Статистика Дарбина-Уотсона
Материал из MachineLearning.
(→Описание статистики) |
|||
| (4 промежуточные версии не показаны) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Статистика Дарбина-Уотсона''' предназначена для проверки независимости регресионных остатков. | '''Статистика Дарбина-Уотсона''' предназначена для проверки независимости регресионных остатков. | ||
| + | |||
| + | ==Применение== | ||
| + | Определенную информацию об адекватности уравнения [[регрессия|регрессии]] даёт исследование [[регрессионные остатки|регрессионных остатков]]. | ||
| + | Если выборочная регрессия удовлетворительно описывает истинную регрессионную зависимость, | ||
| + | то остатки должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним, | ||
| + | и в их значениях должен отсутствовать тренд. | ||
| + | Для проверки независимости остатков используется статистика Дарбина-Ватсона. | ||
==Описание статистики== | ==Описание статистики== | ||
Пусть дана последовательность наблюдаемых величин | Пусть дана последовательность наблюдаемых величин | ||
| - | ::<tex>y_1(x_1),\dots,y_n(x_n)< | + | ::<tex>y_1(x_1),\dots,y_n(x_n)</tex> |
и найдены их оценки | и найдены их оценки | ||
| - | ::<tex>\hat{y_1}(x_1),\dots,\hat{y_n}(x_n)</tex>. | + | ::<tex>\hat{y_1}(x_1),\dots,\hat{y_n}(x_n)</tex>, |
| + | где | ||
| + | ::<tex>\hat{y_i}(x_i)=a+bx_i</tex>. | ||
Остатки регрессии обозначим через | Остатки регрессии обозначим через | ||
::<tex>e_i=y_i-\hat{y_i}</tex>. | ::<tex>e_i=y_i-\hat{y_i}</tex>. | ||
| - | Если выборочная регрессия <tex>\hat{ | + | Если выборочная регрессия <tex>\hat{y}</tex> удовлетворительно описывает истинную зависимость между <tex>y</tex> и <tex>x</tex>, |
| - | то остатки <tex> | + | то остатки <tex>e_i</tex> должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним, |
| - | и в значениях <tex> | + | и в значениях <tex>e_i</tex> должен отсутствовать тренд. |
Независимость остатков может быть проверена при помощи коэффициента корреляции Дарбина-Уотсона, имеющего вид | Независимость остатков может быть проверена при помощи коэффициента корреляции Дарбина-Уотсона, имеющего вид | ||
::<tex>D=\frac{\sum_{i=2}^n (e_i - e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^n e_i^2}</tex>. | ::<tex>D=\frac{\sum_{i=2}^n (e_i - e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^n e_i^2}</tex>. | ||
| + | |||
| + | Если <tex>D > D_1(\alpha)</tex> или <tex>D > 4-D_1(\alpha)</tex>, то с достоверностью <tex>\alpha</tex> принимается гипотеза | ||
| + | о наличии соответственно отрицательной или положительной корреляции остатков. | ||
| + | Если <tex>D_2(\alpha) > D > D_1(\alpha)</tex> или <tex>4-D_1(\alpha) > D > 4-D_2(\alpha)</tex>, | ||
| + | то критерий не позволяет принять решение по гипотезе о наличии или отсутствии корреляции остатков. | ||
| + | Если <tex>D_2(\alpha) < D < 4 - D_2(\alpha)</tex>, то гипотеза корреляции остатков отклоняется. | ||
| + | Критические значения <tex>D_1(\alpha), D_2(\alpha)</tex> для различных <tex>\alpha</tex> берутся из табличных данных. | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
| Строка 25: | Строка 41: | ||
[[Категория:Прикладная статистика]] | [[Категория:Прикладная статистика]] | ||
| + | [[Категория:Регрессионный анализ]] | ||
Текущая версия
Статистика Дарбина-Уотсона предназначена для проверки независимости регресионных остатков.
Содержание |
Применение
Определенную информацию об адекватности уравнения регрессии даёт исследование регрессионных остатков. Если выборочная регрессия удовлетворительно описывает истинную регрессионную зависимость, то остатки должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним, и в их значениях должен отсутствовать тренд. Для проверки независимости остатков используется статистика Дарбина-Ватсона.
Описание статистики
Пусть дана последовательность наблюдаемых величин
и найдены их оценки
,
где
.
Остатки регрессии обозначим через
.
Если выборочная регрессия удовлетворительно описывает истинную зависимость между
и
,
то остатки
должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним,
и в значениях
должен отсутствовать тренд.
Независимость остатков может быть проверена при помощи коэффициента корреляции Дарбина-Уотсона, имеющего вид
.
Если или
, то с достоверностью
принимается гипотеза
о наличии соответственно отрицательной или положительной корреляции остатков.
Если
или
,
то критерий не позволяет принять решение по гипотезе о наличии или отсутствии корреляции остатков.
Если
, то гипотеза корреляции остатков отклоняется.
Критические значения
для различных
берутся из табличных данных.
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
- Durbin J., Watson G. S. Testing for serial correlation in least-squares regression // Biometrika. 1951. V. 38. P. 159-178.
См. также
Ссылки
- Durbin–Watson statistic(Wikipedia)
