Участник:Айнагуль Джумабекова/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 18:52, 17 декабря 2008

$L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar(h_i)}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]$

$\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})$

$x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i$

$L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

$L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}$

$u''(x)$ ≈ $L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Интерполирование полиномами Лагранжа

Введение

Постановка математической задачи

Численное дифференцирование применяется, если функцию $y(x)$ трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.

Изложение метода

При численном дифференцировании функцию $y(x)$ аппроксимируют легко вычисляемой функцией $\varphi(x)$ и приближенно полагают $y'(x)=\varphi'(x)$ . При этом можно использовать различные способы аппроксимации.

Интерполирование полиномами Лагранжа

Рассмотрим неравномерную сетку $\omega_h=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b\}$ и обозначим за $h_i=x_i-x_{i-1}$ , $i=1,2,\dots,N$ шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа $L_{2,i}(x)$ , построенного для функции $u(x)$ по трем точкам $x_{i-1},x_i,x_{i+1}$ . Многочлен $L_{2,i}(x)$ имеет вид

$L_{2,i}(x)=\frac {(x-x_i)(x-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(x-x_{i-1})(x-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}$

Отсюда получим $L_{2,i}'(x)=\frac{(2x-x_i-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(2x-x_{i-1}-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(2x-x_{i-1}-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}$

Это выражение можно принять за приближенное значение $u'(x)$ в любой точке $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ . Его удобнее записать в виде $L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-<tex>x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]$ , где $\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})$ , $x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i$ .

В частности, при $x=x_i$ получим $L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$ , И если сетка равномерна, $h_{i+1}=h_i=h$ , то приходим к центральной разностной производной, $L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}$ . При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные $u_{\bar{x},i}$ и $u_{x,i}$ . Далее вычисляя вторую производную многочлена $L_{2,i}(x)$ , получим приближенное выражение для $u''(x)$ при $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ :

$u''(x)$ ≈ $L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной $u_{\bar{x}x,i}$ . Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена $L_{2,i}(x)$ , надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.

Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене $u'(x)$ выражением $L_{2,i}'(x)$ . Будем считать, что $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ и что величины $h_i, h_{i+1}$ имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности $u^{(4)}(x)$ получим $u_{i+k}=u(x)+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4)$ ,

где $k=0$ ,± $1,h=max\{h_i,h_{i+1}\}$ Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%90%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%94%D0%B6%D1%83%D0%BC%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной <tex>u_{\bar{x}x,i}</tex>. Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена <tex>L_{2,i}(x)</tex>, надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.
+Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене  <tex>u'(x)</tex> выражением <tex>L_{2,i}'(x)</tex>. Будем считать, что <tex>x</tex>∈ <tex>[x_{i-1},x_{i+1}]</tex> и что величины <tex>h_i, h_{i+1}</tex>  имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности <tex>u^{(4)}(x)</tex> получим
+<tex>u_{i+k}=u(x)+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4)</tex>,
+где <tex>k=0</tex>,±<tex>1,h=max\{h_i,h_{i+1}\}</tex>
+Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений

Участник:Айнагуль Джумабекова/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 18:52, 17 декабря 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Изложение метода

Интерполирование полиномами Лагранжа

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты