Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

Версия 18:27, 16 ноября 2008

Введение

Формула замены переменных в определенном интеграле

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем . Если функция имеет на первообразную и, следовательно,

(1)

а функция дифференцируема на , то функция имеет на , первообразную и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку , вычислить интеграл и затем вернуться к переменной , положив .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью соответствующей замены переменного свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция имеет обратную , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной с помощью подстановки и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция , обратная , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной к переменной , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки . Имеем , поэтому

Подставляя это выражение и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Формула замены переменных в кратном интеграле

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Соотношение равномощности

Заключение

Литература

1. Л.Д. Кудрявцев.  Курс математического анализа в 3 томах.
2. З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова.  Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
3. А.А. Самарский, А.В. Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
4. http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
5. http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html

См. также

• Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008