Медиальное множество
Материал из MachineLearning.
м (→Медиальное множество (срединная ось) на плоскости) |
(→Связь между медиальным и центральным множествами) |
||
| (10 промежуточных версий не показаны.) | |||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
== Медиальное множество (срединная ось) на плоскости == | == Медиальное множество (срединная ось) на плоскости == | ||
| - | Зачастую медиальное множество называется ''срединной осью'' (''medial axis''), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (<tex>\Omega\subset \mathbb{R}^2</tex>), особенно в русскоязычной терминологии. | + | Зачастую медиальное множество называется ''[[Срединная ось|срединной осью]]'' (''medial axis''), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (<tex>\Omega\subset \mathbb{R}^2</tex>), особенно в русскоязычной терминологии. |
В случае, когда ''n''=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества <tex>\Omega</tex>, а накладывают определенные ограничения на границу <tex>\Omega^c</tex>. Множество <tex>\overline{\Omega}</tex> при этом называется [[Плоская фигура|плоской фигурой]]. | В случае, когда ''n''=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества <tex>\Omega</tex>, а накладывают определенные ограничения на границу <tex>\Omega^c</tex>. Множество <tex>\overline{\Omega}</tex> при этом называется [[Плоская фигура|плоской фигурой]]. | ||
| - | Медиальное множество плоской фигуры называют также '''срединной осью''' ('''medial axis''') плоской фигуры. | + | Медиальное множество плоской фигуры называют также '''[[Срединная ось|срединной осью]]''' ('''medial axis''') плоской фигуры. |
| + | [[Изображение:CentralSet2D.png|thumb|Медиальное множество (срединная ось) плоской фигуры]] | ||
== Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии == | == Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии == | ||
| - | Строго говоря, определенное выше медиальное множество является ''внутренним медиальным множеством'' множества <tex>\Omega</tex> (''internal medial locus''). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества. | + | Строго говоря, определенное выше медиальное множество является '''внутренним медиальным множеством''' множества <tex>\Omega</tex> ('''internal medial locus'''). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества. |
Для каждой точки <tex>x\in\Omega^c</tex> обозначим <tex>D_e(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}</tex>. | Для каждой точки <tex>x\in\Omega^c</tex> обозначим <tex>D_e(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}</tex>. | ||
| - | ' | + | '''Внешним медиальным множеством''' <tex>\Omega</tex> ('''external medial locus''') называется множество <tex>M^e_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega^c</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M^e_{\Omega}=\{x\in\Omega^c|Card(D_e(x))\geq 2\}</tex>. |
Внутреннее медиальное множество обозначается <tex>M^i_\Omega</tex>. Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}</tex>, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}</tex>. | Внутреннее медиальное множество обозначается <tex>M^i_\Omega</tex>. Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}</tex>, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}</tex>. | ||
| Строка 22: | Строка 23: | ||
Для каждой точки <tex>x\in\mathbb{R}^n</tex> обозначим <tex>D_{sym}(x)</tex> множество ближайших точек границы <tex \Omega^c </tex>: <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}</tex>. | Для каждой точки <tex>x\in\mathbb{R}^n</tex> обозначим <tex>D_{sym}(x)</tex> множество ближайших точек границы <tex \Omega^c </tex>: <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}</tex>. | ||
| - | ' | + | '''Множеством симметрии''' <tex>\Omega</tex> (''symmetry set'') называется множество <tex>Sym_{\Omega}</tex> точек <tex>\mathbb{R}^n</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе <tex \Omega^c </tex>: <tex>Sym_{\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n|Card(D_{sym}(x))\geq 2\}</tex>. |
| + | |||
| + | == Связь между медиальным и центральным множествами == | ||
| + | Для любого связного открытого ограниченного множества <tex>\Omega\subset\mathbb{R}^n</tex> верно, что его медиальное множество является подмножеством его [[Центральное множество|центрального множества]]: <tex> M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega} </tex>. | ||
| + | |||
| + | При <tex> n=2, <tex> M_{\Omega}=S_{\Omega} </tex>, если <tex>\Omega</tex> --- [[Плоская фигура|многоугольная фигура]]. | ||
| + | |||
| + | == См. также == | ||
| + | * [[Срединная ось]] | ||
| + | * [[Центральное множество]] | ||
| + | * [[Скелет]] | ||
| + | |||
| + | ==Литература== | ||
| + | * Chazal F., Soufflet R. ''Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton'' // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [http://www.maths.manchester.ac.uk/raag/preprints/0040.pdf] | ||
| + | * Siddiqi K., Pizer K. ''Medial Representations: Mathematics, Algorithms, Applications'', Springer, 2008. | ||
| + | |||
| + | [[Категория:Медиальное представление формы]] | ||
Текущая версия
Содержание |
Определение
Для каждой точки обозначим
множество ближайших граничных точек:
(
--- дополнение к
).
Медиальным множеством (medial locus) называется множество
точек
, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки:
.
Медиальное множество (срединная ось) на плоскости
Зачастую медиальное множество называется срединной осью (medial axis), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (), особенно в русскоязычной терминологии.
В случае, когда n=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества , а накладывают определенные ограничения на границу
. Множество
при этом называется плоской фигурой.
Медиальное множество плоской фигуры называют также срединной осью (medial axis) плоской фигуры.
Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии
Строго говоря, определенное выше медиальное множество является внутренним медиальным множеством множества (internal medial locus). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества.
Для каждой точки обозначим
множество ближайших граничных точек:
.
Внешним медиальным множеством (external medial locus) называется множество
точек
, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки:
.
Внутреннее медиальное множество обозначается . Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств:
, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество:
.
Для каждой точки обозначим
множество ближайших точек границы
.
Множеством симметрии (symmetry set) называется множество
точек
, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе
.
Связь между медиальным и центральным множествами
Для любого связного открытого ограниченного множества верно, что его медиальное множество является подмножеством его центрального множества:
.
При , если
--- многоугольная фигура.
См. также
Литература
- Chazal F., Soufflet R. Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [1]
- Siddiqi K., Pizer K. Medial Representations: Mathematics, Algorithms, Applications, Springer, 2008.
