Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Введение == == Формула замены переменных в неопределенном интеграле == == Формула замены переменных в о...)
Строка 1: Строка 1:
== Введение ==
== Введение ==
== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
 +
 +
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
 +
 +
'''Теорема.'''
 +
 +
Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:Q1.jpg‎]] (1) </p>
 +
 +
а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
 +
<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:Q2.png‎]] (2) </p>
 +
 +
 +
Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex>. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
 +
 +
::[[Изображение:Q3.png‎]]
 +
 +
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png‎]]), можно сделать подстановку <tex> x = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> x = \phi(t) </tex>.
 +
 +
 +
'''Примеры.'''
 +
 +
'''1.''' Для вычисления интеграла <tex> \int cos ax dx </tex> естественно сделать подстановку <tex> u = ax </tex>, тогда
 +
 +
::[[Изображение:Q5.png‎]]
 +
 +
'''2.''' Для вычисления интеграла [[Изображение:Q6.png‎]] удобно применить подстановку
 +
<tex> u = x^3 + a^3 </tex>:
 +
 +
::[[Изображение:Q7.png‎]]
 +
 +
'''3.''' При вычислении интегралов вида [[Изображение:Q8.png‎]] полезна подстановка
 +
<tex> u = \phi(x) </tex>:
 +
 +
::[[Изображение:Q9.png‎]]
 +
Например,
 +
::[[Изображение:Q10.png‎]]
 +
 +
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
 +
 +
::[[Изображение:Q11.png‎]]
 +
 +
Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью
 +
== Формула замены переменных в определенном интеграле ==
== Формула замены переменных в определенном интеграле ==
 +
== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
 +
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
 +
 +
'''Теорема.'''
 +
 +
Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:Q1.jpg‎]] (1) </p>
 +
 +
а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
 +
<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:Q2.png‎]] (2) </p>
 +
 +
 +
Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex>. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
 +
 +
::[[Изображение:Q3.png‎]]
 +
 +
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png‎]]), можно сделать подстановку <tex> x = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> x = \phi(t) </tex>.
 +
 +
 +
'''Примеры.'''
 +
 +
'''1.''' Для вычисления интеграла <tex> \int cos ax dx </tex> естественно сделать подстановку <tex> u = ax </tex>, тогда
 +
 +
::[[Изображение:Q5.png‎]]
 +
 +
'''2.''' Для вычисления интеграла [[Изображение:Q6.png‎]] удобно применить подстановку
 +
<tex> u = x^3 + a^3 </tex>:
 +
 +
::[[Изображение:Q7.png‎]]
 +
 +
'''3.''' При вычислении интегралов вида [[Изображение:Q8.png‎]] полезна подстановка
 +
<tex> u = \phi(x) </tex>:
 +
 +
::[[Изображение:Q9.png‎]]
 +
Например,
 +
::[[Изображение:Q10.png‎]]
 +
 +
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
 +
 +
::[[Изображение:Q11.png‎]]
 +
 +
Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью соответствующей замены переменного <tex> x = \phi(t) </tex> свести к вычислению интеграла [[Изображение:Q12.png‎]] (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
 +
 +
В случае, когда функция <tex> \phi </tex> имеет обратную <tex> \phi^{-1} </tex>, перейдя в обеих частях формулы {{eqref|2}} к переменной <tex> x </tex> с помощью подстановки <tex> t = \phi^{-1}(x) </tex> и поменяв местами стороны равенства, получим
 +
 +
::[[Изображение:Q13.png‎]]
 +
 +
Эта формула называется обычно ''формулой интегрирования заменой переменной''.
 +
 +
Для того чтобы существовала функция <tex> \phi^{-1} </tex>, обратная <tex> \phi </tex>, в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке <tex> \Delta_t </tex> функция <tex> \phi </tex> была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция <tex> \phi^{-1} </tex>.
 +
 +
'''4.''' Интегралы вида [[Изображение:Q14.png‎]] в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.
 +
 +
Действительно, замечая, что [[Изображение:Q15.png‎]], сделаем замену переменной [[Изображение:Q16.png‎]] и положим [[Изображение:Q17.png‎]]. Тогда [[Изображение:Q18.png‎]] и, в силу формулы {{eqref|2}}, получим
 +
 +
::[[Изображение:Q19.png‎]]
 +
 +
(перед <tex> t^2 </tex> стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной <tex> t </tex> к переменной <tex> x </tex>, получим искомый интеграл.
 +
 +
Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
 +
 +
::[[Изображение:Q20.png‎]]
 +
 +
'''5.''' Интеграл [[Изображение:Q21.png‎]] можно вычислить с помощью подстановки
 +
<tex> x = a sin t </tex>. Имеем <tex> dx = a cos t dt </tex>, поэтому
 +
 +
::[[Изображение:Q22.png‎]]
 +
 +
Подставляя это выражение <tex> t = arcsin \frac{x}{a} </tex> и замечая, что
 +
 +
::[[Изображение:Q23.png‎]]
 +
 +
окончательно будем иметь
 +
 +
::[[Изображение:Q24.png‎]]
 +
 +
Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
 +
=== Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
=== Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
== Формула замены переменных в кратном интеграле ==
== Формула замены переменных в кратном интеграле ==

Версия 18:23, 16 ноября 2008

Содержание

Введение

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции f(x) и \phi(x) определены соответственно на промежутках \Delta_x и \Delta_y , причем \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x . Если функция f имеет на \Delta_x первообразную F{x) и, следовательно,

Изображение:Q1.jpg‎ (1)

а функция \phi(x) дифференцируема на \Delta_t , то функция f(\phi(t))\phi^,(t) имеет на \Delta_t , первообразную F(\phi(t)) и

Изображение:Q2.png‎ (2)


Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой \phi(t) = x . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

Изображение:Q3.png‎

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл Изображение:Q4.png‎), можно сделать подстановку x = \phi(t) , вычислить интеграл \int f(x) dx и затем вернуться к переменной t , положив x = \phi(t) .


Примеры.

1. Для вычисления интеграла \int cos ax dx естественно сделать подстановку u = ax , тогда

Изображение:Q5.png‎

2. Для вычисления интеграла Изображение:Q6.png‎ удобно применить подстановку u = x^3 + a^3 :

Изображение:Q7.png‎

3. При вычислении интегралов вида Изображение:Q8.png‎ полезна подстановка u = \phi(x) :

Изображение:Q9.png‎

Например,

Изображение:Q10.png‎

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Изображение:Q11.png‎

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла \int f(x) dx с помощью

Формула замены переменных в определенном интеграле

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции f(x) и \phi(x) определены соответственно на промежутках \Delta_x и \Delta_y , причем \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x . Если функция f имеет на \Delta_x первообразную F{x) и, следовательно,

Изображение:Q1.jpg‎ (1)

а функция \phi(x) дифференцируема на \Delta_t , то функция f(\phi(t))\phi^,(t) имеет на \Delta_t , первообразную F(\phi(t)) и

Изображение:Q2.png‎ (2)


Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой \phi(t) = x . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

Изображение:Q3.png‎

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл Изображение:Q4.png‎), можно сделать подстановку x = \phi(t) , вычислить интеграл \int f(x) dx и затем вернуться к переменной t , положив x = \phi(t) .


Примеры.

1. Для вычисления интеграла \int cos ax dx естественно сделать подстановку u = ax , тогда

Изображение:Q5.png‎

2. Для вычисления интеграла Изображение:Q6.png‎ удобно применить подстановку u = x^3 + a^3 :

Изображение:Q7.png‎

3. При вычислении интегралов вида Изображение:Q8.png‎ полезна подстановка u = \phi(x) :

Изображение:Q9.png‎

Например,

Изображение:Q10.png‎

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Изображение:Q11.png‎

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла \int f(x) dx с помощью соответствующей замены переменного x = \phi(t) свести к вычислению интеграла Изображение:Q12.png‎ (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция \phi имеет обратную \phi^{-1} , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной x с помощью подстановки t = \phi^{-1}(x) и поменяв местами стороны равенства, получим

Изображение:Q13.png‎

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция \phi^{-1} , обратная \phi , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке \Delta_t функция \phi была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция \phi^{-1} .

4. Интегралы вида Изображение:Q14.png‎ в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что Изображение:Q15.png‎, сделаем замену переменной Изображение:Q16.png‎ и положим Изображение:Q17.png‎. Тогда Изображение:Q18.png‎ и, в силу формулы (2), получим

Изображение:Q19.png‎

(перед t^2 стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной t к переменной x , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

Изображение:Q20.png‎

5. Интеграл Изображение:Q21.png‎ можно вычислить с помощью подстановки x = a sin t . Имеем dx = a cos t dt , поэтому

Изображение:Q22.png‎

Подставляя это выражение t = arcsin \frac{x}{a} и замечая, что

Изображение:Q23.png‎

окончательно будем иметь

Изображение:Q24.png‎

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Формула замены переменных в кратном интеграле

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Соотношение равномощности

Заключение

Литература

  1. Л.Д. Кудрявцев.  Курс математического анализа в 3 томах.
  2. З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова.  Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
  3. А.А. Самарский, А.В. Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
  4. http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
  5. http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85»
Личные инструменты