|
|
| (135 промежуточных версий не показаны.) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | <tex> </tex>
| + | == Двухфакторная непараметрическая модель == |
| | | | |
| - | == Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
| + | * [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов. |
| - | Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
| + | |
| | | | |
| - | '''Теорема.''' | + | '''Данные.''' |
| | | | |
| - | Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
| + | В каждом из <tex>n</tex> блоков содержится по одному наблюдению <tex>x_{ij}</tex> |
| - | <p align = "center">
| + | на каждуб из <tex>k</tex> обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин |
| - | [[Изображение:Q1.jpg]] (1) </p>
| + | <tex>X_{ij}</tex> в модели |
| | | | |
| - | а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
| + | <tex>X_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}</tex>, |
| - | <tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и | + | где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>. |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:Q2.png]] (2) </p>
| + | |
| | | | |
| | + | Здесь <tex>\mu</tex> - неизвестное общее среднее, |
| | + | <tex>\alpha_i</tex> - эффект блока <tex>i</tex> (неизвестный мешающий параметр), |
| | + | <tex>\beta_j</tex> - эффект блока <tex>j</tex> (интересующий нас параметр), |
| | + | <tex>\epsilon_{ij}</tex> - случайная ошибка |
| | + | <tex>j</tex> |
| | | | |
| - | Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex>. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
| + | '''Допущения.''' |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q3.png]]
| + | '''1.''' Все ошибки <tex>\epsilon_{ij}</tex> независимы. |
| - |
| + | |
| - | то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png]]), можно сделать подстановку <tex> x = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> x = \phi(t) </tex>.
| + | |
| | | | |
| | + | '''2.''' Все <tex>\epsilon_{ij}</tex> имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение. |
| | | | |
| - | '''Примеры.'''
| + | ==Критерий Фридмана== |
| | | | |
| - | '''1.''' Для вычисления интеграла <tex> \int cos ax dx </tex> естественно сделать подстановку <tex> u = ax </tex>, тогда
| + | Для проверки гипотезы |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q5.png]] | + | <tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex> |
| | | | |
| - | '''2.''' Для вычисления интеграла [[Изображение:Q6.png]] удобно применить подстановку
| + | против альтернативы |
| - | <tex> u = x^3 + a^3 </tex>:
| + | |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q7.png]] | + | <tex> H_1 </tex>: не все <tex> \beta_j </tex> равны между собой |
| - |
| + | |
| - | '''3.''' При вычислении интегралов вида [[Изображение:Q8.png]] полезна подстановка
| + | |
| - | <tex> u = \phi(x) </tex>: | + | |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q9.png]]
| + | применяется [[Критерий Фридмана]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260] |
| - | Например,
| + | |
| - | ::[[Изображение:Q10.png]]
| + | |
| - |
| + | |
| - | Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
| + | |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q11.png]]
| + | ===Пример=== |
| - |
| + | Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются? |
| - | Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью соответствующей замены переменного <tex> x = \phi(t) </tex> свести к вычислению интеграла [[Изображение:Q12.png]] (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
| + | |
| | | | |
| - | В случае, когда функция <tex> \phi </tex> имеет обратную <tex> \phi^{-1} </tex>, перейдя в обеих частях формулы {{eqref|2}} к переменной <tex> x </tex> с помощью подстановки <tex> t = \phi^{-1}(x) </tex> и поменяв местами стороны равенства, получим
| + | ==Критерий Пейджа== |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q13.png]]
| + | Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой ''упорядоченности'' (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок). |
| | | | |
| - | Эта формула называется обычно ''формулой интегрирования заменой переменной''.
| + | Для проверки гипотезы |
| | | | |
| - | Для того чтобы существовала функция <tex> \phi^{-1} </tex>, обратная <tex> \phi </tex>, в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке <tex> \Delta_t </tex> функция <tex> \phi </tex> была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция <tex> \phi^{-1} </tex>.
| + | <tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex> |
| | | | |
| - | '''4.''' Интегралы вида [[Изображение:Q14.png]] в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.
| + | против альтернативы возрастания эффектов обработок |
| | | | |
| - | Действительно, замечая, что [[Изображение:Q15.png]], сделаем замену переменной [[Изображение:Q16.png]] и положим [[Изображение:Q17.png]]. Тогда [[Изображение:Q18.png]] и, в силу формулы {{eqref|2}}, получим
| + | <tex> H_2: \beta_1 \leq \dots \leq \beta_k </tex>, |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q19.png]]
| + | где хотя бы одно из неравенств строгое, |
| | | | |
| - | (перед <tex> t^2 </tex> стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной <tex> t </tex> к переменной <tex> x </tex>, получим искомый интеграл.
| + | выполняется [[Критерий Пейджа|статистика критерия Пейджа]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263] |
| | | | |
| - | Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
| + | ===Пример=== |
| | + | '''Прочность волокон хлопка.''' |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q20.png]]
| + | Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам. |
| | + | С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения. |
| | | | |
| - | '''5.''' Интеграл [[Изображение:Q21.png]] можно вычислить с помощью подстановки
| |
| - | <tex> x = a sin t </tex>. Имеем <tex> dx = a cos t dt </tex>, поэтому
| |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q22.png]]
| |
| | | | |
| - | Подставляя это выражение <tex> t = arcsin \frac{x}{a} </tex> и замечая, что
| |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q23.png]]
| |
| | | | |
| - | окончательно будем иметь
| + | ==Литература== |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:Q24.png]] | + | # ''Шеффе Г.'' Дисперсионный анализ. — М., 1980. |
| | + | # ''Аренс Х.'' ''Лёйтер Ю.'' Многомерный дисперсионный анализ. |
| | + | # ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. |
| | + | # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. |
| | + | # ''Холлендер М., Вульф Д.А.'' Непараметрические методы статистики. |
| | | | |
| - | Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
| + | == Ссылки == |
| | | | |
| - | ==Формула замены переменных в определенном интеграле == | + | * [http://www.tspu.tula.ru/res/math/mop/lections/lection_7.htm#_Toc73845987 Дисперсионный анализ для связанных выборок] - Аналитическая статистика. |
| | + | * [http://lib.socio.msu.ru/l/library?e=d-000-00---001ucheb--00-0-0-0prompt-10---4------0-1l--1-ru-50---20-about---00031-001-1-0windowsZz-1251-00&a=d&cl=CL1&d=HASHe10c3b36c7d751dd18704b.11 Многофакторный дисперсионный анализ] - Электронная библиотека. |
| | | | |
| - | '''Теорема.'''
| + | ==См. также== |
| | | | |
| - | Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на отрезке <tex> [a'; b'] </tex> , а функция <tex> \phi(t) </tex> имеет непрерывную производную <tex> \phi'(t) </tex> на отрезке <tex> [\alpha; \beta] </tex>, причём все значения <tex> x = \phi(t) </tex> при <tex> [t \in{\alpha};{\beta}] </tex> принадлежат отрезку <tex> [a'; b'] </tex>, в том числе <tex> \phi(\alpha) = a </tex> и <tex> \phi(\beta) = b </tex>. Тогда имеет место равенство
| + | * [[Однофакторная параметрическая модель]] |
| | + | * [[Однофакторная непараметрическая модель]] |
| | + | * [[Дисперсионный анализ]] |
| | | | |
| - | <p align = "center">
| + | [[Категория:Прикладная статистика]] |
| - | [[Изображение:Img1.png]] </p> | + | [[Категория:Дисперсионный анализ]] |
| - |
| + | |
| - | '''Замечание.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной <tex> x </tex> не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной <tex> t </tex>. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.
| + | |
| - | | + | |
| - | Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной <tex> x </tex> должны быть указаны пределы изменения именно <tex> x </tex> (то есть <tex> a </tex> и <tex> b </tex>), в то время как в исходном интеграле по переменной <tex> t </tex> указаны пределы изменения <tex> t </tex> (то есть <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>).
| + | |
| - | | + | |
| - | Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Пример.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Вычислим интеграл
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Img2.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Для этого сделаем замену <tex> x = \phi(t) = \sin t </tex>, откуда <tex> dx = \phi'(t)dt = \cos t dt</tex>. Кроме того, при <tex> t = 0 </tex> имеем <tex> x = \sin 0 = 0 </tex>, а при <tex> t = \frac{\pi}{2} </tex> имеем <tex> x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </tex>. Получаем:
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Img2.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | === Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W1.png]] (3)
| + | |
| - | | + | |
| - | где <tex> p(x) > 0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W2.png]] (4)
| + | |
| - | | + | |
| - | где <tex> x \in[{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
| + | |
| - | Пусть на отрезке <tex> [a, b] </tex> заданы узлы интерполирования <tex> x_k, k = 0, 1, ... n </tex>. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на <tex> [a, b] </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Заменяя в интеграле {{eqref|3}} функцию <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом Лагранжа
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W3.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | получим приближенную формулу {{eqref|4}}, где
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W4.png]] (5)
| + | |
| - | | + | |
| - | Таким образом, формула {{eqref|4}} является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу {{eqref|5}}.
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | == Формула замены переменных в кратном интеграле ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть <tex> F </tex> — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества <tex> G \subset R_{x}^{n} </tex> в пространство <tex> R_{y}^{n} </tex> и его якобиан <tex> J_{F} </tex> не обращается в нуль на множестве <tex> G </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Если <tex> E </tex> — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием <tex> \bar{E} </tex> в открытом множестве <tex> G </tex>: <tex> E \subset \bar{E} \subset G </tex>, а функция <tex> f </tex> непрерывна на множестве <tex> \bar{F(E)} </tex>, то
| + | |
| - | | + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:A1.png]] (6) </p>
| + | |
| - |
| + | |
| - | Эта формула равносильна формуле
| + | |
| - |
| + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:A2.png]] (7) </p>
| + | |
| - |
| + | |
| - | Действительно, ограниченная функция одновременно ин¬тегрируема или нет как па измеримом множестве, так и па его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают (см.
| + | |
| - | конец п. 11.3). В нашем случае функции [(у) и f(F(x))\JF(x)\
| + | |
| - | непрерывны соответственно на компактах F(E) и Е (являю¬щихся замыканием измеримых множеств F(E) и Е), следо¬вательно, ограничены и интегрируемы на них. Таким обра¬зом, все входящие в формулы (16.16) и (16.17) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном ин¬теграле.
| + | |
| - | Замена переменных в кратном интеграле часто существен¬но упрощает его исследование и вычисление. При отом в от¬личие от однократного интеграла нередко целью замены пе¬ременного является не упрощение подынтегральной функ¬ции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
| + | |
| - | В качестве примера применения формулы замены перемен¬ных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интегра¬ла случай перехода от декартовых координат к полярным.
| + | |
| - | Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены г, ф и па пей открытый прямоугольник
| + | |
| - | С {(г, ф) : 0 < г < R, 0 < ф < 2л}. При отображении
| + | |
| - | х = г cos ф, у г sin ф, 0 < ф < 2пч 0 < г < R, (16.69)
| + | |
| - | прямоугольник G отображается на множество & плоскости с декартовыми координатами хч уч которое представляет собой круг х2 + у2 < R2, из которого удален радиус 0<х<й, г/=0 (рис. 69).
| + | |
| - | Отображение (16.69) и его якобиан
| + | |
| - | = г
| + | |
| - | Э(х, у)
| + | |
| - | Э(г, (р) нт(р
| + | |
| - | непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник
| + | |
| - | G {(г, ф):О<г<й, 0<ф<2я}, ФА У
| + | |
| - |
| + | |
| - | образом которого при продол¬женном отображении является
| + | |
| - | х
| + | |
| - | О
| + | |
| - | R
| + | |
| - | замкнутый круг G, па котором
| + | |
| - | отображение (16.69) уже не яв¬
| + | |
| - | ляется взаимно-однозначным:
| + | |
| - | взаимная однозначность нару¬
| + | |
| - | шается на гоанинс ПОЯМОУГОЛЬ- Рис, 69
| + | |
| - | пика G — отрезки 0 < х < R при ф 0 и ф = 2тг отображаются в
| + | |
| - | один и тот же отрезок 0 < х < R, у 0, а отрезок г 0, 0 < ф < 2к
| + | |
| - | и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного
| + | |
| - | отображения обращается в пуль при г 0.
| + | |
| - | Согласно теореме 2, для отображения (16.69) и непрерыв¬ной на круге х2 Н- у2 < R2 функции f(x, у) имеет место формула
| + | |
| - | М [{%> y)dxdy \\ /(гсозф, rs'm<p)rdrd<p.
| + | |
| - | Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:
| + | |
Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?
Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой упорядоченности (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).
Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам.
С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.
