Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Содержание

1 Введение
2 Метод прямоугольников
3 Метод трапеций
4 Числовой пример
5 Рекомендации программисту
- 5.1 Оценка погрешности
- 5.2 Пример программы на языке C++
6 Заключение
7 Список литературы

Введение

Рис.1

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

$I=\int_a^b{f(x)dx},$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция.

Если один или оба предела равны $+ \infty$ или $- \infty$ , то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.

Введем на $[a,b]$ сетку с переменным шагом $h_i$ , т.е. множество точек $\omega_h=\{x_i=a+\sum_{j=0}^i{h_j}, i=0,1,...,N,h_0=0, \sum_{i=1}^N{h_i}=b-a}$ , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

$\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.$

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке $[a,b]$ достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}$

на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ и воспользоваться свойством (3).

Метод прямоугольников

Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.2

Заменим интеграл (3) выражением $f(x_{i-1/2})h$ , где $x_{i-1/2}=x_{i}-0.5h.$

Тогда получим формулу

( 5 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-1/2})h,$

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i].$

Погрешность метода (5) определяется величиной

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h$

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем $\psi_{i}$ в виде

( 6 )

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-1/2}))dx}$

и воспользуемся разложением

$f(x)=f(x_{i-1/2})+(x-x_{i-1/2})f'(x_{i-1/2})+\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi),$

где $\xi_i=\xi_i(x)\in [x_{i-1},x_i]$ . Тогда из (6) получим

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}$

Обозначая $M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|$ , оценим $\psi_i$ следующим образом:

$|\psi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

( 7 )

$|\psi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}$

т.е. формула имеет погрешность $O(h^3)$ при $h\rightarrow0$ .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция $f(x)$ , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для $f(x)=(x-x_{i-1/2})^2$ имеем $M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0$ и

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Составная формула прямоугольников и ее погрешность

Суммируя равенства (5) по $i$ от $1$ до $N$ , получим составную формулу прямоугольников

( 8 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

Погрешность этой формулы

$\Psi=\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

$\Psi=\sum_{i=1}^N{\psi_i}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}}$

Отсюда, обозначая $M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$ , получим

( 9 )

$|\Psi|\le\frac{M_2Nh^3}{24}=\frac{h^2(b-a)}{24}M_2$

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина $O(h^2)$ .

Видим, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.

Метод трапеций

Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность

Рис.3

На частичном отрезке эта формула имеет вид

( 10 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h$

и получается путем замены подынтегральной функции $f(x)$ интерполяционным многочленом первой степени,постоенным по узлам $x_{i-1},x_i$ , т.е. функцией

$L_{1,i}(x)=\frac{1}{h}((x-x_{i-1})f(x_i)-(x-x_i)f(x_{i-1})).$

Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что

$f(x)-L_{1,i}(x)=\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x)).$

Отсюда получим

$\psi_i=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-L_{1,i}(x))dx}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x))dx}$

и,следовательно,

( 11 )

$|\psi_i|\le \frac{M_{2,i}h^3}{12}$

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для $f(x)=(x-x_i)^2$ .

Составная формула трапеций и ее погрешность

Составная формула трапеций имеет вид

( 12 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h}=h(0.5f_0+f_1+...+f_{N-1}+0.5f_N),$

где $f_i=f(x_i),i=0,1,...,N,hN=b-a$ .

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

( 13 )

$|\Psi|\le \frac{h^2(b-a)}{12}M_2,$

где $M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, $\Psi=O(h^2)$ , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при $n=2$ интеграл

( 14 )

$I=\int_{0}^{\pi/2}{\sin(x)dx} = 1$

В данном случае

$P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172$

$T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059$

Зная точный ответ (14), найдем погрешности

( 15 )

$\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941$

Вторая производная функции $\sin(x)$ на отрезке $[0,\pi/2]$ отрицательна, ее модуль не превышает единицы: $M_2=1$ . Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):

$|\alpha_2|\le \frac{1}{96}(\frac{\pi}{2})^3<0.041,|\beta_2|\le \frac{1}{48}(\frac{\pi}{2})^3<0.081$

Рекомендации программисту

Оценка погрешности

Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки $h$ , так и от гладкости подынтегральной функции $f(x)$ . Например, в оценку (11), наряду с $h$ , входит величина

$M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,$

которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ . Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.

Апостериорную оценку погрешности можно осуществить методом Рунге. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности $m$ , т.е. $I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m$ . Тогда

$I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,$

откуда получим

( 16 )

$I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),$

( 17 )

$I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}$

Пусть используется составная квадратурная формула

$I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}$

где $I_{h,i}$ - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ все вычисления дважды, один раз - с шагом $h_i$ и второй раз - с шагом $0.5h_i$ и оценим погрешность по правилу Рунге (17):

$\Psi = |I-I_{h/2}|\approx \sum_{i=1}^N{|I_i-I_{h/2,i}|}=\frac{|I_{h/2}-I_{h}|}{2^m-1}.$

Пример программы на языке C++

Исходный текст программы

В программе интеграруемая функция задается в функции $function$ . В данном примере интегрируется логарифм и эта функция выглядит так:

double function(double x)
{
	return log(x);
}

Функция $rectangles$ реализует метод прямоугольников, а $trapezium$ - метод трапеций.

Эти функции имеют следующие параметры:

double trapezium(double left, double right, double step)
double rectangles(double left, double right, double step)

где left - левый предел интегрирования, 
    right - правй предел интегрирования, 
    step - шаг интегрирования.

Заключение

Методы прямоугольников и трапеций являются одними из простейших методов интегрирования (запрограммировать их не составляет особого труда). Но эти методы имеют лишь второй порядок точности,в то время как есть методы более высоких порядков.

Если же сравнивать эти два метода между собой, то метод прямоугольников, который относится к методам Гаусса - Кристоффеля, является точнее метода трапеций, относящегося к методам Ньютона - Котеса. Но в то же время метод трапеций может применяться с произвольным шагом, в отличие от метода прямоугольников, который, как мы увидели, не применим, например, к функциям,заданным в конечном числе точек.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B9»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование | Учебные задачи

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Введение ==
-=== Постановка математической задачи ===
+[[Изображение:Integral.png|thumb|200px|Рис.1]]
 Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
 {{ eqno | 1 }}
 <p align="center"><tex>I=\int_a^b{f(x)dx},</tex></p>
-где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<...<x_i<...<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
+где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция.
-{{ eqno | 2 }}
-<p align="center"><tex>I_N=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},</tex></p>
-где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - ''весовые множители'', зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Формула {{eqref|2}} называется ''квадратурной формулой''.
-Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы ''погрешность квадратурной формулы''
-<p align="center"><tex>\Psi=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = I_N - I</tex></p>
-была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>\Psi</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
+Если один или оба предела равны <tex>+ \infty</tex> или <tex>- \infty</tex>, то с помощью трюков с заменой переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой.
-Введем на <tex>[a,b]</tex> ''равномерную сетку с шагом <tex>h</tex>'', т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,...,N,hN=b-a}</tex>, и представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
+Введем на <tex>[a,b]</tex> сетку с переменным шагом <tex>h_i</tex>, т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+\sum_{j=0}^i{h_j}, i=0,1,...,N,h_0=0, \sum_{i=1}^N{h_i}=b-a}</tex>, и представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
 {{ eqno | 3 }}
 <p align="center"><tex>\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.</tex></p>
-Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке <tex>[a,b]</tex> достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
+Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке <tex>[a,b]</tex> достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
 {{ eqno | 4 }}
@@ Строка 33: / Строка 24: @@
 на частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> и воспользоваться свойством {{eqref|3}}.
-== Изложение метода ==
+== Метод прямоугольников ==
-=== Формула прямоугольников ===
+=== Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность ===
+[[Изображение:Integral_rect.png|thumb|200px|Рис.2]]
 Заменим интеграл {{eqref|3}} выражением <tex>f(x_{i-1/2})h</tex>, где <tex>x_{i-1/2}=x_{i}-0.5h.</tex>
-Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции <tex>ABCD</tex> заменяется площадью прямоугольника <tex>ABC'D'</tex> (см. рис. 1). Тогда получим формулу
+Тогда получим формулу
 {{ eqno | 5 }}
@@ Строка 63: / Строка 56: @@
 <p align="center"><tex>\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}</tex></p>
-Обозначая <tex>M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|</tex>, оценим <tex>\xi_i</tex> следующим образом:
+Обозначая <tex>M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|</tex>, оценим <tex>\psi_i</tex> следующим образом:
-<p align="center"><tex>|\xi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}</tex></p>
+<p align="center"><tex>|\psi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}</tex></p>
 Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
 {{ eqno | 7 }}
-<p align="center"><tex>|\xi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}</tex></p>
+<p align="center"><tex>|\psi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}</tex></p>
 т.е. формула имеет погрешность <tex>O(h^3)</tex> при <tex>h\rightarrow0</tex>.
-Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция <tex>f(x)</tex>, для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для <tex>f(x)=(x-x_{i-1/2})^2</tex> имеем <tex>M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0</tex> и
+Заметим,что оценка {{eqref|7}} является неулучшаемой, т.е. существует функция <tex>f(x)</tex>, для которой {{eqref|7}} выполняется со знаком равенства. Действительно, для <tex>f(x)=(x-x_{i-1/2})^2</tex> имеем <tex>M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0</tex> и
 <p align="center"><tex>\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h=\frac{h^3}{24}M_{2,i}</tex></p>
-Суммируя равенства (5) по <tex>i</tex> от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, получим ''составную формулу прямоугольников''
+=== Составная формула прямоугольников и ее погрешность ===
+Суммируя равенства {{eqref|5}} по <tex>i</tex> от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, получим ''составную формулу прямоугольников''
 {{ eqno | 8 }}
@@ Строка 98: / Строка 93: @@
 т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина <tex>O(h^2)</tex>.
-В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет ''второй порядок точнотси''.
+Видим, что квадратурная формула имеет ''второй порядок точности''.
-=== Формула трапеций ===
+=== Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек ===
+Заметим, что метод прямоугольников в том виде,в котором он описан выше, не применим в общем случае к функциям,значения которых мы знаем в конечном числе точек, так как, например, мы не всегда можем разбить отрезкок интегрирования на подотрезки, серединами которых являются точки,в которых нам известно значение функции.
+== Метод трапеций ==
+=== Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность ===
+[[Изображение:Integral_trap.png|thumb|200px|Рис.3]]
 На частичном отрезке эта формула имеет вид
@@ Строка 124: / Строка 127: @@
 <p align="center"><tex>|\psi_i|\le \frac{M_{2,i}h^3}{12}</tex></p>
-Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для <tex>f(x)=(x-x_i)^2</tex>.
+Оценка {{eqref|11}} неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для <tex>f(x)=(x-x_i)^2</tex>.
+=== Составная формула трапеций и ее погрешность ===
 ''Составная формула трапеций'' имеет вид
@@ Строка 136: / Строка 141: @@
 {{ eqno | 13 }}
-<p align="center"><tex>|\Psi|\le \frac{h^2(b-a)}{12}M_2,M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|</tex></p>
+<p align="center"><tex>|\Psi|\le \frac{h^2(b-a)}{12}M_2,</tex></p>
+где <tex>M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|</tex>
 Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности,<tex>\Psi=O(h^2)</tex>, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.
+=== Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек ===
+В отличие от метода прямоугольников, метод трапеций применим к функциям, заданным в конечном числе точек, так как мы всегда можем взять в качесве узлов интегрирования данные точки.
 == Числовой пример ==
@@ Строка 147: / Строка 158: @@
 В данном случае
 <p align="center"><tex>P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172</tex></p>
@@ Строка 153: / Строка 163: @@
 <p align="center"><tex>T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059</tex></p>
-Зная точный ответ (14), найдем погрешности
+Зная точный ответ {{eqref|14}}, найдем погрешности
 {{ eqno | 15 }}
 <p align="center"><tex>\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941</tex></p>
-Вторая производная функции <tex>\sin(x)</tex> на отрезке <tex>[0,\pi/2]</tex> отрицательна, ее модуль не превышает единицы: <tex>M_2=1</tex>. Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):
+Вторая производная функции <tex>\sin(x)</tex> на отрезке <tex>[0,\pi/2]</tex> отрицательна, ее модуль не превышает единицы: <tex>M_2=1</tex>. Величина погрешностей {{eqref|15}} удовлетворяет неравенствам {{eqref|9}} и {{eqref|13}}:
 <p align="center"><tex>|\alpha_2|\le \frac{1}{96}(\frac{\pi}{2})^3<0.041,|\beta_2|\le \frac{1}{48}(\frac{\pi}{2})^3<0.081</tex></p>
@@ Строка 164: / Строка 174: @@
 == Рекомендации программисту ==
-=== Автоматический выбор шага интегрирования ===
+=== Оценка погрешности ===
-Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки <tex>h</tex>, так и от гладкости подынтегральной функции <tex>f(x)</tex>. Например, в оценку (11), наряду с <tex>h</tex>, входит величина
+Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки <tex>h</tex>, так и от гладкости подынтегральной функции <tex>f(x)</tex>. Например, в оценку {{eqref|11}}, наряду с <tex>h</tex>, входит величина
 <p align="center"><tex>M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,</tex></p>
@@ Строка 184: / Строка 194: @@
 <p align="center"><tex>I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}</tex></p>
-Возможность апостериорно оценивать погрешность позволяет вычислять интеграл (1) с заданной точностью <tex>\epsilon >0</tex> путем автоматического выбора шага интегрирования <tex>h_i</tex>. Пусть используется составная квадратурная формула
+Пусть используется составная квадратурная формула
 <p align="center"><tex>I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}</tex></p>
-где <tex>I_{h,i}</tex> - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна м та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> все вычисления дважды, один раз - с шагом <tex>h_i</tex> и второй раз - с шагом <tex>0.5h_i</tex> и оценим погрешность по правилу Рунге (17).
+где <tex>I_{h,i}</tex> - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна и та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> все вычисления дважды, один раз - с шагом <tex>h_i</tex> и второй раз - с шагом <tex>0.5h_i</tex> и оценим погрешность по правилу Рунге {{eqref|17}}:
-Если для заданного <tex>\epsilon >0</tex> будут выполняться неравенства
+<p align="center"><tex>\Psi = |I-I_{h/2}|\approx \sum_{i=1}^N{|I_i-I_{h/2,i}|}=\frac{|I_{h/2}-I_{h}|}{2^m-1}.</tex></p>
-{{ eqno | 18 }}
+=== Пример программы на языке C++ ===
-<p align="center"><tex>|I_i-I_{h/2,i}|\approx \frac{|I_{h/2,i}-I_{h,i}|}{2^m-1} \le \frac{\epsilon h_i}{b-a},i=1,2,...,N,</tex></p>
-то получим
+* [[Media:Integral.zip|Исходный текст программы]]
-<p align="center"><tex>|I-I_h/2|\le \frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^N{h,i}=\epsilon,</tex></p>
+В программе интеграруемая функция задается в функции <tex>function</tex>. В данном примере интегрируется логарифм и эта функция выглядит так:
-т.е. будет достигнута заданная точность <tex>\epsilon</tex>.
+<pre>
+double function(double x)
+{
+	return log(x);
+}
+</pre>
-Если же на каком-то из частичных отрезков оценка (18) не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида (18). Заметим, что для некоторой функции <tex>f(x)</tex> такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения <tex>\epsilon</tex>.
+Функция <tex>rectangles</tex> реализует метод прямоугольников, а <tex>trapezium</tex> - метод трапеций.
-Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции <tex>f(x)</tex> и с мелким шагом - на участках быстрого изменения <tex>f(x)</tex>. Это позволяет при заданной точности <tex>\epsilon</tex> уменьшить количество вычислений значений <tex>f(x)</tex> по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм <tex>I_{h/2,i}</tex> не надо пересчитывать значения <tex>f(x)</tex> во всех узлах, достаточно вычислять <tex>f(x)</tex> только в новых узлах.
+Эти функции имеют следующие параметры:
+<pre>
+double trapezium(double left, double right, double step)
+double rectangles(double left, double right, double step)
+где left - левый предел интегрирования,
+    right - правй предел интегрирования,
+    step - шаг интегрирования.
+</pre>
 == Заключение ==
-== Список литературы ==
+Методы прямоугольников и трапеций являются одними из простейших методов интегрирования (запрограммировать их не составляет особого труда). Но эти методы имеют лишь второй порядок точности,в то время как есть методы более высоких порядков.
+Если же сравнивать эти два метода между собой, то метод прямоугольников, который относится к методам Гаусса - Кристоффеля, является точнее метода трапеций, относящегося к методам Ньютона - Котеса. Но в то же время метод трапеций может применяться с произвольным шагом, в отличие от метода прямоугольников, который, как мы увидели, не применим, например, к функциям,заданным в конечном числе точек.
+== Список литературы ==
 * ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.''&nbsp; Численные методы М.: Наука, 1989.
 * ''А.А.Самарский.''&nbsp; Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
@@ Строка 214: / Строка 240: @@
 {{stub}}
 [[Категория:Численное интегрирование]]
+[[Категория:Учебные задачи]]

Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Введение

Метод прямоугольников

Формула прямоугольников на частичном отрезке и ее погрешность

Составная формула прямоугольников и ее погрешность

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Метод трапеций

Формула трапеций на частичном отрезке и ее погрешность

Составная формула трапеций и ее погрешность

Применимость метода к функции, заданной в конечном числе точек

Числовой пример

Рекомендации программисту

Оценка погрешности

Пример программы на языке C++

Заключение

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты