Классификация пациентов с сердечно-сосудистыми заболеваниями (отчет)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Введение в проект

Описание проекта

Цель проекта

Цель проекта — классификация пациентов с подозрением на сердечно-сосудистые заболевания по группам риска.

Обоснование проекта

Полученные результаты могут быть использованы для предварительной диагностики заболевания у пациентов.

Описание данных

Дан список 100 пациентов с указанием их группы риска (по экспертной оценке) и результатов их анализов по 20 параметрам.

Критерии качества

Критериями качества являются общее количество ошибок классификации и критерий скользящего контроля Leave One Out. При этом не допускается более 1 ошибки для пациентов групп риска A1 (уже прооперированные больные) и A3 (больные с высокой вероятностью заболевания).

Требования к проекту

Алгоритм не должен допускать более одной ошибки по группам риска A1 и A3, а также минимальное количество ошибок по остальным группам риска.

Выполнимость проекта

Особенностями данных, которые могут затруднить выполнение проекта, являются малое количество прецедентов по некоторым группам риска (в особенности A2) и наличие пропусков в данных (только 66 пациентов не имеют пропусков в данных).

Используемые методы

Предполагается использовать линейные алгоритмы классификации, в частности SVM.== Постановка задачи == Дана обучающая выборка $X^\ell = (x_i, y_i)_{i=1}^\ell, ~~ \ell = 66$ , где $x_i \in \mathbb{R}^n, n = 20$ , $y_i \in \{A_1, A_3, B_1, B_2\}$ .

Для каждой из задач двуклассовой классификации(отделение одного класса от трех остальных и отделение пар классов друг от друга) перекодируем классы так, что $y_i \in \{-1, 1\}$ . Требуется подобрать вектор параметров $\mathbf{w}$ оптимальной разделяющей гиперплоскости, который минимизирует функционал скользящего контроля: $LOO(\mathbf{w},X^\ell) = \sum_{i=1}^\ell [a(x_i, X^\ell\backslash x_i, \mathbf{w}) \neq y_i] \rightarrow \min_{\mathbf{w}}$ , где $a(x) = [\sum_{j=1}^n w_jx^j-w_0 > 0]$

Описание алгоритмов

Базовые предположения

Особенностью данной задачи является большая размерность признакового пространства и малое число прецедентов. Таким образом для того, чтобы избегнуть переобучения и добиться устойчивой классификации, требуется решить задачу отбора признаков. Для этой цели предполагается использовать алгоритм Relevance Kernel Machine with supervised selectivity (далее - $\mu - RKM$ ), который совмещает в себе возможности решения задачи классификации и отбора признаков.

Математическое описание алгоритмов

Квази-вероятностная постановка задачи

Пусть $\Omega$ - множество объектов, каждый из которых принадлежит одному из двух классов: $y(\omega) \in Y = \{-1, 1\}$ . Каждый объект $\omega \in \Omega$ характеризуется $n$ признаками в некоторых шкалах $x^i(\omega) \in X_i$ . Пусть в пространстве признаков $X = X_1 \times \dots \times X_n$ объективно определена некоторая неизвестная гиперплоскость $\sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b = 0$ . В качестве модели распределения объектов рассмотрим два несобственных параметрических распределения:

$\varphi_{+1}(x^1, \dots, x^n | \vartheta_1, \dots, \vartheta_n, b) = \left\{ \begin{array}{l} 1, ~ \sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b \ge 1, \\ \exp{\bigl[-c\bigl(1 - \sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) - b \bigr)\bigr]}, ~ \sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b < 1, \\ \end{array} \right.$ $\varphi_{-1}(x^1, \dots, x^n | \vartheta_1, \dots, \vartheta_n, b) = \left\{ \begin{array}{l} 1, ~ \sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b \le -1, \\ \exp{\bigl[-c\bigl(1 + \sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b \bigr)\bigr]}, ~ \sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b > -1. \\ \end{array} \right.$

Далее вектор $(\vartheta_1, \dots, \vartheta_n, b)$ рассмотрим как случайный вектор с априорной плотностью распределения $\Psi(\vartheta_1, \dots, \vartheta_n, b).$ По формуле Байеса апостериорная плотность распределения параметров $\mathbf{\vartheta}$ и $b$ : $P\bigl(\mathbf{\vartheta}, b| X^{\ell}\bigr)\prop \Psi(\mathbf{\vartheta}, b) \biggl(\prod_{j: y_j = +1} \varphi_{+1}(\mathbf{x_j} | \mathbf{\vartheta}, b)\biggr)\biggl(\prod_{j: y_j = -1} \varphi_{-1}(\mathbf{x_j} | </p> \mathbf{\vartheta}, b)\biggr)$

Согласно принципу максимизации апостериорной плотности распределения:

$\bigl(\hat{\vartheta_1}, \dots, \hat{\vartheta_n}, \hat{b}\bigr) = arg \max_{\mathbf{\vartheta}, b} \biggl[\ln \Psi(\mathbf{\vartheta}, b) + \sum_{j: y_j = +1} \ln \varphi_{+1}(\mathbf{x_j} | \mathbf{\vartheta}, b) + \sum_{j: y_j = -1} \ln \varphi_{-1}(\mathbf{x_j} | \mathbf{\vartheta}, </p> b)\biggr]$

Метод $\mu - RKM$

Пусть априорные плотности распределения компонент $\vartheta_i$ направляющего вектора разделяющей гиперплоскости имеют нормальные распределения с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями $r_i$ : $\psi(\vartheta_i|r_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi r_i}}\exp\bigl(-\frac{1}{2r_i}K_i(\vartheta_i, \vartheta_i)\bigr)$

Будем считать, что параметр $b$ имеет равномерное несобственное распределение, равное единице на всей числовой оси. Тогда плотность распределения вектора $\mathbf{\vartheta}$ пропорциональна:

$\Psi(\vartheta_1, \dots, \vartheta_n|r_1, \dots, r_n) \prop \bigl(\prod_{i=1}^n r_i\bigr)^{-1/2}\exp\bigl(-\sum_{i=1}^n\frac{1}{2r_i}K_i(\vartheta_i, \vartheta_i)\bigr)$

Положим, что все величины $\frac{1}{r_i}$ имеют априорное гамма распределение:

$\gamma(\frac{1}{r_i}|\alpha,\beta) \prop (1/r_i)^{\alpha - 1} \exp(-\beta(1/r_i))$ .

Примем что $\alpha = \frac{(1 + \mu)^2}{2\mu}, \beta = \frac{1}{2\mu}$ , где $\mu$ - некоторый неотрицательный параметр.

Принцип максимизации совместной апостериорной плотности приводит к критерию обучения:

$\left\{\sum_{i=1}^n \bigl[\frac{1}{r_i}\bigl(K_i(\vartheta_i, \vartheta_i) + \frac{1}{\mu}\bigr) + \bigl( \frac{1}{\mu} + 1 + \mu \bigr)\bigr] + C\sum_{j=1}^{\ell} \delta_j \to \min(\mathbf{\vartheta}, \mathbf{r}, b, \mathbf{\delta}), \\ y_j\biggl(\sum_{i=1}^n K_i\bigl(\vartheta_i, x_i(\omega_j)\bigr)\biggr) \ge 1 - \delta_j, ~ \delta_j \ge 0, j = 1, \dots, \ell. </p> \right.$

Для каждой итерации при фиксированном приближении( $r_i^k, i = 1, \dots, n$ ) решение данной оптимизационной задачи сводится лишь к небольшой модификации классического SVM.

Если же найдено текущее приближение $(\vartheta_1^k, \dots, \vartheta_n^k, b^k)$ , то следующее приближение $r_1^{k+1}, \dots, r_n^{k+1}$ может быть найдено из простого соотношения: $r_i^{k+1} = \frac{K_i(\vartheta_i, \vartheta_i) + \frac{1}{\mu}}{\frac{1}{\mu} + 1 + \mu}$

Отбор признаков

Для повышения устойчивости алгоритма был применен дополнительный отбор признаков. Для этого производился предварительный запуск алгоритма RKM и рассматривался полученный вектор весов признаков: $\hat{r}_i, i = 1, \dots, n$ . Далее из набора признаков удалялись те из них , для которых $\frac{\max_j ~ \hat{r}_j}{\hat{r}_i} > \gamma, i = 1, \dots, n$ , где $\gamma$ - дополнительный параметр селективности. На модифицированном наборе признаков алгоритм RKM запускался еще раз для получения окончательной классификации.

Варианты или модификации

Параметрами алгоритма являются $C \in [0, \infty], ~ \mu \in [0, \infty], ~ \gamma \in [1, \infty]$ , наилучшие значения которых требуется выбрать в результате эксперимента.

Описание системы

Описание системы находится в файле Systemdocs.docx Файлы системы можно скачать здесь: SelRKM.m, GetRelevantFeatures.m, GetStatsIfClassification.m

Отчет о вычислительных экспериментах

% OneVsOthersTest - script which tests RKM algorithm cardiovascular diseases train set 
%                   in problems of classification one class vs 3 other classes
% Author: Maxim Panov, MIPT, group 674
%
% Input: excel-files with objects-features matrices of 4 types of patients 
%
% Output: 
%   statistics - 4 x 3 x 4 structure: 
%   statistics(k, j, i) - statistics of classification(with fields like 
%                         in output of GetStatsOfClassification) of class i
%                         with selectivityLevel 0.1*10^k and C = 100*10^j
 
%% Upload data
UploadData;
trainSet = allData;
types = [repmat(1, size(a1, 1), 1); 
        repmat(2, size(a3, 1), 1);
        repmat(3, size(b1, 1), 1);
        repmat(4, size(b2, 1), 1)]; 
 
%% Set selectivity rate    
selectivityRate = 10; 
 
%% Compute statistics of classification
for i = 1 : 4
    supplTrainSet = [trainSet(types == i, :); trainSet(types ~= i, :)];
    supplTypes =  [repmat(1, size(types(types == i, :), 1), 1); repmat(-1, size(types(types ~= i, :), 1), 1)];
    C = 100;    
    for j = 1 : 3 
        C = C * 10;
        selectivity = 0.1;
        for k  = 1 : 4
            selectivity = selectivity * 10;
            supplStatisticsA(k, 1) = GetStatsOfClassification(supplTrainSet, supplTypes, C, selectivity, selectivityRate);
        end
        if j == 1
            supplStatisticsB = supplStatisticsA;
        else
            supplStatisticsB = cat(2, supplStatisticsB, supplStatisticsA); 
        end  
    end
    if i == 1
        statistics = supplStatisticsB;
    else
        statistics = cat(3, statistics, supplStatisticsB); 
    end  
 
end

Анализ качества работы алгоритма

На основании полученных результатов для каждой из четырех подзадач классификации можно выбрать наилучшие значения параметров, статистика классификации для которых приведена в таблице:

Class	C	SelectivityLevel	SelectivityRate	Relevant features	Test error	LOO
A1	10000	1000	30	1, 3, 6, 7, 9 ,10, 12, 14, 19	5	15
A3	10000	1000	30	2, 3, 5, 7 ,9, 12, 14, 15, 20	0	5
B1	10000	1000	10	2, 3, 4 ,7 ,12 ,18	23	23
B2	100000	100	30	2, 3, 6, 7 , 9, 10, 12, 15	11	20

Параметры классификатора

Решающее правило при классификации на 2 класса методом $\mu - RKM$ задается следующей формулой: $y(\omega) = sign\biggl[\sum_{j: \lambda_j > 0} \lambda_j y_j\sum_{i=1}^n r_i x_i(\omega_j)x_i(\omega) + b\biggr]$ .

Параметры $\mathbf{\lambda}, \mathbf{r}$ , $b$ , а также номера отобранных признаков для задач отделения одного класса от остальных выложены здесь: parameters.mat

Список литературы

К. В. Воронцов, Лекции по линейным алгоритмам классификации
Татарчук А. И., Сулимова В.В., Моттль В.В., Уиндридж Д. Метод релевантных потенциальных функций для селективного комбинирования разнородной информации при обучении распознаванию образов на основе байесовского подхода // Всеросcийская конференция ММРО-14.М.: МАКС Пресс, 2009.
Айзерман М.А., Браверман Э.М., Розоноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М.: Наука, 1970, 384 с.
Ross A., Jain A.K. Multimodal biometrics: An overview. Proceedings of the 12th European Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2004. Vienna, Austria, pp. 1221-1224.

Данная статья была создана в рамках учебного задания.

Студент: Максим Панов

Преподаватель: В. В. Стрижов

Срок: 15 декабря 2009

В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D1%81_%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE-%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B4%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D0%B7%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D0%BC%D0%B8_%28%D0%BE%D1%82%D1%87%D0%B5%D1%82%29»

Категория: Практика и вычислительные эксперименты

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 === Цель проекта ===
-Цель проекта - классификация пациентов с подозрением на сердечно-сосудистые заболевания по группам риска.
+Цель проекта — классификация пациентов с подозрением на сердечно-сосудистые заболевания по группам риска.
 === Обоснование проекта ===
@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 === Описание данных ===
-Дан список 100 пациентов с указанием их группы риска(по экспертной оценке) и результатов их анализов по 20 параметрам.
+Дан список 100 пациентов с указанием их группы риска (по экспертной оценке) и результатов их анализов по 20 параметрам.
 === Критерии качества ===
-Критерием качества является общее количество ошибок классификации.
+Критериями качества являются общее количество ошибок классификации и критерий скользящего контроля Leave One Out.
-При этом не допускается более 1 ошибки для пациентов групп риска A1(уже прооперированные больные)
+При этом не допускается более 1 ошибки для пациентов групп риска A1 (уже прооперированные больные)
-и A3(больные с высокой вероятностью заболевания).
+и A3 (больные с высокой вероятностью заболевания).
 === Требования к проекту ===
@@ Строка 21: / Строка 21: @@
 === Выполнимость проекта ===
-Особенностями данных, которые могут затруднить выполнение проекта, являются малое количество прецедентов по некоторым группам риска(в особенности A2) и наличие пропусков в данных.
+Особенностями данных, которые могут затруднить выполнение проекта, являются малое количество прецедентов по некоторым группам риска (в особенности A2) и наличие пропусков в данных (только 66 пациентов не имеют пропусков в данных).
 === Используемые методы ===
-Предполагается использовать линейные алгоритмы классификации, в частности SVM.
+Предполагается использовать линейные алгоритмы классификации, в частности SVM.== Постановка задачи ==
-== Постановка задачи ==
 Дана обучающая выборка <tex>X^\ell = (x_i, y_i)_{i=1}^\ell, ~~ \ell = 66</tex>, где
 <tex>x_i \in \mathbb{R}^n, n = 20</tex>, <tex>y_i \in \{A_1, A_3, B_1, B_2\}</tex>.
@@ Строка 32: / Строка 30: @@
 == Описание алгоритмов ==
-=== Обзор литературы ===
 === Базовые предположения ===
 Особенностью данной задачи является большая размерность признакового пространства и малое число прецедентов.
-Таким образом для того, чтобы избегнуть переобучения и добиться устойчивой классификации, требуется решить задачу отбора признаков. Для этой цели предполагается использовать алгоритм Relevance Kernel Machine with supervised selectivity(далее - <tex>\mu - RKM</tex>), который совмещает в себе возможности решения задачи классификации и отбора признаков.
+Таким образом для того, чтобы избегнуть переобучения и добиться устойчивой классификации, требуется решить задачу отбора признаков. Для этой цели предполагается использовать алгоритм Relevance Kernel Machine with supervised selectivity (далее - <tex>\mu - RKM</tex>), который совмещает в себе возможности решения задачи классификации и отбора признаков.
 === Математическое описание алгоритмов ===
@@ Строка 43: / Строка 39: @@
 Пусть <tex>\Omega</tex> - множество объектов, каждый из которых принадлежит одному из двух классов: <tex>y(\omega) \in Y = \{-1, 1\}</tex>. Каждый объект <tex>\omega \in \Omega</tex> характеризуется <tex>n</tex> признаками в некоторых шкалах
 <tex>x^i(\omega) \in X_i</tex>. Пусть в пространстве признаков <tex>X = X_1 \times \dots \times X_n</tex> объективно определена некоторая неизвестная гиперплоскость <tex>\sum_{i=1}^n K_i(\vartheta_i, x^i) + b = 0</tex>. В качестве модели распределения объектов рассмотрим два несобственных параметрических распределения:
 <tex>\varphi_{+1}(x^1, \dots, x^n | \vartheta_1,
 \dots, \vartheta_n, b) = \left\{
@@ Строка 83: / Строка 80: @@
 Для каждой итерации при фиксированном приближении(<tex>r_i^k, i = 1, \dots, n</tex>) решение данной оптимизационной задачи сводится лишь к небольшой модификации классического SVM.
-Если же найдено текущее приближение <tex>\vartheta_1^k, \dots, \vartheta_n^k, b^k</tex>, то следующее приближение <tex>r_1^{k+1}, \dots, r_n^{k+1}</tex> может быть найдено из простого соотношения: <center><tex>r_i^{k+1} = \frac{K_i(\vartheta_i, \vartheta_i) + \frac{1}{\mu}}{\frac{1}{\mu} + 1 + \mu}</tex></center>
+Если же найдено текущее приближение <tex>(\vartheta_1^k, \dots, \vartheta_n^k, b^k)</tex>, то следующее приближение <tex>r_1^{k+1}, \dots, r_n^{k+1}</tex> может быть найдено из простого соотношения: <center><tex>r_i^{k+1} = \frac{K_i(\vartheta_i, \vartheta_i) + \frac{1}{\mu}}{\frac{1}{\mu} + 1 + \mu}</tex></center>
+====Отбор признаков====
+Для повышения устойчивости алгоритма был применен дополнительный отбор признаков. Для этого производился предварительный запуск алгоритма RKM и рассматривался полученный вектор весов признаков: <tex>\hat{r}_i, i = 1, \dots, n</tex>.
+Далее из набора признаков удалялись те из них , для которых <tex>\frac{\max_j ~ \hat{r}_j}{\hat{r}_i} > \gamma, i = 1, \dots, n</tex>, где <tex>\gamma</tex> - дополнительный параметр селективности. На модифицированном наборе признаков алгоритм RKM запускался еще раз для получения окончательной классификации.
 === Варианты или модификации ===
+Параметрами алгоритма являются <tex>C \in [0, \infty], ~ \mu \in [0, \infty], ~ \gamma \in [1, \infty]</tex>, наилучшие значения которых требуется выбрать в результате эксперимента.
-== Описание системы ==
+==Описание системы==
-* Ссылка на файл system.docs
+Описание системы находится в файле [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group674/Panov2009Cardio/ Systemdocs.docx]
-* Ссылка на файлы системы
+Файлы системы можно скачать здесь:
+[https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group674/Panov2009Cardio/ SelRKM.m, GetRelevantFeatures.m, GetStatsIfClassification.m]
 == Отчет о вычислительных экспериментах ==
+<source lang="matlab">
+% OneVsOthersTest - script which tests RKM algorithm cardiovascular diseases train set
+%                   in problems of classification one class vs 3 other classes
+% Author: Maxim Panov, MIPT, group 674
+%
+% Input: excel-files with objects-features matrices of 4 types of patients
+%
+% Output:
+%   statistics - 4 x 3 x 4 structure:
+%   statistics(k, j, i) - statistics of classification(with fields like
+%                         in output of GetStatsOfClassification) of class i
+%                         with selectivityLevel 0.1*10^k and C = 100*10^j
+%% Upload data
+UploadData;
+trainSet = allData;
+types = [repmat(1, size(a1, 1), 1);
+        repmat(2, size(a3, 1), 1);
+        repmat(3, size(b1, 1), 1);
+        repmat(4, size(b2, 1), 1)];
+%% Set selectivity rate
+selectivityRate = 10;
-=== Визуальный анализ работы алгоритма ===
+%% Compute statistics of classification
+for i = 1 : 4
+    supplTrainSet = [trainSet(types == i, :); trainSet(types ~= i, :)];
+    supplTypes =  [repmat(1, size(types(types == i, :), 1), 1); repmat(-1, size(types(types ~= i, :), 1), 1)];
+    C = 100;
+    for j = 1 : 3
+        C = C * 10;
+        selectivity = 0.1;
+        for k  = 1 : 4
+            selectivity = selectivity * 10;
+            supplStatisticsA(k, 1) = GetStatsOfClassification(supplTrainSet, supplTypes, C, selectivity, selectivityRate);
+        end
+        if j == 1
+            supplStatisticsB = supplStatisticsA;
+        else
+            supplStatisticsB = cat(2, supplStatisticsB, supplStatisticsA);
+        end
+    end
+    if i == 1
+        statistics = supplStatisticsB;
+    else
+        statistics = cat(3, statistics, supplStatisticsB);
+    end
+end
+</source>
 === Анализ качества работы алгоритма ===
-=== Анализ зависимости работы алгоритма от параметров ===
+На основании полученных результатов для каждой из четырех подзадач классификации можно выбрать наилучшие значения параметров, статистика классификации для которых приведена в таблице:
+{| class="wikitable"
+|-
+! Class
+! C
+! SelectivityLevel
+! SelectivityRate
+! Relevant features
+! Test error
+! LOO
+|-
+| A1
+| 10000
+| 1000
+| 30
+| 1, 3, 6, 7, 9 ,10, 12, 14, 19
+| 5
+| 15
+|-
+| A3
+| 10000
+| 1000
+| 30
+| 2, 3, 5, 7 ,9, 12, 14, 15, 20
+| 0
+| 5
+|-
+| B1
+| 10000
+| 1000
+| 10
+| 2, 3, 4 ,7 ,12 ,18
+| 23
+| 23
+|-
+| B2
+| 100000
+| 100
+| 30
+| 2, 3, 6, 7 , 9, 10, 12, 15
+| 11
+| 20
+|}
-== Отчет о полученных результатах ==
+===Параметры классификатора===
+Решающее правило при классификации на 2 класса методом <tex>\mu - RKM</tex> задается следующей формулой: <tex>y(\omega) = sign\biggl[\sum_{j: \lambda_j > 0} \lambda_j y_j\sum_{i=1}^n r_i x_i(\omega_j)x_i(\omega) + b\biggr]</tex>.
-== Список литературы ==
+Параметры <tex>\mathbf{\lambda}, \mathbf{r}</tex>, <tex>b</tex>, а также номера отобранных признаков для задач отделения одного класса от остальных выложены здесь: [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Cardio1/ parameters.mat]
+== Список литературы ==
+* К. В. Воронцов, Лекции по линейным алгоритмам классификации
+* Татарчук А. И., Сулимова В.В., Моттль В.В., Уиндридж Д. Метод релевантных потенциальных функций для селективного комбинирования разнородной информации при обучении распознаванию образов на основе байесовского подхода // Всеросcийская конференция ММРО-14.М.: МАКС Пресс, 2009.
+* Айзерман М.А., Браверман Э.М., Розоноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М.: Наука, 1970, 384 с.
+*Ross A., Jain A.K. Multimodal biometrics: An overview. Proceedings of the 12th European Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2004. Vienna, Austria, pp. 1221-1224.
-{{Задание|Максим Панов|В.В. Стрижов|15 декабря 2009}}
+{{ЗаданиеВыполнено|Максим Панов|В. В. Стрижов|15 декабря 2009|Maxx|Strijov}}
+[[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]]
 __NOTOC__