Участник:Пасконова Ольга/Песочница
Материал из MachineLearning.
(→Формула замены переменных в неопределенном интеграле) |
(→Формула замены переменных в неопределенном интеграле) |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно, | Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно, | ||
<p align = "center"> | <p align = "center"> | ||
| - | [[Изображение:Q1.jpg]] | + | [[Изображение:Q1.jpg]] {{eqno|1}} </p> |
| - | </p> | + | |
а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция | а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция | ||
<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и | <tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и | ||
| - | <p align = "center"> | + | <p align = "center"> |
| - | [[Изображение:Q2.png]] </p> | + | [[Изображение:Q2.png]] {{eqno|2}} </p> |
| + | |||
| + | Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex> = х. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде | ||
| + | |||
| + | ::[[Изображение:Q3.png]] | ||
| + | |||
| + | то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png]]), можно сделать подстановку <tex> х = \phi(f) <tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t <tex>, положив <tex> х = \phi(t) <tex>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Примеры.''' | ||
| + | |||
| + | 1, Для вычисления интеграла j cos ax dx ес¬тественно сделать подстановку и = ах, тогда | ||
| + | I cos ax dx = - [cos и du = -sin u + C - -sin ax -f С, а ^ 0, | ||
| + | Ш | ||
| + | 2. Для вычисления интеграла | -= | ||
| + | удоопо применить | ||
| + | 3 2 | ||
| + | подстановку и := х +а : | ||
| + | |||
| + | 3. При вычислении интегралов вида J полезна подстановка и = ф(х): | ||
| + | I 7-777 Ас = J" ^^ = \ тг = In bfx)l + С. Например, | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции: | ||
| + | |||
| + | Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью | ||
Версия 13:01, 16 ноября 2008
Формула замены переменных в неопределенном интеграле
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
Теорема.
Пусть функции и
определены соответственно на промежутках
и
, причем
. Если функция
имеет на
первообразную
и, следовательно,
а функция дифференцируема на
, то функция
имеет на
, первообразную
и
Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой = х. Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл 
), можно сделать подстановку и затем вернуться к переменной
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:
Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью" alt= " t
'''Примеры.'''
1, Для вычисления интеграла j cos ax dx ес¬тественно сделать подстановку и = ах, тогда I cos ax dx = - [cos и du = -sin u + C - -sin ax -f С, а ^ 0, Ш 2. Для вычисления интеграла | -= удоопо применить 3 2 подстановку и := х +а :
3. При вычислении интегралов вида J полезна подстановка и = ф(х): I 7-777 Ас = J" ^^ = \ тг = In bfx)l + С. Например,
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:
Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью" />
