Байесовский классификатор

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Байесовский классификатор — широкий класс алгоритмов классификации, основанный на принципе максимума апостериорной вероятности. Для классифицируемого объекта вычисляются функции правдоподобия каждого из классов, по ним вычисляются апостериорные вероятности классов. Объект относится к тому классу, для которого апостериорная вероятность максимальна.

Введение

Байесовский подход к классификации основан на теореме, утверждающей, что если плотности распределения каждого из классов известны, то искомый алгоритм можно выписать в явном аналитическом виде. Более того, этот алгоритм оптимален, то есть обладает минимальной вероятностью ошибок.

На практике плотности распределения классов, как правило, не известны. Их приходится оценивать (восстанавливать) по обучающей выборке. В результате байесовский алгоритм перестаёт быть оптимальным, так как восстановить плотность по выборке можно только с некоторой погрешностью. Чем короче выборка, тем выше шансы подогнать распределение под конкретные данные и столкнуться с эффектом переобучения.

Байесовский подход к классификации является одним из старейших, но до сих пор сохраняет прочные позиции в теории распознавания. Он лежит в основе многих достаточно удачных алгоритмов классификации.

К числу байесовских методов классификации относятся:

• Наивный байесовский классификатор
• Линейный дискриминант Фишера
• Квадратичный дискриминант
• Метод парзеновского окна
• Метод радиальных базисных функций (RBF)
• Логистическая регрессия

Основная формула

Пусть — множество описаний объектов, — множество номеров (или наименований) классов. На множестве пар «объект, класс» определена вероятностная мера . Имеется конечная обучающая выборка независимых наблюдений , полученных согласно вероятностной мере .

Задача классификации заключается в том, чтобы построить алгоритм , способный классифицировать произвольный объект .

В байесовской теории классификации эта задача разделяется на две.

• Построение оптимального классификатора при известных плотностях классов. Эта подзадача имеет простое и окончательное решение.
• Восстановление плотностей классов по обучающей выборке. В этой подзадаче сосредоточена основная сложность байесовского подхода к классификации.

Построение классификатора при известных плотностях классов

Пусть для каждого класса известна априорная вероятность того, что появится объект класса , и плотности распределения каждого из классов, называемые также функциями правдоподобия классов. Требуется построить алгоритм классификации , доставляющий минимальное значение функционалу среднего риска.

Средний риск опредеяется как математическое ожидание ошибки:

где — цена ошибки или штраф за отнесение объекта класса к какому-либо другому классу.

Теорема. Решением этой задачи является алгоритм

Значение интерпретируется как апостериорная вероятность того, что объект принадлежит классу .

Если классы равнозначимы, , то объект просто относится к классу с наибольшим значением плотности распределения в точке .

Восстановление плотностей классов по обучающей выборке

По заданной подвыборке объектов класса построить эмпирические оценки априорных вероятностей и функций правдоподобия .

В качестве оценки априорных вероятностей берут, как правило, долю объектов данного класса в обучающей выборке.

Восстановление плотностей (функций правдоподобия каждого из классов) является наиболее трудной задачей. Наиболее распространены три подхода: параметрический, непараметрический и разделение смеси вероятностных распределений. Третий подход занимает промежуточное положение между первыми двумя, и в определённом смысле является наиболее общим.

• Параметрическое восстановление плотности при дополнительном предположении, что плотности нормальные (гауссовские), приводит к нормальному дискриминантному анализу и линейному дискриминанту Фишера.
• Непараметрическое восстановление плотности приводит, в частности, к методу парзеновского окна.
• Разделение смеси распределений может быть сделано с помощью EM-алгоритма. Дополнительное предположение, что плотности компонент смеси являются радиальными функциями, приводит к методу радиальных базисных функций. Обычно в качестве компонент смеси берут, опять-таки, гауссовские плотности.

Таким образом, формула байесовского классификатора приводит к большому разнообразию байесовских алгоритмов, отличающихся только способом восстановления плотностей.

Наивный байесовский классификатор

Наивный байесовский классификатор (naїve Bayes) основан на той же формуле и дополнительном предположении, что объекты описываются независимыми признаками. Предположение о независимости существенно упрощает задачу, так как оценить одномерных плотностей гораздо легче, чем одну -мерную плотность. К сожалению, оно крайне редко выполняется на практике, отсюда и название метода. Наивный байесовский классификатор может быть как параметрическим, так и непараметрическим, в зависимости от того, каким методом восстанавливаются одномерные плотности.

Литература

1. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989.
2. Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. — М.: Наука, 1974.
3. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.
4. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. — М.: Мир, 1976.
5. Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — Springer, 2001. ISBN 0-387-95284-5.

Ссылки

• Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)