Участник:Gukov/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Содержание

1 Введение
- 1.1 Метод Ньютона-Рафсона
- 1.2 Случай почти равных корней
2 Изложение метода
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Метод Ньютона-Рафсона

Основная статья: Метод касательных (Ньютона-Рафсона)

Пусть имеется некоторая функция $F(x)$ и необходимо найти такие значения аргумента $x$ , для которых

(1)

$F(x)=0$

Перепишем (1) в виде

(1.1)

$x = f(x)$

и запишем $n+1$ -ое приближения корня (1.1), при этом делая поправку $\alpha$ к очередному значению $x_n$

(2)

$x_{n+1} = x_n + \alpha \Delta x_n,$

где $\Delta x_n = f(x_n) - x_n,$ и положим $\alpha = \frac{1}{1-f'(x_n)}$ .

Тогда (2) перепишется в виде

(3)

$x_{n+1} = \frac{f(x_n) - x_n f'(x_n)}{1 - f'(x_n)}$

Нетрудно видеть, что (3) эквивалентно простому методу последовательных приближений

$x_{n+1} = g(x_n),$

где $g(x) = \frac{f(x) - x f'(x)}{1 - f'(x)}$ .

Вспомним также, что если $|g'(x)| < 1$ , то метод сходится. Имеем

$g'(x) = \frac{f''(x)[f(x) - x]}{[1 - f'(x)]^2}.$

Но так как справедливо соотношение (1.1), то для $x,$ достаточно близких к решению (1.1), выражение в скобках в числителе дроби становится малым. Поэтому итерационный метод, описываемый формулой (3) сходится, если

1. Начальное приближение $x_0$ выбрано достаточно близко к решению $x = f(x)$ .
2. Производная $f''(x)$ не становится слишком большой.
3. Производная $f'(x)$ не слишком близка к 1.

Это и есть метод Ньютона-Рафсона. Обычно его записывают в виде

(4)

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)}$ ,

где $F(x) = f(x) - x = 0$

Таким образом, мы вернулись к уравнению в форме (1), и условия сходимости принимают следующий вид

1. Начальное приближение $x_0$ выбрано достаточно близко к корню уравнения $F(x) = 0$ .
2. Производная $F''(x)$ не становится очень большой.
3. Производная $F'(x)$ не слишком близка к 0.

Случай почти равных корней

Рисунок 1

Условие 3 сходимости метода Ньютона-Рафсона означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Соответствующая ситуация представлена на рисунке 1 (масштаб сильно увеличен). Заметим, что производная $f'(x)$ близка к 1 при x, равном обоим значениям корней, $a_1$ и $a_2$ . Более того, на основании теоремы Лагранжа, можно утверждать, что $f'(x) = 1$ где-то между $a_1$ и $a_2$ .

Рассмотрим, что случится, если принять $x_0$ в качестве исходного значения для корня $a_1$ . Касательная, проведенная через точку $C$ , пересечет прямую $y=x$ в точке $A$ , и следующее приближение будет равно $x_1$ . Касательная, проведенная через точку $B$ , пересекает прямую в точке $D$ , и в качестве следующего приближеня получается снова $x_0$ . Итерационный процесс, таким образом, осциллирует между $x_0$ и $x_1$ до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корня. Иначе говоря, не удается отделить эти два корня, потому что они расположены слишком близко.

Поэтому необходимо начальное приближение, достаточно близкое к искомому значению корня. Трудности возникают потому, что вычисление знаменателя в формуле (3) включает в себя вычитание двух почти равных чисел, что приводит к понижению точности.

Изложение метода

Поиск начального приближения

Рисунок 2

Сначала находится значение x, при котором $f'(x)=1$ , то есть решается уравнение

$x=x+f'(x)-1$

Пусть решением этого уравнения будет некоторое $x = x_0$ . Эта точка расположена между двумя корнями, $a_1$ и $a_2$ . Чтобы получить начальное приближение для решения уравнения, предположим, что $x_0$ лежит посредине между $a_1$ и $a_2$ (рисунок 2). Другими словами, мы предполагаем, что $x_0 + d$ и $x_0 - d$ являются корнями уравнения (1.1). Разлагая $f(x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0$ и принимая во внимание, что $f'(x)=1$ , получаем

$f(x) = f(x_0) + (x - x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x - x_0)^2 + \ldots$

Ограничим ряд тремя членами. Подставляя $x + d$ вместо $x$ , имеем

$f(x_0+d) = f(x_0) + d + \frac{1}{2} f''(x_0)(d^2)$

Но по условию

$f(x_0+d) = x_0+d,$

поэтому, решая эти уравнения относительно $d$ , получаем

$d=\sqrt{\frac{2(x_0 - f(x_0))}{f''(x_0)}}$

Таким образом, процесс решения сводится к следующему. Если дано уравнение с почти равными корнями, то, определив приблизительное местонахождение этих корней, необходиом решить уравнение

$x = x + f'(x) - 1$

и определить значение $x_0$ . Для решения этого уравнения можно применить, например, метод Ньютона-Рафсона. Найдя значение $x_0$ , можно определить значение $d$ . И, наконец, значения $x_0-d$ и $x_0+d$ используются в качестве начальных приближений для определения соответственно $a_1$ и $a_2$ .

Метод Рунге

Пусть существует асимптотическое разложение вида:

$D_N(f) = I_N(f) - I_0 = \alpha _2 h^2 + \alpha _4 h^4 + \alpha _6 h^6 + \ldots$ ,

где $f(x)$ - достаточно гладкая функция, а $hN = b - a$ .

Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шагами $h_1$ и $h_2$ соответственно и найдем выражения $I^{h_1}[f] = I_{N_1}[f]$ и $I^{h_2}[f] = I_{N_2}[f]$ , $h_1 N_1 = h_2 N_2 = b - a$ . Потребуем, чтобы погрешность для их линейной комбинации:

${\tilde D}^{h}(f) = \sigma D^{h_1}(f) + (1 - \sigma)D^{h_2}(f)$

была величиной более высокого порядка по сравнению с $D^{h_1}$ и $D^{h_2}$ . Если для $D^h = D_N$ имеет место формула вида

$D^{h} = I^{h}[f] - I[f] = \alpha _p h^p + \alpha _q h^q + \ldots,$ $q > p$ ,

то для

${\tilde D}^{h} = (\sigma I^{h_1}[f] + (1 - \sigma)I^{h_2}[f]) - I[f]$

получим

${\tilde D}^{h}(f) = \alpha _p(\sigma h_1^{p} + (1 - \sigma)h_2^{p}) + \alpha _q (\sigma h_1^{q} + (1 - \sigma)h_2^{q}) + \ldots$

Выберем параметр \sigma из условия $\sigma h_1^{p} + (1 - \sigma)h_2^{p}$ :

$\sigma = \frac{h_2^p}{h_2^p - h_1^p}$ .

Имеем

${\tilde D}^h(f) = \alpha _q(\sigma h_1^q + (1 - \sigma)h_2^q) + \ldots = O(h^q)$ , $h = max(h_1, h_2)$ ,

причем $\sigma h_1^q + (1 - \sigma)h^q_2 < 0$ . Так, если $p = 2, q = 4$ , то ${\tilde D}^{h}(f) = - \alpha _4 h_1^2 h_2^2 + \ldots = O(h^4)$ . Таким образом, проведя вычисления на двух сетках с шагами $h_1$ и $h_2 \ne h_1$ , мы повысили порядок точности на $2$ (на $(q - p)$ ) для ${\tilde I} = \sigma I^{h_1} + (1 - \sigma)I^{h_2}$ .

Процесс Эйткена

Метод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неизвестен порядок главного члена погрешности. Предположим, чт для погрешности имеет место представление

$D^{h}(f) = \alpha _p h^{p} + \alpha _q h^{q} + \ldots$ , $q > p$ ,

так что

$I^{h}[f] = I[f] + \alpha _p h^p + \alpha _q h^{q} + \ldots$

Проведем вычисления на трех сетках: $h_1 = h$ , $h_2 = \rho h$ , $h_3 = \rho^{2} h$ ( $0 < \rho < 1$ ). Определим $p$ . При этом пренебрегаем членом $O(h^q)$ . Образуем отношение

$A = \frac{I^{h_1}[f] - I^{h_2}[f]}{I^{h_2}[f] - I^{h_3}[f]} \approx \frac{h^p_1 - h^p_2}{h^p_2 - h^p_3} = \frac{1 - \rho^p}{\rho^p(1-\rho^p)} = (\frac{1}{\rho})^p$

и найдем

$p \approx \frac{\ln A}{\ln(\frac{1}{\rho})}$ .

Зная приближенное значение $p$ , можно методом методом Рунге повысить порядок точности. Для этого образуем комбинацию ${\tilde I}^h = \sigma I^{h_1} + (1 - \sigma)I^{h_2}$ и выберем $\sigma$ так, чтобы $\sigma h_1^p+(1 - \sigma)h_2^p = (\sigma + (1 - \sigma)\rho^p)h^p = 0$ , то есть $\sigma = \frac{\rho^p}{\rho^p - 1} = \frac{1}{1 - A}$ . Тогда для погрешности ${\tilde D}^h = {\tilde I}^h - I$ получаем

${\tilde D}^h(f) = O(h^q)$ .

Числовой пример

Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется методом Ромберга):

$\int^{5}_{1} \ln x\, dx = x \ln x - x |_1^{5} = 5\ln 5 - 4$

В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы:

r	Исходная формула	Экстраполированная формула	Точное значение	Погрешность вычислений	Погрешность формулы
2	3.98277278	4.04665506	4.04718956	0.0005345	0.00275556
4	4.03068449	4.04714980	4.04718956	0.00003976	0.00017222
8	4.04303347	4.04718692	4.04718956	0.00000264	0.00001076
16	4.04614856	4.04718939	4.04718956	0.00000017	0.00000067
32	4.04692918	4.04718955	4.04718956	0.00000001	0.00000004
64	4.04712446	4.04718956	4.04718956	0	0
20384	4.04718956

Здесь $r$ - коэффициент измельчения шага $h$ . Исходная величина шага $h = 2$ .

На иллюстрации черная сплошная линия - исходная формула, красная пунктирная - экстраполированная.

Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна. Уже при величине шага в $h = \frac{1}{64}$ мы можем найти значение интеграла с точностью $10^{-8}$ , тогда как в исходной формуле нам для достижения такой точности пришлось бы задать величину шага $h = \frac{1}{10192}$ .

Заключение

Мы получили более точные результаты при меньшем количестве вычислений функции, чем в исходном методе. Избавившись от степени, составляющей ошибку, мы пришли к результату, который в противном случае был бы недостижим без значительного уменьшения размера шага. Таким образом, мы преобразовали весьма посредственный алгоритм вычисления интегралов в довольно эффективный.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications, mit.edu

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Gukov/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категория: Незавершённые статьи

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Введение ==
-=== Постановка математической задачи ===
+=== Метод Ньютона-Рафсона ===
+{{main|Метод касательных (Ньютона-Рафсона)}}
-Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
+Пусть имеется некоторая функция <tex>F(x)</tex> и необходимо найти такие значения аргумента <tex>x</tex>, для которых
-{{ eqno | 1}}
+{{eqno|1}}
-:<tex>I = \int\limits_a^b f(x)\,dx,</tex>
+:<tex>F(x)=0</tex>
-где
+Перепишем {{eqref|1}} в виде
-<tex>
+{{eqno|1.1}}
-f(x)
+:<tex>x = f(x)</tex>
-</tex> - заданная и интегрируемая на <tex>  [a, b] </tex> функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
-{{ eqno | 2}}
+и запишем <tex>n+1</tex>-ое приближения корня {{eqref|1.1}}, при этом делая поправку <tex>\alpha</tex> к очередному значению <tex>x_n</tex>
-:<tex>I_n=\sum_{i=0}^n c_k f(x_k),</tex>
+{{eqno|2}}
+:<tex>x_{n+1} = x_n + \alpha \Delta x_n,</tex>
+где <tex>\Delta x_n = f(x_n) - x_n,</tex> и положим <tex>\alpha = \frac{1}{1-f'(x_n)}</tex>.
-где <tex>c_k</tex> - числовые коэффициенты и <tex>x_k</tex> - точки отрезка <tex>[a,b]</tex>, <tex> k = 0, 1, \ldots, n </tex>.
+Тогда {{eqref|2}} перепишется в виде
-Приближенное равенство
+{{eqno|3}}
+:<tex>x_{n+1} = \frac{f(x_n) - x_n f'(x_n)}{1 - f'(x_n)}</tex>
-:<tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx=\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)</tex>
+Нетрудно видеть, что {{eqref|3}} эквивалентно простому [[Метод последовательных приближений|методу последовательных приближений]]
+:<tex>x_{n+1} = g(x_n),</tex>
+где <tex>g(x) = \frac{f(x) - x f'(x)}{1 - f'(x)}</tex>.
-называется <i>квадратурной формулой</i>, а сумма вида {{eqref|2}} - <i>квадартурной суммой</i>. Точки <tex>x_i</tex> называются <i>узлами квадратурной формулы</i>.
+Вспомним также, что если <tex>|g'(x)| < 1</tex>, то метод сходится. Имеем
-Разность
+:<tex>g'(x) = \frac{f''(x)[f(x) - x]}{[1 - f'(x)]^2}.</tex>
-:<tex>\Psi _n = \int\limits_a^b f(x)\,dx-\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)</tex>
+Но так как справедливо соотношение {{eqref|1.1}}, то для <tex>x,</tex> достаточно близких к решению {{eqref|1.1}}, выражение в скобках в числителе дроби становится малым. Поэтому итерационный метод, описываемый формулой {{eqref|3}} сходится, если
+* 1. Начальное приближение <tex>x_0</tex> выбрано достаточно близко к решению <tex>x = f(x)</tex>.
+* 2. Производная <tex>f''(x)</tex> не становится слишком большой.
+* 3. Производная <tex>f'(x)</tex> не слишком близка к 1.
-называется <i>погрешностью квадратурной формулы</i>. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
+Это и есть метод Ньютона-Рафсона. Обычно его записывают в виде
+{{eqno|4}}
+:<tex>x_{n+1} = x_{n} - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)}</tex>,
-== Изложение метода ==
+где <tex>F(x) = f(x) - x = 0</tex>
-=== Экстраполяция Ричардсона ===
+Таким образом, мы вернулись к уравнению в форме {{eqref|1}}, и условия сходимости принимают следующий вид
+* 1. Начальное приближение <tex>x_0</tex> выбрано достаточно близко к корню уравнения <tex>F(x) = 0</tex>.
+* 2. Производная <tex>F''(x)</tex> не становится очень большой.
+* 3. Производная <tex>F'(x)</tex> не слишком близка к 0.
-Предположим, что для вычисления интеграла {{eqref|1}} отрезок <tex>[a, b]</tex> разбит на <tex>N</tex> равных отрезков длины
+=== Случай почти равных корней ===
-<tex>h = \frac{b-a}N</tex> и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл <tex>I</tex>
+[[Изображение:macon.png|thumb|200px|Рисунок 1]]
-заменяется некоторой квадратурной суммой <tex>I_h</tex>, причем возникающая погрешность зависит от шага сетки <tex>h</tex>.
+Условие 3 сходимости метода Ньютона-Рафсона означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Соответствующая ситуация представлена на рисунке 1 (масштаб сильно увеличен). Заметим, что производная <tex>f'(x)</tex> близка
-Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности <tex>I_h - I</tex> по степеням <tex>h</tex>. Предположим,
+к 1 при x, равном обоим значениям корней, <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>. Более того, на основании теоремы Лагранжа, можно утверждать, что <tex>f'(x) = 1</tex> где-то между <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>.
-что для данной квадратурной суммы <tex>I_h</tex> существует разложение:
-{{ eqno | 3}}
+Рассмотрим, что случится, если принять <tex>x_0</tex> в качестве исходного значения для корня <tex>a_1</tex>. Касательная,
-:<tex>I_h = I_0 + a_1 h^{\alpha _1} + a_2 h^{\alpha _2} + \ldots + a_m h^{\alpha _m} + O(h^{\alpha _{m+1}})</tex>,
+проведенная через точку <tex>C</tex>, пересечет прямую <tex>y=x</tex> в точке <tex>A</tex>, и следующее приближение будет равно
+<tex>x_1</tex>. Касательная, проведенная через точку <tex>B</tex>, пересекает прямую в точке <tex>D</tex>, и в качестве следующего приближеня получается снова <tex>x_0</tex>. Итерационный процесс, таким образом, осциллирует между <tex>x_0</tex> и <tex>x_1</tex>
+до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корня. Иначе говоря, не удается <i>отделить</i> эти два корня, потому что они расположены слишком близко.
-где <tex>0 < \alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _m < \alpha _{m+1}</tex> и коэффициенты <tex>\{ a_i \} \subset \mathbb{R}</tex> не зависят от <tex>h</tex>.
+Поэтому необходимо начальное приближение, достаточно близкое к искомому значению корня. Трудности возникают потому, что
-При этом величины <tex>\{ \alpha _i \} \subset \mathbb{R}</tex> предполагаются известными.
+вычисление знаменателя в формуле {{eqref|3}} включает в себя вычитание двух почти равных чисел, что приводит к понижению точности.
-Теперь предположим:
-:<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex>
-Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при <tex>h^{\alpha _1}</tex> является наибольшим) вычислим величину <tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h)</tex>. Имеем:
+== Изложение метода ==
-:<tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + \fbox{a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots</tex>
-Отсюда
-:<tex>I_1(h) = \frac{r^{\alpha _1}I(\frac{h}r) - I(h)}{r^{\alpha _1} - 1} = I_0 + \underbrace{a_2\,\frac{r^{\alpha _1 - \alpha _2} - 1}{r^{\alpha _1} - 1}}_{a_2 '}\,h^{\alpha _2} + \ldots </tex>
+=== Поиск начального приближения ===
-то есть имеем более точное приближение к интегралу <tex>I</tex>.
+[[Изображение:macon2.PNG|thumb|200px|Рисунок 2]]
+Сначала находится значение x, при котором <tex>f'(x)=1</tex>, то есть решается уравнение
+:<tex>x=x+f'(x)-1</tex>
+Пусть решением этого уравнения будет некоторое <tex>x = x_0</tex>. Эта точка расположена между двумя корнями, <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>. Чтобы получить начальное приближение для решения уравнения, предположим, что <tex>x_0</tex> лежит посредине между
+<tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex> (рисунок 2). Другими словами, мы предполагаем, что <tex>x_0 + d</tex> и <tex>x_0 - d</tex> являются корнями уравнения {{eqref|1.1}}. Разлагая <tex>f(x)</tex> в ряд Тейлора в окрестности точки <tex>x_0</tex> и принимая во внимание, что <tex>f'(x)=1</tex>, получаем
+:<tex>f(x) = f(x_0) + (x - x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x - x_0)^2 + \ldots</tex>
-Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:
+Ограничим ряд тремя членами. Подставляя <tex>x + d</tex> вместо <tex>x</tex>, имеем
+:<tex>f(x_0+d) = f(x_0) + d + \frac{1}{2} f''(x_0)(d^2)</tex>
-{{ eqno | 4}}
+Но по условию
-:<tex>I_{i+1}(h) = I_i(\frac{h}r) + \frac{I_i(\frac{h}r) - I_i(h)}{r^{\alpha _1} - 1} </tex>
+:<tex>f(x_0+d) = x_0+d,</tex>
-Заметим, что <tex>r</tex> - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении <tex>I</tex>. Разумно положить <tex>s = 2</tex>, т.к. большие значения <tex>s</tex> могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.
+поэтому, решая эти уравнения относительно <tex>d</tex>, получаем
+:<tex>d=\sqrt{\frac{2(x_0 - f(x_0))}{f''(x_0)}}</tex>
-Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей:
+Таким образом, процесс решения сводится к следующему. Если дано уравнение с почти равными корнями, то, определив приблизительное
+местонахождение этих корней, необходиом решить уравнение
+:<tex>x = x + f'(x) - 1</tex>
-<br>
+и определить значение <tex>x_0</tex>. Для решения этого уравнения можно применить, например, метод Ньютона-Рафсона.
-<tex>\line(1, 0){200}</tex>
+Найдя значение <tex>x_0</tex>, можно определить значение <tex>d</tex>. И, наконец, значения <tex>x_0-d</tex> и <tex>x_0+d</tex>
-<table>
+используются в качестве начальных приближений для определения соответственно <tex>a_1</tex> и <tex>a_2</tex>.
-   <tr>
-      <td><tex>I_0^{0}(h)</tex></td>
-   </tr>
-   <tr>
-      <td><tex>I_0^{1}(\frac{h}r)</tex></td>
-      <td><tex>I_1^{0}(h)</tex></td>
-   </tr>
-   <tr>
-       <td><tex>I_0^{2}(\frac{h}{r^2})</tex></td>
-       <td><tex>I_1^{1}(\frac{h}r)</tex></td>
-       <td><tex>I_2^{0}(h)</tex></td>
-   </tr>
-   <tr>
-      <td width = 25%><tex>\vdots</tex></td>
-      <td width = 25%><tex>\vdots</tex></td>
-      <td width = 25%><tex>\vdots</tex></td>
-      <td width = 25%><tex>\ddots</tex></td>
-   </tr>
-</table>
-<tex>\line(1,0){200}</tex>
 === Метод Рунге ===