<tex>P_n(x) = P_{n-1} + A_n(x - x_0)...(x - x_{n-1})</tex><br>
 +
Рекуррентно выражая <tex>P_i(x)</tex> пролучам окончательную формулу для полинома: <br>
 +
<tex>P_n(x) = A_0 + A_1(x-x_0) + ...+ A_n(x - x_0)...(x - x_{n-1})</tex><br>
 +
Такое представление полинома удобно для вычисления, потому что увеличение числа узлов на единицу требует добавления только одного слагаемого.<br>
 +
==Погрешность интерполирования==
 +
Поставим вопрос о том, насколько хорошо интерполяционный полином <tex>P_n(x)</tex> приближает функцию <tex>f(x)</tex> на отрезке [a,b].<br>
 +
Рассмотри м остаточный член:<br>
 +
<tex>R_n(x) = f(x) - P_n(x)</tex>, x ∈ [a, b].<br>
 +
По определению интерполяционного полинома <tex><br>R_n(x_i) = 0, x_i \in \bf X</tex> <br>
 +
поэтому речь идет об оценке <tex>R_n(x)</tex> при значениях <tex>x \not= x_i</tex>.<br>
 +
Пусть <tex>f(x)</tex> имеет непрерывную (n+1) производную на отрезке [a, b].<br>
 +
Тогда погрешность определяется формулой:<br>
 +
<tex>|R_n(x)| = \frac{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}w_{n+1}(x)</tex>,<br>
 +
где <tex>w_{n+1} = (x - x_0)...(x - x_n)</tex>,<br>
 +
<tex>\varepsilon </tex>- точка из [a, b].<br>
 +
Так как точка <tex>\varepsilon </tex> наизвестна, то эта формула позволяет только оценить погрешность:<br>
 +
<tex>|R_n(x)| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|w_{n+1}(x)|</tex><br>
 +
где <tex>M_{n+1} = \max_{x\in[\alpha, \beta]}|f^{n+1}(x)|</tex><br>
 +
Из вида множетеля <tex>w_{n+1}</tex> следует, что оценка имеет смысл только при <tex>x \in [x_0, x_n]</tex>. Если это не так, то при интерполяции используются полиномы низких степеней (n = 1,2). <br>
 +
== Выбор узлов интерполяции ==
 +
Так как от выбора узлов завист точность интерполяции, то возникает вопрос о том, как их выбирать.
 +
С помощью выбора узлов можно минимизировать значение <tex>w_{n+1}</tex> в оценке погрешности. Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева [1]: <br>
 +
<tex>T_{n+1}(x) = \frac{(b - a)}{(2^{2n+1})}cos ((n + 1)arccos \frac{2x - (b + a)}{(b - a)})</tex><br>
 +
В качестве узлов следут взять корни этого многочлена, то есть точки: <br>
 +
<tex>x_k = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} \cos\frac{(2k + 1)\pi}{2(n + 1)}</tex>
== Пример ==
== Пример ==
 +
В качастве примера рассмотрим интерполяцию синуса.
 +
Возьмем равномерную решетку x = [-3,-1.5,0,1.5,3];<br>
 +
Интерполяция полиномом Лагранжа:<br>
 +
[[Изображение:1sinalg.gif]]<br>
 +
Ошибка(максимальное отклонение от sin(x) на отрезке):0.1423<br>
 +
Интерполяция полиномом Ньютона:<br>
 +
Ошибка:<br>
 +
Возьмем решетку x с узлами в корнях полинома Чебышева= [-2.8531,-1.7632,0,1.7634,2.8532];<br>
 +
Интерполяция полиномом Лагранжа:<br>
 +
[[Изображение:2sinlag.gif]]<br>
 +
Ошибка: 0.0944<br>
 +
Интерполяция полиномом Ньютона:<br>
 +
Ошибка:<br>
 +
== Рекомендации программисту ==
 +
 +
== Выводы ==
== Литература ==
== Литература ==
 +
# Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы 1989г.
 +
# Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам
 +
 +
== Смотри также ==
 +
* [[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]]
 +
 +
{{stub}}
 +
 +
[[Категория:Учебные задачи]]

Текущая версия

Содержание

Постановка задачи

Пусть задана функция y = f(x) .
Пусть заданы точки \bf{X} = \{ x_i | i = 1..n \} из некоторой области \bf D .
Пусть значения функции f известны только в этих точках.
Точки \bf{X} называют узлами интерполяции.
\delta x_i = x_i - x_{i-1} - шаг интерполяционной сетки.
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F из заданного класса функций, что F(x_i) = y_i

Метод решения задачи

Полином Лагранжа

Представим интерполяционную функцию в виде полинома
P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i Q_{n,i}(x)
где Q_{n,i}(x) - полиномы степели n вида:
Q_{n,i}(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n} \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}
Очевидно, что Q_{n,i}(x) принимает значение 1 в точке x_i и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке x_i исходный полином принимает значение y_i
Таким образом, построенный полином P_n(x) является интерполяционным полиномом для функции y = f(x) на сетке \bf{X} .

Полином Ньютона

Интерполяционный полином в форме Лагранжа не удобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.
Перепишем полином Лагранжа в другом виде:
P_n(x) = P_0(x) + \sum_{i=1}^n{(P_i(x) - P_{i-1}(x))}
где P_i(x) - полиномы Лагранжа степени i ≤ n.
Пусть Q_i(x) = P_i(x) - P_{i-1}(x) \qquad(*)
. Этот полином имеет степень i и обращается в нуль при x = x_0, x = x_1, ..., x = x_{i-1}{.
Поэтому он представим в виде:
Q_i(x) = A_i(x - x_0)...(x - x_{i-1}), где A_i - коэффициент при x^i. Так как x^i не входит в P_{i-1}(x), то A_i совпадает с коэффициентом при x^i в полиноме P_i(x). Таким образом из определения P_i(x) получаем:
A_i = \sum_{k=0}^i\frac{f(x_k)}{w_{k,i}}
где
w_{k,i} = (x_k - x_0)...(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})...(x_k - x_i)
Препишем формулу \qquad(*) в виде
P_n(x) = P_{n-1} + A_n(x - x_0)...(x - x_{n-1})
Рекуррентно выражая P_i(x) пролучам окончательную формулу для полинома:
P_n(x) = A_0 + A_1(x-x_0) + ...+ A_n(x - x_0)...(x - x_{n-1})
Такое представление полинома удобно для вычисления, потому что увеличение числа узлов на единицу требует добавления только одного слагаемого.

Погрешность интерполирования

Поставим вопрос о том, насколько хорошо интерполяционный полином P_n(x) приближает функцию f(x) на отрезке [a,b].
Рассмотри м остаточный член:
R_n(x) = f(x) - P_n(x), x ∈ [a, b].
По определению интерполяционного полинома <br>R_n(x_i) = 0, x_i \in \bf X
поэтому речь идет об оценке R_n(x) при значениях x \not= x_i.
Пусть f(x) имеет непрерывную (n+1) производную на отрезке [a, b].
Тогда погрешность определяется формулой:
|R_n(x)| = \frac{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}w_{n+1}(x),
где w_{n+1} = (x - x_0)...(x - x_n),
\varepsilon - точка из [a, b].
Так как точка \varepsilon наизвестна, то эта формула позволяет только оценить погрешность:
|R_n(x)| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|w_{n+1}(x)|
где M_{n+1} = \max_{x\in[\alpha, \beta]}|f^{n+1}(x)|
Из вида множетеля w_{n+1} следует, что оценка имеет смысл только при x \in [x_0, x_n]. Если это не так, то при интерполяции используются полиномы низких степеней (n = 1,2).

Выбор узлов интерполяции

Так как от выбора узлов завист точность интерполяции, то возникает вопрос о том, как их выбирать. С помощью выбора узлов можно минимизировать значение w_{n+1} в оценке погрешности. Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева [1]:
T_{n+1}(x) = \frac{(b - a)}{(2^{2n+1})}cos ((n + 1)arccos \frac{2x - (b + a)}{(b - a)})
В качестве узлов следут взять корни этого многочлена, то есть точки:
x_k = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} \cos\frac{(2k + 1)\pi}{2(n + 1)}

Пример

В качастве примера рассмотрим интерполяцию синуса. Возьмем равномерную решетку x = [-3,-1.5,0,1.5,3];
Интерполяция полиномом Лагранжа:
Изображение:1sinalg.gif
Ошибка(максимальное отклонение от sin(x) на отрезке):0.1423
Интерполяция полиномом Ньютона:
Ошибка:
Возьмем решетку x с узлами в корнях полинома Чебышева= [-2.8531,-1.7632,0,1.7634,2.8532];
Интерполяция полиномом Лагранжа:
Изображение:2sinlag.gif
Ошибка: 0.0944
Интерполяция полиномом Ньютона:
Ошибка:

Рекомендации программисту

Выводы

Литература

  1. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы 1989г.
  2. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам

Смотри также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0_%D0%B8_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0»
Личные инструменты