Адаптивные методы прогнозирования временных рядов

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Адаптивные методы прогнозирования временных рядов представляют из себя методы, цель которых заключается в построении самокорректирующихся (самонастраивающихся) экономико-математических моделей, которые способны отражать изменяющиеся во времени условия, учитывать информационную ценность различных членов временной последовательности и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда. Такие модели предназначаются прежде всего для краткосрочного прогнозирования.

Процесс адаптации

Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.

Предполагаем, что задан временной ряд: $x_1,x_2,\ldots, x_n$ , где $x_t$ - значение временного ряда в момент времени $t$ . $\hat{x}_{\tau}(t)$ - прогноз значения временного ряда в момент времени $t+\tau$ , сделанное в момент времени $t$ .

Простейшие адаптивные модели

Экспоненциальное сглаживание, Модель Брауна

Предполагается, что ряд генерируется моделью

$x_t = a_{1, t}+\eps_t$ ,

где $a_{1, t}$ - варьирующий во времени средний уровень ряда, $\eps_t$ - белый шум

Прогноз временного ряда получается по формуле:

$\hat{x}_{\tau}(t) = S_t$ ,

где $S_t$ -значение экспоненциальной средней в момент времени $t$ , которое вычисляется по формуле:

$S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}$ , $\alpha = const, 0<\alpha<1$ - параметр сглаживания

Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.

Недостаток: экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста

Модели линейного роста

Предполагаем, что прогноз может быть получен по уравнению:

$\hat{x}_{\tau}(t) = \hat{a}_{1, t}+\tau \hat{a}_{2, t}$ ,

где $\hat{a}_{1, t}, \hat{a}_{2, t}$ - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.

В разных моделях эти коэффициенты вычисляются по-разному.

Модель Хольта

$\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1});$

$\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1},$

где $0<\alpha_1, \alpha_2<1$ - параметры адаптации

Модель линейного роста Брауна - это частный случай модели Хольта

$\hat{a}_{1, t} = \hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t$ ;

$\hat{a}_{2, t} = \hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t$ ,

где $e_t = x_t-\hat{x}_1(t-1)$ - ошибка прогноза, $0<\beta<1$ - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценивание данных наблюдения за единицу времени.

Модель прогнозирования Дж.Бокса и Г.Дженкинса - в модель Хольта включается разность ошибок

$\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1})+\alpha_3(e_t-e_{t-1})$

$\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1}$

Данная модель не дает преимуществ перед моделью Хольта, так как коэффициент $\alpha_3$ часто оказывается близким к нулю.

Сезонные модели

Модель Хольта-Уинтерса — мультипликативный тренд и сезонность.
Модель Тейла-Вейджа — аддитивный тренд и сезонность.

Другие модели

Анализ адекватности адаптивных моделей, следящий контрольный сигнал.
Адаптация параметров адаптации. Модель Тригга-Лича.
Обнаружение структурных изменений. Критерий Чоу.
Адаптивная селекция моделей прогнозирования.
Адаптивная композиция моделей прогнозирования.

Литература

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Евгения Одинокова

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 1 февраля2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2»

Категории: Непроверенные учебные задания | Прогнозирование временных рядов

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.
-Предполагаем, что задан временной ряд: <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>, где <tex>x_t</tex> - значение временного ряда в момент времени <tex>t</tex>
+Предполагаем, что задан временной ряд: <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>, где <tex>x_t</tex> - значение временного ряда в момент времени <tex>t</tex>. <tex>\hat{x}_{\tau}(t)</tex> - прогноз значения временного ряда в момент времени <tex>t+\tau</tex>, сделанное в момент времени <tex>t</tex>.
 ==Простейшие адаптивные модели==
-''[[Экспоненциальное сглаживание]]''
+===''[[Экспоненциальное сглаживание]]'', Модель Брауна===
+Предполагается, что ряд генерируется моделью
+::<tex>x_t = a_{1, t}+\eps_t</tex>,
+::где <tex>a_{1, t}</tex> - варьирующий во времени средний уровень ряда, <tex>\eps_t</tex> - [[белый шум]]
 Прогноз временного ряда получается по формуле:
-::<tex>x_t = S_t</tex>,
+::<tex>\hat{x}_{\tau}(t) = S_t</tex>,
 ::где <tex>S_t</tex>-значение экспоненциальной средней в момент времени <tex>t</tex>, которое вычисляется по формуле:
 ::<tex>S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}</tex>, <tex>\alpha = const, 0<\alpha<1</tex> - параметр сглаживания
@@ Строка 15: / Строка 19: @@
 Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.
-==Другие модели==
+Недостаток: экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста
-* [[Модель Хольта]] — линейный тренд без сезонности.
+===Модели линейного роста===
+Предполагаем, что прогноз может быть получен по уравнению:
+::<tex>\hat{x}_{\tau}(t) = \hat{a}_{1, t}+\tau \hat{a}_{2, t}</tex>,
+::где <tex>\hat{a}_{1, t}, \hat{a}_{2, t}</tex> - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.
+В разных моделях эти коэффициенты вычисляются по-разному.
+* [[Модель Хольта]]
+::<tex>\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1});</tex>
+::<tex>\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1},</tex>
+::где <tex>0<\alpha_1, \alpha_2<1</tex> - параметры адаптации
+* Модель линейного роста Брауна - это частный случай модели Хольта
+::<tex>\hat{a}_{1, t} = \hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t</tex>;
+::<tex>\hat{a}_{2, t} = \hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t</tex>,
+::где <tex>e_t = x_t-\hat{x}_1(t-1)</tex> - ошибка прогноза, <tex>0<\beta<1</tex> - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценивание данных наблюдения за единицу времени.
+* Модель прогнозирования Дж.Бокса и Г.Дженкинса - в модель Хольта включается разность ошибок
+::<tex>\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1})+\alpha_3(e_t-e_{t-1})</tex>
+::<tex>\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1}</tex>
+Данная модель не дает преимуществ перед моделью Хольта, так как коэффициент <tex>\alpha_3</tex> часто оказывается близким к нулю.
+===Сезонные модели===
 * [[Модель Хольта-Уинтерса]] — мультипликативный тренд и сезонность.
 * [[Модель Тейла-Вейджа]] — аддитивный тренд и сезонность.
-* Анализ адекватности адаптивных моделей, [[скользящий контрольный сигнал]].
+==Другие модели==
+* Анализ адекватности адаптивных моделей, [[следящий контрольный сигнал]].
 * [[Адаптация параметров адаптации]]. [[Модель Тригга-Лича]].
 * Обнаружение структурных изменений. [[Критерий Чоу]].
@@ Строка 25: / Строка 52: @@
 * [[Адаптивная композиция моделей прогнозирования]].
+== Литература ==
+# ''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.:&nbsp;Финансы и статистика, 2003. — 416&nbsp;с.
 {{Задание|Евгения Одинокова|Vokov|1 февраля2009}}
 [[Категория:Прогнозирование временных рядов]]

Адаптивные методы прогнозирования временных рядов

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Процесс адаптации

Простейшие адаптивные модели

Экспоненциальное сглаживание, Модель Брауна

Модели линейного роста

Сезонные модели

Другие модели

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты