Случайная величина

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(дополнение)
(категория)
 
Строка 40: Строка 40:
<center><tex>p(t)=F'_X(t)</tex>.</center>
<center><tex>p(t)=F'_X(t)</tex>.</center>
-
[[Категория:Материалы по теории вероятностей]]
+
[[Категория:Теория вероятностей]]

Текущая версия

Содержание

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},P). Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция X:\Omega\to\mathbb{R}, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу \omega\in\Omega число X(\omega) - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть \mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})-измеримой (где \mathcal{B}(\mathbb{R}) - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) его полный прообраз при отображении X должен быть событием: X^{-1}(B)\in\mathcal{F}.

Свойства

Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Случайная величина X индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X) с мерой P_X(B)=P(X^{-1}(B)), которая называется распределением вероятностей X. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность P_X(B) также обозначают P(X\in B).

Универсальный способ задания распределения случайной величины - через функцию распределения F_X(t)=P(X<t)

Наиболее часто используемые типы случайных величин

В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений \{x_1,x_2,\ldots\} и их вероятностей \{p_1,p_2,\ldots\}, p_i=P(X=x_i), которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: \sum p_i=1.

При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:

P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i, где B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если функция распределения случайной величины X имеет вид:

F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du, где p(u) - интегрируемая неотрицательная функция,

тогда эта случайная величина называется абсолютно непрерывной. Функция p(u) при этом называется плотностью распределения. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:

p(u)\ge 0 и \int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1.

И наоборот, любая интегрируемая функция p(u), удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.

Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:

p(t)=F'_X(t).
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0»
Личные инструменты