Критерий Чоу

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Тест Чоу позволяет оценить значимость улучшения регрессионной модели после разделения исходной выборки на части. Это модификация однопараметрической экспоненциальной модели с коррекцией коэффициента линейного тренда. В методе Чоу происходит адаптация параметра к изменениям в дианамике ряда.

Примером использования данного критерия может служить задача, которую решал Чоу. Он тестировал свой метод на рядах месячных данных о сделках на различные виды продукции: перчатки, смазочные материалы, сальники, подшипники и т.д. Данные представляли собой разнообразные образцы поведения экономических временных рядов, включая циклическое движение. В 59 случаев из 60 предлагаемый метод показал преимущества перед стандартной процедурой и в одном случае результаты были почти одинаковы.

Постановка задачи

Основной задачей в этом разделе является обнаружение структурных изменений.

Пусть на временном интервале $[T_1;T_3]$ прогноз для момента $t$ по уже полученным данным $y_t$ имеет следующий вид:

$\hat{y}_t=\sum_{j=1}^kf_j(t)\alpha_j$

$f_j(t)$ - признаки (информация), по которым строится прогноз на момент времени $t$ , т.е. могут быть определены только до $t-1$ го момента

Варианты выбора функции $f_j$ :

$f_j$ может быть функцией времени ( $t, t^2,\ldots$ )
члены авторегрессии: $f_j=y_{t-1},y_{t-2},\ldots$
$f_j$ - внешние данные

Выделим внутри рассматриваемого временного интервала момент $T_2$ . Пусть прогноз на отрезке

$[T_1;T_2]:\; \hat{y}_{1t}=\sum_{j=1}^{k_1}f_{1j}(t)\alpha_{1j};$

$[T_2;T_3]:\; \hat{y}_{2t}=\sum_{j=1}^{k_2}f_{2j}(t)\alpha_{2j}$

Определим, насколько же необходимо менять модель в момент времени $T_2$ .

Описание критерия Чоу

Пусть $\vareps_{1t}=\hat{y}_{1t}-y_t,\; \vareps_{2t}=\hat{y}_{2t}-y_t$ - неточности в предсказании рядов на отрезках $[T_1;T_2]$ и $[T_2;T_3]$ соответственно.

Будем считать, что $\vareps_{1t},\; \vareps_{2t}$ распределены нормально с одними и теми же параметрами.

Нулевая гипотеза

Сформулируем нулевую гипотезу:

$H_0:\;$ структура стабильна

(разбиение на две модели не способствовало лучшему прогнозированию)

Статистика Чоу

Будем использовать следующие обозначения:

$\vareps_t=\hat{y}_t-y_t$ - неточность в предсказании ряда на отрезке $[T_1;T_3]$
$RSS$ - остаточная сумма квадратов для всего интервала $[T_1;T_3]$
$RSS_1=\sum_{t=T_1}^{T_2-1}\vareps_{t1}^2$
$RSS_2=\sum_{t=T_2}^{T_3}\vareps_{t2}^2$

Статистика Чоу:

$F(T_2)=\frac{RSS-\bigl(RSS_1+RSS_2\bigr)}{RSS_1+RSS_2}\cdot\frac{n-k_1+k_2}{k_1+k_2-k}$

$k1$ - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке $[T_1;T_2]$
$k2$ - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке $[T_2;T_3]$
$k$ - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке $[T_1;T_3]$ (в общем случае $k\neq k1+k2$ )
$n=T_3-T_1+1$

Статистика Чоу имеет распределение Фишера с $k_1+k_2-k$ и $n-k_1-k_2$ степенями свободы.

Критическая область

Для критерия Чоу критическая область при уровне значимости $\alpha$ - это область

$\Omega_{\alpha}:\; F(T_2)>F_{k_1+k2-k,n-k_1-k_2,\alpha}$

где $F_{k_1+k2-k,n-k_1-k_2,\alpha}$ - квантиль Фишера.

Если гипотеза $H_0$ отвергается, то необходимо использовать две модели.

Примечание

Если момент времени $T_2$ неизвестен, то рекомендуется следующее значение:

$T_2=\arg\max\limits_{T_2}F(T_2)$

Литература

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов.. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с. — ISBN 5-279-02740-5

См. также

Ссылки

ChowTest (BaseGroup)
Chow test (Wikipedia)

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A7%D0%BE%D1%83»

Категории: Энциклопедия анализа данных | Анализ временных рядов | Незавершённые статьи

@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 == Описание критерия Чоу==
-Пусть <tex>\vareps_{1t}=\hat{y}_{1t}-y_t,\; \vareps_{2t}=\hat{y}_{2t}-y_t.</tex>
+Пусть <tex>\vareps_{1t}=\hat{y}_{1t}-y_t,\; \vareps_{2t}=\hat{y}_{2t}-y_t</tex> - неточности в предсказании рядов на отрезках
-<br/ >Будем считать, что <tex>\vareps_{1t},\; \vareps_{2t}</tex> распределены нормально с одними и теми же параметрами.
+<tex>[T_1;T_2]</tex> и <tex>[T_2;T_3]</tex> соответственно.
+Будем считать, что <tex>\vareps_{1t},\; \vareps_{2t}</tex> распределены нормально с одними и теми же параметрами.
 ===Нулевая гипотеза===
-Сформулируем нулевую гипотезу:
+Сформулируем [[Нулевая гипотеза|нулевую гипотезу]]:
 ::<tex>H_0:\;</tex> структура стабильна
 <br/ >(разбиение на две модели не способствовало лучшему прогнозированию)
@@ Строка 32: / Строка 34: @@
 ===Статистика Чоу===
 Будем использовать следующие обозначения:
-*<tex>\vareps_t=\hat{y}_t-y_t</tex>
+*<tex>\vareps_t=\hat{y}_t-y_t</tex> - неточность в предсказании ряда на отрезке <tex>[T_1;T_3]</tex>
 *<tex>RSS</tex> - [[Остаточная сумма квадратов|остаточная сумма квадратов]] для всего интервала <tex>[T_1;T_3]</tex>
 *<tex>RSS_1=\sum_{t=T_1}^{T_2-1}\vareps_{t1}^2</tex>
@@ Строка 38: / Строка 40: @@
 Статистика Чоу:
 ::<tex>F(T_2)=\frac{RSS-\bigl(RSS_1+RSS_2\bigr)}{RSS_1+RSS_2}\cdot\frac{n-k_1+k_2}{k_1+k_2-k}</tex>
-<tex>n=T_3-T_1+1</tex>
-Статистика Чоу имеет [[Распределение Фишера|распределение Фишера]] с <tex>k_1+k_2-k</tex> и <tex>n-k_1-k_2</tex> степенями свободы.
+<tex> k1</tex> - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке <tex>[T_1;T_2]</tex>
+<br/ ><tex>k2</tex> - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке <tex>[T_2;T_3]</tex>
+<br/ ><tex>k</tex> - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке <tex>[T_1;T_3]</tex>
+(в общем случае <tex>k\neq k1+k2</tex>)
+<br/ ><tex>n=T_3-T_1+1</tex>
+Статистика Чоу имеет [[Критерий Фишера|распределение Фишера]] с <tex>k_1+k_2-k</tex> и <tex>n-k_1-k_2</tex> степенями свободы.
 === Критическая область ===
@@ Строка 46: / Строка 53: @@
 <tex>\alpha</tex> - это область
 ::<tex>\Omega_{\alpha}:\; F(T_2)>F_{k_1+k2-k,n-k_1-k_2,\alpha}</tex>
-где <tex>F_{k_1+k2-k,n-k_1-k_2,\alpha}</tex> - [[квантиль Фишера]].
+где <tex>F_{k_1+k2-k,n-k_1-k_2,\alpha}</tex> - [[квантиль]] Фишера.
 Если гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, то необходимо использовать две модели.
@@ Строка 76: / Строка 83: @@
 *[http://en.wikipedia.org/wiki/Chow_test Chow test] (Wikipedia)
-[[Категория: Параметрическая проверка гипотез]]
+[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
+[[Категория:Анализ временных рядов]]
 {{stub}}