Участник:Пасконова Ольга/Песочница
Материал из MachineLearning.
(→Формула замены переменных в неопределенном интеграле) |
(→Формула замены переменных в неопределенном интеграле) |
||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
::[[Изображение:Q3.png]] | ::[[Изображение:Q3.png]] | ||
| - | то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png]]), можно сделать подстановку <tex> х = \phi(t) <tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t <tex>, положив <tex> х = \phi(t) <tex>. | + | то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png]]), можно сделать подстановку <tex> х = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> х = \phi(t) </tex>. |
| Строка 44: | Строка 44: | ||
::[[Изображение:Q11.png]] | ::[[Изображение:Q11.png]] | ||
| - | + | Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью | |
Версия 16:38, 16 ноября 2008
Формула замены переменных в неопределенном интеграле
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
Теорема.
Пусть функции и
определены соответственно на промежутках
и
, причем
. Если функция
имеет на
первообразную
и, следовательно,
(1)
а функция дифференцируема на
, то функция
имеет на
, первообразную
и
(2)
Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл 
), можно сделать подстановку , вычислить интеграл
и затем вернуться к переменной
, положив
.
Примеры.
1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку
, тогда
2. Для вычисления интеграла 
удобно применить подстановку
:
3. При вычислении интегралов вида 
полезна подстановка
:
Например,
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью
