Вероятностное пространство
Материал из MachineLearning.
(Новая: Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматик...) |
|||
Строка 21: | Строка 21: | ||
**Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> - события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности). | **Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> - события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности). | ||
**Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности). | **Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности). | ||
+ | |||
+ | ==Дискретные вероятностные пространства== | ||
+ | |||
+ | Если множество элементарных исходов <tex>\Omega</tex> конечно или счетно: <tex>\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}</tex>, то соответствующее вероятностное пространство называется ''дискретным''. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества <tex>\Omega</tex>. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу <tex>\omega_i</tex> число <tex>p_i\ge 0</tex> так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события <tex>B</tex> определяется следующим образом: | ||
+ | |||
+ | <tex>P(B)=\sum_{i:\omega_i\in B}p_i.</tex> | ||
[[Категория:Материалы по теории вероятностей]] | [[Категория:Материалы по теории вероятностей]] |
Версия 17:04, 2 ноября 2009
Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
Определение
Вероятностное пространство - это тройка , где:
- это множество объектов
, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество
необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения "произвести случайный опыт" означает в точности указать один элементарный исход
, который произошел в данной реализации опыта.
- это некоторая зафиксированная система подмножеств
, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие
, то говорят, что в данной реализации событие
произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий
должна быть сигма-алгеброй, т.е. удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество
должно быть событием, т.е. принадлежать
. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество
также должно быть событием:
. Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий
должна образовывать алгебру, т.е. быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если
и
, тогда должно быть
,
,
. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система
должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если
, тогда должно быть
и
.
- Пустое множество
- это числовая функция, которая определена на
и ставит в соответствие каждому событию
число
, которое называется вероятностью события
. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, т.е. обладать свойствами:
для любого
,
- Если
и
- события, причем
, тогда
(свойство аддитивности).
- Если
, причем Если
для любых Если
, тогда должно быть
(свойство сигма-аддитивности).
Дискретные вероятностные пространства
Если множество элементарных исходов конечно или счетно:
, то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества
. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу
число
так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события
определяется следующим образом: