Распределение Стьюдента
Материал из MachineLearning.
м (это задание) |
|||
Строка 2: | Строка 2: | ||
name =Распределение Стьюдента| | name =Распределение Стьюдента| | ||
type =Плотность| | type =Плотность| | ||
- | pdf_image =[[ | + | pdf_image =[[Изображение:Student_densite_best.jpg|325px]]| |
- | cdf_image =[[ | + | cdf_image =[[Изображение:T_distributionCDF.png|325px]]| |
parameters =<tex>n > 0\!</tex> - число степеней свободы | | parameters =<tex>n > 0\!</tex> - число степеней свободы | | ||
support =<tex>x \in (-\infty; +\infty)\!</tex>| | support =<tex>x \in (-\infty; +\infty)\!</tex>| | ||
Строка 14: | Строка 14: | ||
skewness =<tex>0</tex> если <tex>n>3</tex>| | skewness =<tex>0</tex> если <tex>n>3</tex>| | ||
kurtosis =<tex>\frac{3n - 6}{n-4}\!</tex> где <tex>n>4</tex>| | kurtosis =<tex>\frac{3n - 6}{n-4}\!</tex> где <tex>n>4</tex>| | ||
- | entropy =<tex> | + | entropy =<tex>\frac{n+1}{2}\left[\psi(\frac{1+n}{2})- \psi(\frac{n}{2})\right] + \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}</tex> |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right] | + | |
- | + | ||
* <tex>\psi = \Gamma' / \Gamma</tex>, | * <tex>\psi = \Gamma' / \Gamma</tex>, | ||
* <tex>B</tex>: [[бета-функция]]| | * <tex>B</tex>: [[бета-функция]]| |
Версия 08:35, 20 ноября 2009
Плотность вероятности![]() | |
Функция распределения![]() | |
Параметры | |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Информационная энтропия |
|
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция |
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Содержание |
Определение
Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что
. Тогда распределение случайной величины
, где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут
. Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
-
,
где — гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента
- Распределение Стьюдента симметрично. В частности если
, то
-
.
Моменты
Случайная величина имеет только моменты порядков
, причём
-
, если
нечётно;
-
, если
чётно.
В частности,
-
,
-
, если
.
Моменты порядков не определены.
Связь с другими распределениями
- Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
-
.
- Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при
. Пусть дана последовательность случайных величин
, где
. Тогда
-
по распределению при
.
- Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть
. Тогда
-
.
Применение распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что
. Обозначим
выборочное среднее этой выборки, а
её выборочную дисперсию. Тогда
-
.
![]() | Данная статья является непроверенным учебным заданием.
До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |