Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Примеры задач)
(→Примеры задач)
Строка 5: Строка 5:
известному с точностью до параметров.
известному с точностью до параметров.
Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны.
Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны.
-
Для того, чтобы выяснить, можно ли считать некоторую рулетку "честной", следует составить достаточно большую выборку из исходов этой рулетки и применить к выборке критерий,
+
Предположим, требуется выяснить, можно ли считать некоторую рулетку "честной".
-
сравнивая её распределение с равномерным.
+
Для этого следует составить достаточно большую выборку из исходов этой рулетки.
 +
После этого применим к выборке критерий, проверяя гипотезу о том, что она равномерно распределена.
==Описание критерия==
==Описание критерия==

Версия 14:08, 10 января 2009

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы H_0: "случайная величина X имеет распределение F(x)".

Содержание

Примеры задач

Критерий Колмогорова-Смирнова уместно применять в тех случаях, когда нужно проверить, подчиняется ли наблюдаемая случайная величина некоторому закону распределения, известному с точностью до параметров. Например, все исходы, выдаваемые рулеткой казино, должны быть равновероятны. Предположим, требуется выяснить, можно ли считать некоторую рулетку "честной". Для этого следует составить достаточно большую выборку из исходов этой рулетки. После этого применим к выборке критерий, проверяя гипотезу о том, что она равномерно распределена.

Описание критерия

Пусть X_n - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, F_n(x) - эмпирическая функция распределения, \Phi(x) - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.

Обозначим через H_0 гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению \Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X}). Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.

Гипотеза H_0 отвергается, если статистика \sqrt{n}D_n\! превышает квантиль распределения K_\alpha заданного уровня значимости \alpha, и принимается в противном случае.

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение X, в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины X параметрическому семейству функций. Один из возможных способов решения этой проблемы заключается в вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии и последующем применении критерия к нормализованной выборке

y_i=\frac{x_i-\bar{x}}{\sqr{\sigma_{\bar{x}}^2}}.

Если эта нормализованная выборка имеет распределение N(0, 1), то считается, что исходная выборка также распределена нормально с параметрами (\bar{x}, \sigma_{\bar{x}}).

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Kolmogorov А. N. Confidence limits for an unknown distribution function // AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
  3. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ. Сер. А. Вып. 2. 1939. С. 13—14.

См. также

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0»
Личные инструменты