Тренд

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: '''Эта статья в разработке''')
(→См. также)
 
(4 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
-
'''Эта статья в разработке'''
+
{{TOCright}}
 +
'''Тренд''' — тенденция изменения показателей [[временной ряд|временного ряда]]. Тренды могут быть описаны различными функциями — линейными, степенными, экспоненциальными и т. д. Тип тренда устанавливают на основе данных временного ряда, путем осреднения показателей динамики ряда, на основе [[Проверка статистических гипотез|статистической проверки гипотезы]] о постоянстве параметров графика.
 +
 
 +
== Методы оценки ==
 +
* Параметрические — рассматривают временной ряд как гладкую функцию от <tex>t</tex>: <tex>X_t=f(t,\theta),\; t=1,\ldots,n</tex>; затем различными методами оцениваются параметры функции <tex>\theta</tex>, например, [[Метод наименьших квадратов|методом наименьших квадратов]]. Выделяют линеаризуемые тренды, то есть приводимые к линейному виду относительно параметров тренда на основе тех или иных алгебраических преобразований.
 +
* Непараметрические — это разного рода скользящие средние (простая, взвешенная); метод применяется для оценки тренда, но не для прогнозирования; полезен в случае, когда для оценки тренда не удается подобрать подходящую функцию.
 +
 
 +
Предпололжим что основной процесс — неполностью изученная физическая система. Можно построить модель независимо от природы процесса, чтобы объяснить поведение показателей. В частности, можно узнать, возрастает или убывает тенденция показателей.
 +
 
 +
== Моделирование трендов ==
 +
 
 +
Для описания [[временной ряд|временных рядов]] используются математические модели. Временной ряд <tex>x_t</tex>, генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:
 +
 
 +
::<tex>x_t=\xi_t+\epsilon_t,</tex>
 +
 
 +
где величина <tex>\epsilon_t</tex> — шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина <tex>\xi_t</tex> может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо их комбинацией. Величины <tex>\xi_t</tex> и <tex>\epsilon_t</tex> различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда:
 +
* переменная <tex>\epsilon_t</tex> влияет только на значение синхронного ей члена ряда;
 +
* <tex>\xi_t</tex> в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда.
 +
 
 +
Через величину <tex>\xi_t</tex> осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов.
 +
Величина <tex>\xi_t</tex> называется уровнем ряда в момент <tex>t</tex>, а закон эволюции уровня во времени — '''трендом'''. Тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.
 +
 
 +
Компоненты временного ряда <tex>\xi_t</tex> и <tex>\epsilon_t</tex> ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель — это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения <tex>\tau = 1, 2, \ldots, k</tex> составляет оценку тренда.
 +
 
 +
При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины <tex>\xi_t</tex>, т.е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.
 +
 
 +
'''Пример детерминированного тренда''':
 +
 
 +
::<tex>\xi_t = a_1 + a_2t + a_3t^2.</tex>
 +
 
 +
'''Пример случайного тренда''':
 +
 
 +
::<tex>\xi_t = \xi_{t-1} + u_t = \xi_0 + \sum_{i=1}^{t} u_i.</tex>
 +
 
 +
где <tex>\xi_t</tex> — некоторое начальное значение;
 +
<tex>u_t</tex> — случайная переменная.
 +
 
 +
'''Пример тренда смешанного типа''':
 +
 
 +
::<tex>\xi_t = a_1 + a_2t + u_t + qu_{t-1} + b\sin(\omega t),</tex>
 +
 
 +
где <tex>a_1,\; a_2,\; q,\; b,\; \omega</tex> — постоянные коэффициенты, <tex>u_t</tex> — случайная переменная.
 +
 
 +
== Статистические тесты ==
 +
* [[Критерий Аббе-Линника]]
 +
* [[Критерий Кокса-Стюарта]]
 +
* [[Критерий Фостера-Стюарта]]
 +
 
 +
== Методы прогнозирования тренда временного ряда ==
 +
* [[Модель Брауна]]
 +
* [[Модель Хольта]]
 +
* [[Модель Хольта-Уинтерса]]
 +
* [[Модель Тейла-Вейджа]]
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B4] Wikipedia
 +
 
 +
== Литература ==
 +
# ''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М.&nbsp;Финансы и статистика, 2003
 +
 
 +
[[Категория:Анализ временных рядов]]

Текущая версия

Содержание

Тренд — тенденция изменения показателей временного ряда. Тренды могут быть описаны различными функциями — линейными, степенными, экспоненциальными и т. д. Тип тренда устанавливают на основе данных временного ряда, путем осреднения показателей динамики ряда, на основе статистической проверки гипотезы о постоянстве параметров графика.

Методы оценки

  • Параметрические — рассматривают временной ряд как гладкую функцию от t: X_t=f(t,\theta),\; t=1,\ldots,n; затем различными методами оцениваются параметры функции \theta, например, методом наименьших квадратов. Выделяют линеаризуемые тренды, то есть приводимые к линейному виду относительно параметров тренда на основе тех или иных алгебраических преобразований.
  • Непараметрические — это разного рода скользящие средние (простая, взвешенная); метод применяется для оценки тренда, но не для прогнозирования; полезен в случае, когда для оценки тренда не удается подобрать подходящую функцию.

Предпололжим что основной процесс — неполностью изученная физическая система. Можно построить модель независимо от природы процесса, чтобы объяснить поведение показателей. В частности, можно узнать, возрастает или убывает тенденция показателей.

Моделирование трендов

Для описания временных рядов используются математические модели. Временной ряд x_t, генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:

x_t=\xi_t+\epsilon_t,

где величина \epsilon_t — шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина \xi_t может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо их комбинацией. Величины \xi_t и \epsilon_t различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда:

  • переменная \epsilon_t влияет только на значение синхронного ей члена ряда;
  • \xi_t в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда.

Через величину \xi_t осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов. Величина \xi_t называется уровнем ряда в момент t, а закон эволюции уровня во времени — трендом. Тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.

Компоненты временного ряда \xi_t и \epsilon_t ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель — это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения \tau = 1, 2, \ldots, k составляет оценку тренда.

При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины \xi_t, т.е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.

Пример детерминированного тренда:

\xi_t = a_1 + a_2t + a_3t^2.

Пример случайного тренда:

\xi_t = \xi_{t-1} + u_t = \xi_0 + \sum_{i=1}^{t} u_i.

где \xi_t — некоторое начальное значение; u_t — случайная переменная.

Пример тренда смешанного типа:

\xi_t = a_1 + a_2t + u_t + qu_{t-1} + b\sin(\omega t),

где a_1,\; a_2,\; q,\; b,\; \omega — постоянные коэффициенты, u_t — случайная переменная.

Статистические тесты

Методы прогнозирования тренда временного ряда

Ссылки

[1] Wikipedia

Литература

  1. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B4»
Личные инструменты