Случайная величина

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Наиболее часто используемые типы случайных величин
- 3.1 Дискретные случайные величины
- 3.2 Абсолютно непрерывные случайные величины

Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},P)$ . Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция $X:\Omega\to\mathbb{R}$ , которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу $\omega\in\Omega$ число $X(\omega)$ - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть $\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -измеримой (где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ его полный прообраз при отображении $X$ должен быть событием: $X^{-1}(B)\in\mathcal{F}$ .

Свойства

Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Случайная величина $X$ индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)$ с мерой $P_X(B)=P(X^{-1}(B))$ , которая называется распределением вероятностей $X$ . При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность $P_X(B)$ также обозначают $P(X\in B)$ .

Универсальный способ задания распределения случайной величины - через функцию распределения $F_X(t)=P(X<t)$

Наиболее часто используемые типы случайных величин

В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений $\{x_1,x_2,\ldots\}$ и их вероятностей $\{p_1,p_2,\ldots\}$ , $p_i=P(X=x_i)$ , которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: $\sum p_i=1$ .

При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:

$P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i$ , где $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если функция распределения случайной величины $X$ имеет вид:

$F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du$ , где $p(u)$ - интегрируемая неотрицательная функция,

тогда эта случайная величина называется абсолютно непрерывной. Функция $p(u)$ при этом называется плотностью распределения. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:

$p(u)\ge 0$ и $\int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1$ .

И наоборот, любая интегрируемая функция $p(u)$ , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.

Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:

$p(t)=F'_X(t)$ .

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0»

Категория: Теория вероятностей

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Определение==
-Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>.
+Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>.
+==Свойства==
 Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
 Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>,
-которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя).
+которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность <tex>P_X(B)</tex> также обозначают <tex>P(X\in B)</tex>.
+Универсальный способ задания распределения случайной величины - через [[функция_распределения|функцию распределения]] <tex>F_X(t)=P(X<t)</tex>
+==Наиболее часто используемые типы случайных величин==
+В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
+===Дискретные случайные величины===
+'''Дискретная случайная величина''' - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений <tex>\{x_1,x_2,\ldots\}</tex> и их вероятностей <tex>\{p_1,p_2,\ldots\}</tex>, <tex>p_i=P(X=x_i)</tex>, которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: <tex>\sum p_i=1</tex>.
+При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:
+<center><tex>P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i</tex>, где <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>.</center>
+===Абсолютно непрерывные случайные величины===
+Если [[функция_распределения|функция распределения]] случайной величины <tex>X</tex> имеет вид:
+<center><tex>F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du</tex>, где <tex>p(u)</tex> - интегрируемая неотрицательная функция,</center>
+тогда эта случайная величина называется '''абсолютно непрерывной'''. Функция <tex>p(u)</tex> при этом называется '''плотностью распределения'''. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:
+<center><tex>p(u)\ge 0</tex> и <tex>\int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1</tex>.</center>
+И наоборот, любая интегрируемая функция <tex>p(u)</tex>, удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.
+Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:
+<center><tex>p(t)=F'_X(t)</tex>.</center>
-[[Категория:Материалы по теории вероятностей]]
+[[Категория:Теория вероятностей]]

Случайная величина

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Определение

Свойства

Наиболее часто используемые типы случайных величин

Дискретные случайные величины

Абсолютно непрерывные случайные величины

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты