Гамма-функция

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м
 
Строка 44: Строка 44:
* [[Распределение хи-квадрат]] (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_хи-квадрат)
* [[Распределение хи-квадрат]] (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_хи-квадрат)
* [[Бета-распределение]] сводится к представляению через гамма-функцию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Бета-распределение)
* [[Бета-распределение]] сводится к представляению через гамма-функцию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Бета-распределение)
-
 
-
[[Категория:Вероятностные распределения]]
 

Текущая версия

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Лошкарёв Сергей
Преподаватель: Участник:Константин Воронцов
Срок: 8 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается \Gamma(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Содержание

Определение

Если вещественная часть комплексного числа z положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt

На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество

~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).

Альтернативное определение

Следующее бесконечное произведение служит альтернативным определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных z, за исключением 0 и отрицательных целых

\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{\mathrm z}}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}}

Замечания

  • Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа z положительна.
  • Применяя интегрирование по частям можно показать, что тождество
    \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
выполняется для подынтегрального выражения
  • А поскольку \Gamma(1)=1, для всех натуральных чисел n
\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!

Связанные определения

  • В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
    \Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^{\infty}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.

Свойства

  • формула дополнения
    \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.
  • формула, полученная Гауссом:
    \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz).
  • Основное свойство, которое может быть полученно из предельного определения:
    \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}).
  • Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и \Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x), где \psi(x) часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией.
  • Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
    B(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Вероятностные распределения, в которых используется гамма-функция

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F»
Личные инструменты