м |
|
| (117 промежуточных версий не показаны.) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | ====Статьи о группах методов или критериев==== | + | == Двухфакторная непараметрическая модель == |
| - | {{well|'''Некоторые рекомендации'''
| + | |
| | | | |
| - | # Эти статьи не содержат описаний методов, но в них должны перечисляться ссылки на большое число методов или критериев, объединённых под данным общим названием.
| + | * [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов. |
| - | # Должно даваться общее определение из классических источников (например, из энциклопедии теории вероятностей и математической статистики).
| + | |
| - | # Желательны примеры задач.
| + | |
| - | # Желательно указывать, чем отличаются различные критерии и методы в данной группе друг от друга, какие есть рекомендации по выбору одного из этих методов.
| + | |
| - | # Любые сообщаемые факты должны сопровождаться ссылками на источник.
| + | |
| - | # Помните, что предоставляемая информация должна быть полезна специалистам при решении практических задач.
| + | |
| - | # Собрать грамотную подборку ссылок (вместо тупого копирования их содержимого) с вашими лаконичными комментариями — это уже очень полезно!
| + | |
| | | | |
| - | — ''[[Участник:Vokov|К.В.Воронцов]] 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)''
| + | '''Данные.''' |
| - | }}
| + | |
| | | | |
| | + | В каждом из <tex>n</tex> блоков содержится по одному наблюдению <tex>x_{ij}</tex> |
| | + | на каждуб из <tex>k</tex> обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин |
| | + | <tex>X_{ij}</tex> в модели |
| | | | |
| - | Ссылки на источники обязательны. Если Вы упоминаете другие понятия прикладной статистики (в том числе названия статистических критериев), оформляйте их как ссылки на страницы внутри Ресурса. В конце каждой статьи не забывайте про разделы ==Литература== (для книг), ==Ссылки== (для ссылок на внешние URL), ==См. также== (для ссылок на страницы внутри Ресурса).
| + | <tex>X_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}</tex>, |
| | + | где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>. |
| | | | |
| - | == Свойства распределения хи-квадрат ==
| + | Здесь <tex>\mu</tex> - неизвестное общее среднее, |
| | + | <tex>\alpha_i</tex> - эффект блока <tex>i</tex> (неизвестный мешающий параметр), |
| | + | <tex>\beta_j</tex> - эффект блока <tex>j</tex> (интересующий нас параметр), |
| | + | <tex>\epsilon_{ij}</tex> - случайная ошибка |
| | + | <tex>j</tex> |
| | | | |
| - | * Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если <math>\!Y_1, Y_2</math> независимы, и <math>\!Y_1 \sim \chi^2(n_1)</math>, а <math>\!Y_2 \sim \chi^2(n_2)</math>, то
| + | '''Допущения.''' |
| - | : <math>Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)</math>.
| + | |
| - | * Из определения легко получить [[моменты случайной величины|моменты]] распределения хи-квадрат. Если <math>Y \sim \chi^2(n)</math>, то
| + | |
| - | : <math>\mathbb{E}[Y] = n</math>,
| + | |
| - | : <math>\!\mathrm{D}[Y] = 2n</math>.
| + | |
| - | * В силу [[Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремы]], при большом числе степеней свободы распределение случайной величины <math>Y \sim \chi^2(n)</math> может быть приближено нормальным <math>Y \approx N( n, 2n )</math>. Более точно
| + | |
| - | : <math>\frac{Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1)</math> [[сходимость по распределению|по распределению]] при <math>n \to \infty</math>.
| + | |
| | | | |
| - | == Формулы для определителя ==
| + | '''1.''' Все ошибки <tex>\epsilon_{ij}</tex> независимы. |
| | | | |
| - | '''1.''' Если матрица <tex> A </tex> невырожденная, то <tex> A = P^{-1}LDU </tex> и | + | '''2.''' Все <tex>\epsilon_{ij}</tex> имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение. |
| - | <tex> \det A = \det P^{-1} \det L \det D \det U = \pm </tex>(произведение ведущих элементов). | + | |
| | | | |
| - | Знак плюс или минус дается определителем матрицы <tex> P^{-1} </tex> (или <tex> P </tex>) и зависит от того, является число перестановок строк в приведении четным или нечетным. Для треугольных сомножителей имеем <tex> \det L = \det U = 1 </tex> и <tex> \det D = d_1 ... d_n </tex>
| + | ==Критерий Фридмана== |
| | | | |
| - | '''2.''' Определитель матрицы <tex> A </tex> может быть вычислен разлоразложением по алгебраическим дополнениям i-й строки:
| + | Для проверки гипотезы |
| | | | |
| - | <tex> \det A = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} </tex>. | + | <tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex> |
| | | | |
| - | '''Алгебраическое дополнение''' <tex> \det A_{ij} </tex> есть определитель подподматрицы
| + | против альтернативы |
| - | <tex> M_{ij} </tex>, взятый с нужным знаком:
| + | |
| - |
| + | |
| - | <tex> A_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij} </tex>.
| + | |
| | | | |
| - | Подматрица <tex> M_{ij} </tex> образуется вычеркиванием i-й строки и j-го столбца матрицы <tex> A </tex>.
| + | <tex> H_1 </tex>: не все <tex> \beta_j </tex> равны между собой |
| | | | |
| - | '''3.''' '''Правило Крамера:''' j-й элемент вектора <tex> x = A^{-1} b </tex> равен
| + | применяется [[Критерий Фридмана]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260] |
| - | <tex> x_j = \frac {\det B_j}{\det A} </tex>, где
| + | |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:S1.png]]
| + | ===Пример=== |
| | + | Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются? |
| | | | |
| - | В <tex> B_j </tex> - вектор <tex> b </tex> заменяет собой j-й столбец матрицы <tex> A </tex>.
| + | ==Критерий Пейджа== |
| | | | |
| - | '''Пример.'''
| + | Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой ''упорядоченности'' (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок). |
| | | | |
| - | Решение системы
| + | Для проверки гипотезы |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:S2.png]] | + | <tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex> |
| | | | |
| - | '''4.''' '''Формула для ведущих элементов.'''
| + | против альтернативы возрастания эффектов обработок |
| | | | |
| - | Если матрица <tex> A </tex> представляется в виде <tex> LDU </tex>, то левые верхние углы удовлетворяют соотношению
| + | <tex> H_2: \beta_1 \leq \dots \leq \beta_k </tex>, |
| | | | |
| - | <tex> A_k = L_k D_k U_k </tex>
| + | где хотя бы одно из неравенств строгое, |
| | | | |
| - | Для разных <tex> k </tex> разложения подматриц <tex> A_k </tex> «согласованы» друг с другом.
| + | выполняется [[Критерий Пейджа|статистика критерия Пейджа]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263] |
| | | | |
| - | == Объем параллелепипеда == | + | ===Пример=== |
| | + | '''Прочность волокон хлопка.''' |
| | | | |
| - | Связь между определителем и объемом не очевидна, однако мы можем предположить для начала, что все углы прямые, т. е. грани взаимно перпендикулярны, и мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. Тогда объем его равен просто произведению длин ребер <tex> l_1 l_2 ... l_n </tex>.
| + | Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам. |
| | + | С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения. |
| | | | |
| - | Мы хотим получить ту же самую формулу с помощью определителя. С этой целью вспомним, что ребра параллелепипеда представляются строками матрицы <tex> A </tex>. В нашем случае эти строки
| |
| - | взаимно ортогональны, так что
| |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:S3.png]]
| |
| | | | |
| - | Величины <tex> l^{2}_{i} </tex> суть квадраты длин строк матрицы, т. е. квадраты длин ребер, и нули вне диагонали получаются вследствие ортогональности строк. Переходя к определителям, получаем
| |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:S4.png]]
| |
| | | | |
| - | Извлекая корень, мы и приходим к требуемому соотношению:
| + | ==Литература== |
| - | ''определитель равняется объему''. Знак при <tex> \det A </tex> будет зависеть от того, образуют ребра правостороннюю систему координат вида <tex> xyz </tex> или левостороннюю <tex> xyz </tex>.
| + | |
| - |
| + | |
| - | Если область не прямоугольна, то объем уже не равен произведению длин ребер. В плоском случае «объем» параллелограмма равен произведению длины основания на высоту <tex> h </tex>.
| + | |
| - |
| + | |
| - | Вектор <tex> pb </tex> длины <tex> h </tex> есть разность между вектором второй строки <tex> Ob = (a_{21}, a_{22}) </tex> и его проекцией <tex> Op </tex> на вектор первой строки.
| + | |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:S5.png]] | + | # ''Шеффе Г.'' Дисперсионный анализ. — М., 1980. |
| | + | # ''Аренс Х.'' ''Лёйтер Ю.'' Многомерный дисперсионный анализ. |
| | + | # ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. |
| | + | # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. |
| | + | # ''Холлендер М., Вульф Д.А.'' Непараметрические методы статистики. |
| | | | |
| - | Площадь паралелограмма равна <tex> \det A </tex>.
| + | == Ссылки == |
| | | | |
| - | ::[[Изображение:S6.png]] | + | * [http://www.tspu.tula.ru/res/math/mop/lections/lection_7.htm#_Toc73845987 Дисперсионный анализ для связанных выборок] - Аналитическая статистика. |
| | + | * [http://lib.socio.msu.ru/l/library?e=d-000-00---001ucheb--00-0-0-0prompt-10---4------0-1l--1-ru-50---20-about---00031-001-1-0windowsZz-1251-00&a=d&cl=CL1&d=HASHe10c3b36c7d751dd18704b.11 Многофакторный дисперсионный анализ] - Электронная библиотека. |
| | | | |
| - | Площади квадрата и параллелограмма.
| + | ==См. также== |
| | | | |
| - | Первый представляет собой единичный квадрат, и его площадь, равна 1. Второй есть параллелограмм с единичными основанием и высотой; его площадь не зависит от «сдвига», даваемого коэффициентом <tex> c </tex>, и равна 1.
| + | * [[Однофакторная параметрическая модель]] |
| | + | * [[Однофакторная непараметрическая модель]] |
| | + | * [[Дисперсионный анализ]] |
| | | | |
| - | == Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
| + | [[Категория:Прикладная статистика]] |
| - | Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
| + | [[Категория:Дисперсионный анализ]] |
| - | | + | |
| - | '''Теорема.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
| + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:Q1.jpg]] (1) </p> | + | |
| - | | + | |
| - | а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
| + | |
| - | <tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
| + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:Q2.png]] (2) </p>
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex>. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q3.png]]
| + | |
| - |
| + | |
| - | то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png]]), можно сделать подстановку <tex> x = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> x = \phi(t) </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | '''Примеры.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | '''1.''' Для вычисления интеграла <tex> \int cos ax dx </tex> естественно сделать подстановку <tex> u = ax </tex>, тогда
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q5.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | '''2.''' Для вычисления интеграла [[Изображение:Q6.png]] удобно применить подстановку
| + | |
| - | <tex> u = x^3 + a^3 </tex>:
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q7.png]]
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''3.''' При вычислении интегралов вида [[Изображение:Q8.png]] полезна подстановка
| + | |
| - | <tex> u = \phi(x) </tex>:
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q9.png]]
| + | |
| - | Например,
| + | |
| - | ::[[Изображение:Q10.png]]
| + | |
| - |
| + | |
| - | Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q11.png]]
| + | |
| - |
| + | |
| - | Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью соответствующей замены переменного <tex> x = \phi(t) </tex> свести к вычислению интеграла [[Изображение:Q12.png]] (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
| + | |
| - | | + | |
| - | В случае, когда функция <tex> \phi </tex> имеет обратную <tex> \phi^{-1} </tex>, перейдя в обеих частях формулы {{eqref|2}} к переменной <tex> x </tex> с помощью подстановки <tex> t = \phi^{-1}(x) </tex> и поменяв местами стороны равенства, получим
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q13.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Эта формула называется обычно ''формулой интегрирования заменой переменной''.
| + | |
| - | | + | |
| - | Для того чтобы существовала функция <tex> \phi^{-1} </tex>, обратная <tex> \phi </tex>, в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке <tex> \Delta_t </tex> функция <tex> \phi </tex> была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция <tex> \phi^{-1} </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''4.''' Интегралы вида [[Изображение:Q14.png]] в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.
| + | |
| - | | + | |
| - | Действительно, замечая, что [[Изображение:Q15.png]], сделаем замену переменной [[Изображение:Q16.png]] и положим [[Изображение:Q17.png]]. Тогда [[Изображение:Q18.png]] и, в силу формулы {{eqref|2}}, получим
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q19.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | (перед <tex> t^2 </tex> стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной <tex> t </tex> к переменной <tex> x </tex>, получим искомый интеграл.
| + | |
| - | | + | |
| - | Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q20.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | '''5.''' Интеграл [[Изображение:Q21.png]] можно вычислить с помощью подстановки
| + | |
| - | <tex> x = a sin t </tex>. Имеем <tex> dx = a cos t dt </tex>, поэтому
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q22.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Подставляя это выражение <tex> t = arcsin \frac{x}{a} </tex> и замечая, что
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q23.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | окончательно будем иметь
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Q24.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Формула замены переменных в определенном интеграле ==
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на отрезке <tex> [a'; b'] </tex> , а функция <tex> \phi(t) </tex> имеет непрерывную производную <tex> \phi'(t) </tex> на отрезке <tex> [\alpha; \beta] </tex>, причём все значения <tex> x = \phi(t) </tex> при <tex> [t \in{\alpha};{\beta}] </tex> принадлежат отрезку <tex> [a'; b'] </tex>, в том числе <tex> \phi(\alpha) = a </tex> и <tex> \phi(\beta) = b </tex>. Тогда имеет место равенство
| + | |
| - | | + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:Img1.png]] </p>
| + | |
| - |
| + | |
| - | '''Замечание.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной <tex> x </tex> не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной <tex> t </tex>. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.
| + | |
| - | | + | |
| - | Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной <tex> x </tex> должны быть указаны пределы изменения именно <tex> x </tex> (то есть <tex> a </tex> и <tex> b </tex>), в то время как в исходном интеграле по переменной <tex> t </tex> указаны пределы изменения <tex> t </tex> (то есть <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>).
| + | |
| - | | + | |
| - | Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Пример.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Вычислим интеграл
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Img2.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Для этого сделаем замену <tex> x = \phi(t) = \sin t </tex>, откуда <tex> dx = \phi'(t)dt = \cos t dt</tex>. Кроме того, при <tex> t = 0 </tex> имеем <tex> x = \sin 0 = 0 </tex>, а при <tex> t = \frac{\pi}{2} </tex> имеем <tex> x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </tex>. Получаем:
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Img2.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | === Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W1.png]] (3)
| + | |
| - | | + | |
| - | где <tex> p(x) > 0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W2.png]] (4)
| + | |
| - | | + | |
| - | где <tex> x \in[{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
| + | |
| - | Пусть на отрезке <tex> [a, b] </tex> заданы узлы интерполирования <tex> x_k, k = 0, 1, ... n </tex>. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на <tex> [a, b] </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Заменяя в интеграле {{eqref|3}} функцию <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом Лагранжа
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W3.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | получим приближенную формулу {{eqref|4}}, где
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:W4.png]] (5)
| + | |
| - | | + | |
| - | Таким образом, формула {{eqref|4}} является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу {{eqref|5}}.
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | == Формула замены переменных в кратном интеграле ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть <tex> F </tex> — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества <tex> G \subset R_{x}^{n} </tex> в пространство <tex> R_{y}^{n} </tex> и его якобиан <tex> J_{F} </tex> не обращается в нуль на множестве <tex> G </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Если <tex> E </tex> — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием <tex> \bar{E} </tex> в открытом множестве <tex> G </tex>: <tex> E \subset \bar{E} \subset G </tex>, а функция <tex> f </tex> непрерывна на множестве <tex> \bar{F(E)} </tex>, то
| + | |
| - | | + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:A1.png]] (6) </p>
| + | |
| - |
| + | |
| - | Эта формула равносильна формуле
| + | |
| - |
| + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:A2.png]] (7) </p>
| + | |
| - |
| + | |
| - | Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.
| + | |
| - | | + | |
| - | В нашем случае функции <tex> f(y) </tex> и [[Изображение:A3.png]] непрерывны соответственно на компактах <tex> \bar{F(E)} </tex> и <tex> \bar{E} </tex> (являющихся замыканием измеримых множеств <tex> F(E) </tex> и <tex> E </tex>), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.
| + | |
| - | | + | |
| - | Таким образом, все входящие в формулы {{eqref|6}} и {{eqref|7}} интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются ''формулами замены переменных в кратном интеграле''.
| + | |
| - | | + | |
| - | Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
| + | |
| - | | + | |
| - | В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.
| + | |
| - | | + | |
| - | Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены <tex> r </tex>, <tex> \varphi </tex> и на ней открытый прямоугольник
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:A4.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | При отображении
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:A5.png]] (8)
| + | |
| - | | + | |
| - | прямоугольник <tex> G </tex> отображается на множество <tex> G </tex> плоскости с декартовыми координатами <tex> x, y </tex>, которое представляет собой круг [[Изображение:A6.png]], из которого удален радиус [[Изображение:A7.png]].
| + | |
| - | | + | |
| - | Отображение {{eqref|8}} и его якобиан
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:A8.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:A9.png]]
| + | |
| - |
| + | |
| - | образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг <tex> G </tex>, на котором
| + | |
| - | отображение {{eqref|8}} уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника <tex> G </tex> — отрезки [[Изображение:A10.png]] при <tex> \varphi = 0 </tex> и <tex> \varphi = 2 \pi </tex> отображаются в один и тот же отрезок [[Изображение:A10.png]], <tex> y = 0 </tex>, а отрезок [[Изображение:A11.png]]и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при <tex> r = 0 </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | <p align = "center">
| + | |
| - | [[Изображение:A15.png]] </p>
| + | |
| - | | + | |
| - | Для отображения {{eqref|8}} и непрерывной на круге [[Изображение:A12.png]] функции <tex> f(x)(y) </tex> имеет место формула
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:A13.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:A14.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | == Сведения об интегралах с бесконечными пределами ==
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Определение.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на бесконечном промежутке <tex> [a, \infty) </tex>. ''Несобственным интегралом'' от функции <tex> f(x) </tex> на промежутке <tex> [a, \infty) </tex> называется предел [[Изображение:Z1.png]]
| + | |
| - | и обозначается
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Z2.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Определение.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на бесконечном промежутке <tex> (-\infty, b) </tex>. ''Несобственным интегралом'' от функции f(x) на промежутке <tex> (-\infty, b) </tex> называется предел [[Изображение:Z3.png]]
| + | |
| - | и обозначается
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Z4.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Определение.'''
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции <tex> f(x) </tex> на бесконечном промежутке <tex> (-\infty, +\infty) </tex> определяется равенством
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Z5.png]]
| + | |
| - | | + | |
| - | где <tex> c </tex> — любое число на оси <tex> Ox </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке <tex> [a, \infty) </tex>. Известно, что интеграл <tex> \int_{a}^{b} f(x) dx </tex> численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком <tex> [a, b] </tex> оси <tex> Ox </tex>, сверху — кривой <tex> y = f(x) </tex>, слева и справа — прямыми <tex> x = a </tex> и <tex> x = b </tex>. При возрастании <tex> b </tex> прямая <tex> x = b </tex> перемещается вправо вдоль оси <tex> Ox </tex>. Если при этом интеграл <tex> \int_{a}^{+\infty} f(x) dx </tex> сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью <tex> Ox </tex>, сверху — графиком функции <tex> y = f(x) </tex>, слева — прямой <tex> x = a </tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | ::[[Изображение:Z6.png]]
| + | |
Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?
Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой упорядоченности (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).
Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам.
С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.
