Логранговый критерий

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Логранговый критерий или логарифмический ранговый критерий (англ. Logrank test) - это непараметричесикй критерий, используемый для сравнения двух кривых выживаемости. Критерий часто применяется в медицине и страховании.

Этот критерий был впервые предложен Натаном Мантелём и был назван "логранк критерием" Ричардом и Джулианом Пето.

Содержание

1 Примеры задач
- 1.1 Пример 1
- 1.2 Пример 2
2 Описание метода
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Примеры задач

Пример 1

В больнице проводятся испытания нового лекартва. Для этого сравнивают 2 контрольные группы: в первой группе люди принимают новое лекарство, а во второй - плацебо или старое лекарство. Исходом в данном случае является, например, сердечный приступ. Требуется определить, насколько эффективно новое лекарство.

Пример 2

При лейкозе требуется пересадка костного мозга. Лучшими его донорами являются близкие родственники (аллотрансплантация). Однако не всегда есть у кого взять костный мозг. Тогда используется другой метод: костный мозг берётся у самого больного, очищается и вводится ему после терапии. Этот метод называется аутотрансплантация. Требуется сравнить выживаемость после алло- и аутотрансплонтации. ^[1]

Описание метода

В клинических исследования часто нужно сравнить выживаемость в разных группах пациентов. Для этого можно использовать логранговый критерий.

Нулевая гипотеза

Гипотеза $H_0$ состоит в том, что выживаемость в группах одинакова и различия случайны, т.е. функции выживаемости $S_1(t)$ и $S_2(t)$ , заданные по $\{R_i^1,d_i^1\}$ и $\{R_i^2,d_i^2\}$ соответственно, неразличимы.

$R_i^1$ и $R_i^2$ - число объектов, доживающих до момента времени $t_i$ , исключая выбывших, из первой и второй групп,

$d_i^1$ и $d_i^2$ - число объектов, для которых произошёл исход в момент времени $t_i$ в первой и второй группах.

Дополнительные предположения

Применение логрангового критерия основано на следующих трех допущениях:

Две сравниваемые выборки независимы и случайны.
Выбывание в обеих выборках одинаково.
Функции выживаемости связаны соотношением: $S_2(t)=(S_1(t))^{\psi}$ .Величина $\psi$ называется отношением смертности. Если $\psi =1$ , то кривые выживаемости совпадают. Если $\psi <1$ , люди во второй выборке умирают позже, чем в первой. И наоборот, если $\psi >1$ , позже умирают в первой выборке.

Ожидаемое число исходов в $i$ -й момент для первой выборки вычисляется по формуле:

$E_t^1=\frac{R_i^1}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)$ ,

где $d_i^1+d_i^2$ - общее число исходов в момент времени $t_i$ в обеих выборках,

$R_i^1+R_i^2$ - число объектов, доживжих до момента времени $t_i$ , исключая выбывших, в обеих выборках.

Аналогично вычисляется ожидаемое число исходов в $i$ -й момент для второй выборки:

$E_t^2=\frac{R_i^2}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)$

А оценка дисперсии в $i$ -й момент равна

$V_i=\frac{R_i^1 R_i^2(d_i^1+d_i^2)(R_i^1+R_i^2-d_i^1-d_i^2)}{(R_i^1+R_i^2)^2 (R_i^1+R_i^2-1)}$

Статистика критерия

$LR=\frac{\max_k(\sum_i d_i^k - \sum_i E_i^k)^2}{\sum_i V_i}$

$LR$ распределена приближенно по закону хи-квадрат с одной степенью свободы.

Критерий

Если $LR>\chi_{1,\alpha}^2$ , то гипотеза $H_0$ отвергается.

$\chi_{1,\alpha}^2$ - $\alpha$ -квантиль распределения хи-квадрат с одной степенью свободы.

Статистика критерия (другая форма)

Если же представить статистику критерия, как

$Z=\frac{\sum_i(d_i^1-E_i^1)}{\sqr{\sum_i V_i}}$ ,

то $Z$ приблизительно имеет нормальное распределение. Если у двух групп одинаковые функции выживаемости, то статистика критерия $Z$ приближённо имеет стандартное нормальное распределение.

Критерий

И если $Z>\Phi_\alpha$ , где $\Phi_\alpha$ квантиль нормального распределения, то нулевая гипотеза отвергается.

Заметим, что совершенно неважно, для какой именно из групп вычисляется числитель статистики $Z$ . Для второй группы $Z$ равна по абсолютной величине $Z$ для первой, но имеет противоположный знак.

Литература

См. также

Ссылки

Logrank test

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9»

Категории: Прикладная статистика | Анализ выживаемости

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Логранговый критерий''' (англ. Logrank test) используется в статистике для сравнения двух кривых выживаемости. Этот непараметрический тест может быть применён, когда данные цензурированны справа. Его очень часто используют в медицине при аппробации нового лекарства.
+'''Логранговый критерий или логарифмический ранговый критерий''' (англ. Logrank test) - это непараметричесикй критерий, используемый для сравнения двух кривых выживаемости. Критерий часто применяется в медицине и страховании.
 Этот критерий был впервые предложен Натаном Мантелём и был назван "логранк критерием" Ричардом и Джулианом Пето.
-==Пример задачи==
+==Примеры задач==
-В больнице проводятся испытания нового лекартва. Для этого сравнивают 2 контрольные группы: в первой группе люди принимают новое лекарство, а во второй - плацебо. Измеряется время до какого-то событий (например, сердечного приступа).
+===Пример 1===
+В больнице проводятся испытания нового лекартва. Для этого сравнивают 2 контрольные группы: в первой группе люди принимают новое лекарство, а во второй - плацебо или старое лекарство. Исходом в данном случае является, например, сердечный приступ. Требуется определить, насколько эффективно новое лекарство.
+===Пример 2===
+При лейкозе требуется пересадка костного мозга. Лучшими его донорами являются близкие родственники (аллотрансплантация). Однако не всегда есть у кого взять костный мозг. Тогда используется другой метод: костный мозг берётся у самого больного, очищается и вводится ему после терапии. Этот метод называется аутотрансплантация. Требуется сравнить выживаемость после алло- и аутотрансплонтации.
+<ref name="Glanc">{{книга
+|автор = Стентон Гланц
+|заглавие = Медико-биологическая статистика. Электронная книга
+|оригинал = Primer of BIOSTATISTICS
+|ссылка =
+|издание = 4-е изд
+|место =  М.
+|издательство = Практика
+|год = 1999
+|страницы = 459
+}}</ref>
 ==Описание метода==
-===Исходные данные===
+В клинических исследования часто нужно сравнить выживаемость в разных группах пациентов. Для этого можно использовать логранговый критерий.
-<tex>i\in\{1,\cdots,T\}</tex>
-<tex>t_i</tex> - момент времени
+===Нулевая гипотеза===
+[[Нулевая гипотеза|Гипотеза <tex>H_0</tex>]] состоит в том, что выживаемость в группах одинакова и различия случайны, т.е. [[Функция выживаемости|функции выживаемости]] <tex>S_1(t)</tex> и <tex>S_2(t)</tex>, заданные по <tex>\{R_i^1,d_i^1\}</tex> и <tex>\{R_i^2,d_i^2\}</tex> соответственно, неразличимы.
-<tex>R_i</tex> - число объектов, доживающих до момента времени <tex>t_i</tex>, исключая выбывших
+<tex>R_i^1</tex> и <tex>R_i^2</tex>- число объектов, доживающих до момента времени <tex>t_i</tex>, исключая выбывших, из первой и второй групп,
-<tex>d_i</tex> - число объектов, для которых произошёл исход в момент времени <tex>t_i</tex>
+<tex>d_i^1</tex> и <tex>d_i^2</tex> - число объектов, для которых произошёл исход в момент времени <tex>t_i</tex> в первой и второй группах.
-===Определение===
+===Дополнительные предположения===
-Требуется Сравненить две кривые выживаемости.
+Применение логрангового критерия основано на следующих трех допущениях:
+* Две сравниваемые выборки независимы и случайны.
+* Выбывание в обеих выборках одинаково.
+* [[Функция выживаемости|Функции выживаемости]] связаны соотношением: <tex>S_2(t)=(S_1(t))^{\psi}</tex>.Величина <tex>\psi</tex> называется отношением смертности. Если <tex>\psi =1</tex>, то кривые выживаемости совпадают. Если <tex>\psi <1</tex>, люди во второй выборке умирают позже, чем в первой. И наоборот, если <tex>\psi >1</tex>, позже умирают в первой выборке.
-'''Гипотеза''' <tex>H_0</tex>: различия случайны, т.е. <tex>S_1(t)</tex> и <tex>S_2(t)</tex> неразличимы.
-Ожидаемое число исходов в <tex>i</tex>-й момент
+Ожидаемое число исходов в <tex>i</tex>-й момент для первой выборки вычисляется по формуле:
-<tex>E_t^1=\frac{R_i^1}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex>
+<tex>E_t^1=\frac{R_i^1}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex>,
+где <tex>d_i^1+d_i^2</tex> - общее число исходов в момент времени <tex>t_i</tex> в обеих выборках,
+<tex>R_i^1+R_i^2</tex> - число объектов, доживжих до момента времени <tex>t_i</tex>, исключая выбывших, в обеих выборках.
+Аналогично вычисляется ожидаемое число исходов в <tex>i</tex>-й момент для второй выборки:
 <tex>E_t^2=\frac{R_i^2}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex>
-<tex>V_i=\frac{R_i^1 R_i^2(d_i^1+d_i^2)(R_i^1+R_i^2-d_i^1-d_i^2)}{(R_i^1+R_i^2)(R_i^1+R_i^2-1)}</tex> - оценка дисперсии
+А оценка дисперсии в <tex>i</tex>-й момент равна
+<tex>V_i=\frac{R_i^1 R_i^2(d_i^1+d_i^2)(R_i^1+R_i^2-d_i^1-d_i^2)}{(R_i^1+R_i^2)^2 (R_i^1+R_i^2-1)}</tex>
 ===Статистика критерия===
-'''Логранговый критерий'''
-<tex>LR=\frac{\max_k(\sum_i d_i^k - \sum_i E_i^k)}{\sum_i V_i}</tex>
+<tex>LR=\frac{\max_k(\sum_i d_i^k - \sum_i E_i^k)^2}{\sum_i V_i}</tex>
 <tex>LR</tex> распределена приближенно по закону хи-квадрат с одной степенью свободы.
-Если <tex>LR>\chi_{1,\alpha}^2</tex>, то <tex>H_0</tex> отвергается.
+===Критерий===
+Если <tex>LR>\chi_{1,\alpha}^2</tex>, то гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается.
+<tex>\chi_{1,\alpha}^2</tex> - <tex>\alpha</tex>-[[Квантиль|квантиль]] распределения хи-квадрат с одной степенью свободы.
+===Статистика критерия (другая форма)===
+Если же представить статистику критерия, как
+<tex>Z=\frac{\sum_i(d_i^1-E_i^1)}{\sqr{\sum_i V_i}}</tex>,
+то <tex>Z</tex> приблизительно имеет нормальное распределение. Если у двух групп одинаковые функции выживаемости, то статистика критерия <tex>Z</tex> приближённо имеет стандартное нормальное распределение.
+===Критерий===
+И если <tex>Z>\Phi_\alpha</tex>, где <tex>\Phi_\alpha</tex> [[Квантиль|квантиль]] нормального распределения, то [[Нулевая гипотеза| нулевая гипотеза]] отвергается.
+Заметим, что совершенно неважно, для какой именно из групп вычисляется числитель статистики <tex>Z</tex>. Для второй группы  <tex>Z</tex> равна по абсолютной величине <tex>Z</tex> для первой, но имеет противоположный знак.
 == Литература ==
-* {{книга
+<references/>
-|автор = Стентон Гланц
-|заглавие = Медико-биологическая статистика. Электронная книга
-|оригинал = Primer of BIOSTATISTICS
-|ссылка =
-|издание = 4-е изд
-|место =  М.
-|издательство = Практика
-|год = 1999
-|страницы = 459
-}}
@@ Строка 61: / Строка 93: @@
 [[Категория: Прикладная статистика]][[Категория:Анализ выживаемости]]
-{{UnderConstruction|[[Участник:Ekaterina Mikhaylova|Ekaterina Mikhaylova]] 06:18, 11 января 2009 (MSK)}}

Логранговый критерий

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Примеры задач

Пример 1

Пример 2

Описание метода

Нулевая гипотеза

Дополнительные предположения

Статистика критерия

Критерий

Статистика критерия (другая форма)

Критерий

Литература

См. также

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты