Гипергеометрическое распределение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

**Гипергеометрическое распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$N\in 0,1,2,3,...\,$ $D\in 0,1,...,N\,$ $n\in 0,1,...,N\,$
Носитель	$k \in 0,1,...,n\,$
Функция вероятности	${{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}$
Функция распределения
Математическое ожидание	$nD\over N$
Медиана
Мода	$\left\lfloor \frac{(D+1)(n+1)}{N+2}\right\rfloor$
Дисперсия	$n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)$
Коэффициент асимметрии	$\frac{(N-2D)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}$
Коэффициент эксцесса	$\left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]\times$ $\times \left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}+\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{t})$
Характеристическая функция	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{it})$

Гипергеометрическое распределение — это дискретное вероятностное распределение, которое описывает количество успехов в выборке без возвращений длины $n$ над конечной совокупностью объектов.

	Попали в выборку	Не попали в выборку	Всего
С дефектом (успех)	$k$	$m-k$	$m$
Без дефекта	$n-k$	$N+k-n-m$	$N-m$
Всего	$n$	$N-n$	$N$

Это выборка из $N$ объектов, из которых $m$ дефектных. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что именно $k$ дефектных в выборке из $n$ конкретных объектов, взятых из совокупности.

Если случайная величина $X$ распределена гипергеометрически с параметрами $N,\;m,\;n$ , тогда вероятность получить ровно $k$ успехов (дефектных объектов в предыдущем примере) будет следующей:

$f(k;N,m,n)=\frac{C_m^k C_{N-m}^{n-k}}{C_N^n}$ .

Эта вероятность положительна, когда $k$ лежит в промежутке между $\max \{ 0, D+n-N \}$ и $\min\{ n,D \}$ .

Приведенная формула может трактоваться следующим образом: существует $N \choose n$ возможных выборок (без возвращения). Есть $D \choose k$ способов выбрать $k$ бракованных объектов и ${N-D} \choose {n-k}$ способов заполнить остаток выборки объектами без дефектов.

В случае, когда размер популяции является большим по сравнению с размером выборки (т.е., $N$ намного больше, чем $n$ ), гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением с параметрами $n$ (количество испытаний) и $p = D/N$ (вероятность успеха в одном испытании).

Симметричность

$f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}} = f(n-k;N,N-D,n)$ ,

$f(k;N,D,n) = f(D-k;N,D,N-n)$ ,

$f(k;N,D,n) = f(k;N,n,D)$ .

Ссылки

http://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_distribution

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»

Категория: Вероятностные распределения

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-==Гипергеометрическое распределение==
+{{Вероятностное распределение|
-==Применение и примеры==
+  name       =Гипергеометрическое распределение|
-==Симметрии==
+  type       =Функция|
-==Родственные распределения==
+  pdf_image  =|
-==Многомерное гипергеометрическое распределение==
+  cdf_image  =|
+  parameters =<tex>N\in 0,1,2,3,...\,</tex><br /><tex>D\in 0,1,...,N\,</tex><br /><tex>n\in 0,1,...,N\,</tex><br />|
+  support    =<tex>k \in 0,1,...,n\,</tex>|
+  pdf        =<tex>{{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}</tex>|
+  cdf        =|
+  mean       =<tex>nD\over N</tex>|
+  median     =|
+  mode       =<tex>\left\lfloor \frac{(D+1)(n+1)}{N+2}\right\rfloor</tex>|
+  variance   =<tex>n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)</tex>|
+  skewness   =<tex>\frac{(N-2D)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}</tex>|
+  kurtosis   =<tex> \left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]\times</tex><br /><tex>\times \left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}+\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]</tex>|
+  entropy    =|
+  mgf        =<tex>\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{t})</tex>|
+  char       =<tex>\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{it})</tex>
+}}
+'''Гипергеометрическое распределение''' &mdash; это дискретное вероятностное распределение, которое описывает количество успехов в выборке без возвращений длины <tex>n</tex> над конечной совокупностью объектов.
+{| class="wikitable"
+|-
+!
+! Попали в выборку
+! Не попали в выборку
+! Всего
+|-
+! С дефектом (успех)
+| <tex>k</tex>
+| <tex>m-k</tex>
+| <tex>m</tex>
+|-
+! Без дефекта
+| <tex>n-k</tex>
+| <tex>N+k-n-m</tex>
+| <tex>N-m</tex>
+|-
+! Всего
+| <tex>n</tex>
+| <tex>N-n</tex>
+| <tex>N</tex>
+|}
+Это выборка из <tex>N</tex> объектов, из которых <tex>m</tex> дефектных. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что именно <tex>k</tex> дефектных в выборке из <tex>n</tex> конкретных объектов, взятых из совокупности.
+Если случайная величина <tex>X</tex> распределена гипергеометрически с параметрами <tex>N,\;m,\;n</tex>, тогда вероятность получить ровно <tex>k</tex> успехов (дефектных объектов в предыдущем примере) будет следующей:
+::<tex>f(k;N,m,n)=\frac{C_m^k C_{N-m}^{n-k}}{C_N^n}</tex>.
+Эта вероятность положительна, когда <tex>k</tex> лежит в промежутке между <tex>\max \{ 0, D+n-N \} </tex> и <tex>\min\{ n,D \}</tex>.
+Приведенная формула может трактоваться следующим образом: существует <tex> N \choose n </tex> возможных выборок (без возвращения). Есть <tex> D \choose k </tex> способов выбрать <tex>k</tex> бракованных объектов и <tex> {N-D} \choose {n-k} </tex> способов заполнить остаток выборки объектами без дефектов.
+В случае, когда размер популяции является большим по сравнению с размером выборки (т.е., <tex>N</tex> намного больше, чем <tex>n</tex>), гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется [[Биномиальное распределение|биномиальным распределением]] с параметрами <tex>n</tex> (количество испытаний) и <tex>p = D/N</tex> (вероятность успеха в одном испытании).
+== Симметричность ==
+::<tex> f(k;N,D,n) = {{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}} = f(n-k;N,N-D,n)</tex>,
+::<tex> f(k;N,D,n) = f(D-k;N,D,N-n)</tex>,
+::<tex> f(k;N,D,n) = f(k;N,n,D) </tex>.
+==Ссылки==
+http://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_distribution
+==См. также==
+* [[Выборочный контроль качества]]
+* [[Слабая вероятностная аксиоматика]]
+[[Категория:Вероятностные распределения]]

Гипергеометрическое распределение

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Симметричность

Ссылки

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты