Участник:Валентин Голодов/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Валентин Голодов(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Содержание

1 Введение
2 Постановка задачи
3 Изложение метода
- 3.1 Общий случай
- 3.2 Частные случаи для некоторых значений параметров
4 Недостатки метода
5 Пример программы
6 Список литературы

Введение

Постановка задачи

Пусть требуется вычислить интеграл

( 1 )

$I=\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx},$

где $\omega(b-a)\gg 1,$ $f(x)$ - гладкая на отрезке $[a,b]$ функция.
Вычисление интегралов такого рода является типичной задачей, встречающейся при разложении функций в ряды Фурье, при построении диаграмм направленности антенн и т.д.

Изложение метода

Общий случай

Будем рассматривать функцию $\textstyle exp{\{\imath*\omega x\}}$ как весовую.

Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми $d_1,\ldots,d_n \in [-1,1]$ и построим

интерполяционный многочлен Лагранжа $L_n(x)$ степени $n-1,$ совпадающий с $f(x)$ в точках $x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,$ $j=1,\ldots,n$
и заменим исходный интеграл на

( 2 )

$\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.$
Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде

$\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j),$ где

$D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}.$
Получилась квадратурная формула

$\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)$

с остаточным членом

$R_n(f)=\int_a^b{(f(x)-L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)$

Как и в общей формуле Ньютона-Котеса справедлива оценка

$R_n(f)\leq\int_a^b{\left | (f(x)-L_n(x))\right | dx}\leq D(d_1,\ldots,d_n)\left(\max_{[a,b]}{ \left|{f^{(n)}(x)\right | \right){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1},$ где

$D(d_1,\ldots,d_n)=\int_{-1}^{+1}{\frac{ \left | \omega_n^0p^0(t)\right | } {n!}dt},$

$\omega_n^0p^0(t)=(t-d_1)\ldots(t-d_n),\ p^0(t)=p\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)$

Частные случаи для некоторых значений параметров

Обычно в программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы (1) и (2), соответствующие случаям: $n=3,\ d_1=-1,\ d_2=0,\ d_3=1$ (Формула Филона) или $n=5,\ d_1=-1,\ d_2=-0.5,\ d_3=0,\ d_4=0.5,\ d_5=1$ Рассчетные коэффициенты в формуле (2) для формулы Филона:

$D_1(z)=z^{-3}\left[2z\cos(z)-\sin(z)\left(2-z^2\right)+\imath \left(z^2\cos(z)-z sin(z) \right) \right]$

$D_2(z)=z^{-3}\left[4\sin(z)-4z\cos(z)\right]$

$D_3(z)=z^{-3}\left[2z\cos(z)+sin(z) \left(z^2-2 \right )+\imath \left(z sin(z) - z^2 cos(z) \right) \right]$

Недостатки метода

Если формулы (1) и (2) использовать для вычисления интергалов от функций, не являющихся сильно осциллирующими, то может возникнуть следующая ситуация. Проиллюстрируем её для $n=2,\ d_1=-1,\ d_2=1.$ В этом случае

$D_1(p)=\int_{-1}^{+1}{ \frac{1-\xi}{2} exp{\{\imath*p \xi\}} d\xi}=\frac{\sin p}{p}+\frac{p\cos p - \sin p}{p^2} \imath,$

$D_2(p)=\int_{-1}^{+1}{ \frac{1+\xi}{2} exp{\{\imath*p \xi\}} d\xi}=\frac{\sin p}{p}-\frac{p\cos p - \sin p}{p^2} \imath.$

При $p\rightarrow 0$ имеем

$\frac{p\cos p - \sin p}{p^2}= - \frac{p}{3}+O(p^3) \rightarrow 0,\ \frac{\sin p}{p} \rightarrow 1.$

Таким образом, $D_1(p),D_2(p)\rightarrow 1 при p\rightarrow 0.$
Пусть $p$ - малое число. Функции $\sin p$ и $p\cos p$ вычисляются в машине с погрешностями $O(2^{-t}) и O(p2^{-t})$ соответственно. Вследствие этого коэффициенты $D_1(p),\ D_2(p)$ приобритают погрешность $O(2^{-t}/p))<\tex>. При <tex>n\g 2$ оказывается, что погрешность коэффициентов $D_j(p)$ , вычисляемых по формулам (1), может оказаться величиной порядка $2^{-t}/p^{n-1}))$ . При $t=30, \ n=5,\ p=0,01$ такая погрешность уже недопустима.

Пример программы

Список литературы

Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы

М.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%92%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD_%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B2/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категория: Незавершённые статьи

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 <p align="center"><tex>I=\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx},</tex></p>
 где <tex>\omega(b-a)\gg 1,</tex> <tex>f(x)</tex> - гладкая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция.<br />
+Вычисление интегралов такого рода является типичной задачей, встречающейся при разложении функций в [[ряды Фурье]], при построении диаграмм направленности антенн и т.д.
 == Изложение метода ==
 === Общий случай ===
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми <tex>d_1,\ldots,d_n  \in [-1,1]</tex> и построим
-[интерполяционный многочлен Лагранжа]<tex>L_n(x)</tex> степени <tex>n-1,</tex> совпадающий с <tex>f(x)</tex> в точках <tex>x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,</tex>  <tex>j=1,\ldots,n</tex> и заменим исходный интеграл на {{ eqno | 2 }}<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.</tex> <br /> Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде
+[[интерполяционный многочлен Лагранжа]]<tex>L_n(x)</tex> степени <tex>n-1,</tex> совпадающий с <tex>f(x)</tex> в точках <tex>x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,</tex>  <tex>j=1,\ldots,n</tex> <br /> и заменим исходный интеграл на {{ eqno | 2 }}<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.</tex> <br /> Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде
 ::<tex>\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j),</tex> где
-<tex>D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}</tex>
+<tex>D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}.</tex> <br />
+Получилась квадратурная формула
+::<tex>\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)</tex>
+с остаточным членом
+::<tex>R_n(f)=\int_a^b{(f(x)-L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)</tex>
+Как и в общей формуле [[Ньютона-Котеса]] справедлива оценка
+::<tex>R_n(f)\leq\int_a^b{\left | (f(x)-L_n(x))\right | dx}\leq D(d_1,\ldots,d_n)\left(\max_{[a,b]}{ \left|{f^{(n)}(x)\right | \right){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1},</tex> где
+::<tex>D(d_1,\ldots,d_n)=\int_{-1}^{+1}{\frac{ \left | \omega_n^0p^0(t)\right | } {n!}dt},</tex>
+::<tex>\omega_n^0p^0(t)=(t-d_1)\ldots(t-d_n),\ p^0(t)=p\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)</tex>
 === Частные случаи для некоторых значений параметров ===
+Обычно в программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы {{eqref|1}} и {{eqref|2}}, соответствующие случаям: <tex>n=3,\ d_1=-1,\ d_2=0,\ d_3=1</tex>''(Формула Филона)'' или <tex>n=5,\ d_1=-1,\ d_2=-0.5,\ d_3=0,\ d_4=0.5,\ d_5=1</tex>
+Рассчетные коэффициенты в формуле {{eqref|2}} для ''формулы Филона'':
+::<tex>D_1(z)=z^{-3}\left[2z\cos(z)-\sin(z)\left(2-z^2\right)+\imath \left(z^2\cos(z)-z sin(z) \right) \right]</tex>
+::<tex>D_2(z)=z^{-3}\left[4\sin(z)-4z\cos(z)\right]</tex>
+::<tex>D_3(z)=z^{-3}\left[2z\cos(z)+sin(z) \left(z^2-2 \right )+\imath \left(z sin(z) - z^2 cos(z) \right) \right]</tex>
+== Недостатки метода ==
+Если формулы {{eqref|1}} и {{eqref|2}} использовать для вычисления интергалов от функций, не являющихся сильно осциллирующими, то может возникнуть следующая ситуация. Проиллюстрируем её для <tex>n=2,\ d_1=-1,\ d_2=1.</tex> В этом случае
+::<tex>D_1(p)=\int_{-1}^{+1}{ \frac{1-\xi}{2} exp{\{\imath*p \xi\}} d\xi}=\frac{\sin p}{p}+\frac{p\cos p - \sin p}{p^2} \imath,</tex>
+::<tex>D_2(p)=\int_{-1}^{+1}{ \frac{1+\xi}{2} exp{\{\imath*p \xi\}} d\xi}=\frac{\sin p}{p}-\frac{p\cos p - \sin p}{p^2} \imath.</tex> <br />
+При <tex>p\rightarrow 0</tex> имеем
+::<tex>\frac{p\cos p - \sin p}{p^2}= - \frac{p}{3}+O(p^3) \rightarrow 0,\  \frac{\sin p}{p} \rightarrow 1.</tex> <br />
+Таким образом, <tex>D_1(p),D_2(p)\rightarrow 1 при p\rightarrow 0.</tex> <br />
+Пусть <tex>p</tex> - малое число. Функции <tex>\sin p</tex> и <tex>p\cos p</tex> вычисляются в машине с погрешностями <tex>O(2^{-t}) и O(p2^{-t})</tex> соответственно. Вследствие этого коэффициенты <tex>D_1(p),\ D_2(p)</tex> приобритают погрешность <tex>O(2^{-t}/p))<\tex>. При <tex>n\g 2</tex> оказывается, что погрешность коэффициентов   <tex>D_j(p)</tex>, вычисляемых по формулам {{eqref|1}}, может оказаться величиной порядка <tex>2^{-t}/p^{n-1}))</tex>. При <tex>t=30, \ n=5,\ p=0,01</tex> такая погрешность уже недопустима.
+== Пример программы ==
 == Список литературы ==
@@ Строка 24: / Строка 46: @@
 {{stub}}
-[[Категория:Численное интегрирование]]
-[[Категория:Учебные задачи]]