Критерий Фишера

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Критерий Фишера применяется для проверки равенства дисперсий двух выборок. Его относят к критериям рассеяния.

При проверке гипотезы положения (гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках) с использованием критерия Стьюдента имеет смысл предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она верна, то для сравнения средних можно воспользоваться более мощным критерием.

В регрессионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей. В частности, он используется в шаговой регрессии для проверки целесообразности включения или исключения независимых переменных (признаков) в регрессионную модель.

В дисперсионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость факторов и их взаимодействия.

Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных. Перед его применением рекомендуется выполнить проверку нормальности.

Примеры задач

Описание критерия

Заданы две выборки $x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Обозначим через $\sigma_1^2$ и $\sigma_2^2$ дисперсии выборок $x^n$ и $y^m$ , $s_1^2$ и $s_2^2$ — выборочные оценки дисперсий $\sigma_1^2$ и $\sigma_2^2$ :

$s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2$ ;

$s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2$ ,

где

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}$ — выборочные средние выборок $x^n$ и $y^m$ .

Дополнительное предположение: выборки $x^n$ и $y^m$ являются нормальными. Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2$

Статистика критерия Фишера:

$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$

имеет распределение Фишера с $n-1$ и $m-1$ степенями свободы. Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий. Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера, что соотвествует альтернативной гипотезе $H_1'$ .

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2$

если $F<F_{\alpha/2}(n-1,m-1)$ или $F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)$ , то нулевая гипотеза $H_0$ отвергается в пользу альтернативы $H_1$ .

против альтернативы $H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2$

если $F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)$ , то нулевая гипотеза $H_0$ отвергается в пользу альтернативы $H_1'$ ;

где $F_{\alpha}(n-1,m-1)$ есть $\alpha$ -квантиль распределения Фишера с $n-1$ и $m-1$ степенями свободы.

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Ссылки

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A4%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%80%D0%B0»

Категории: Регрессионный анализ | Дисперсионный анализ | Параметрические критерии | Энциклопедия анализа данных | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Критерий Фишера''' применяется для для проверки равенства дисперсий двух выборок.
+{{TOCright}}
+'''Критерий Фишера''' применяется для проверки равенства [[Дисперсия случайной величины|дисперсий]] двух выборок.
+Его относят к ''критериям рассеяния''.
-Критерий Фишера основан на дополнительном предположении о нормальности выборок данных.
+При проверке гипотезы положения (гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках) с использованием [[критерий Стьюдента|критерия Стьюдента]] имеет смысл предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она верна, то для сравнения средних можно воспользоваться более [[мощность критерия|мощным]] критерием.
-Поэтому перед применением критерия рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]].
-==Примеры задач==
+В [[регрессионный анализ|регрессионном анализе]] критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей.
+В частности, он используется в [[шаговая регрессия|шаговой регрессии]] для проверки целесообразности включения или исключения независимых переменных (признаков) в регрессионную модель.
-'''Пример 1.'''
+В [[Дисперсионный анализ|дисперсионном анализе]] критерий Фишера позволяет оценивать значимость факторов и их взаимодействия.
-Первая выборка - это значения внутривенного давления пациента, перенёсшего операцию. Вторая выборка - некоторые контрольные значения замеров. Значения в выборках - величина внутривенного давления, измеряемого медперсоналом каждые k часов. Требуется определить, является ли динамика изменчивости давления пациента нормой. В случае отсутствия резких отличий в динамике можно считать, что осложнений не предвидится.
-'''Пример 2.'''
+Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных.
-Первая выборка - тигры в зоопарке. Вторая выборка - тигры живущие на воле в некотором заповеднике. Значения в выборках - относительное к количеству женских особей количество детёнышей, появившихся на свет за прошедший год. Требуется выявить насколько содержание в неволе влияет на изменение роста популяции.
+Перед его применением рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]].
+==Примеры задач==
 ==Описание критерия==
@@ Строка 18: / Строка 21: @@
 Обозначим через
-<tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex> [[дисперсия|дисперсии]] выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>, <tex>s_1^2</tex> и <tex>s_2^2</tex> — выборочные оценки дисперсий <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex>:
+<tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex> [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>, <tex>s_1^2</tex> и <tex>s_2^2</tex> — выборочные оценки дисперсий <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex>:
 ::<tex>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</tex>;
 ::<tex>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</tex>,
@@ Строка 24: / Строка 27: @@
 ::<tex>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</tex> —  выборочные средние выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>.
-'''Дополнительное предположение''': выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются [[нормальная|нормальными]].
+'''Дополнительное предположение''': выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются [[Нормальное распределение|нормальными]].
+Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.
 '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex>
 '''Статистика критерия Фишера''':
 ::<tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex>
+имеет [[распределение Фишера]] с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.
-имеет распределение Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex>.
+Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий.
+Тогда [[критическая область критерия|критической областью критерия]] является правый хвост распределения Фишера,
-В числителе всегда должна стоять большая по величине из двух
+что соотвествует альтернативной гипотезе <tex>H_1'</tex>.
-сравниваемых дисперсий.
 '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
 *против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex>
-::если <tex>F>F_{\frac{1+\alpha}{2}}(n-1,m-1)</tex> или
+::если <tex>F<F_{\alpha/2}(n-1,m-1)</tex> или <tex>F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>.
-<tex>F<F_{\frac{1-\alpha}{2}}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex>
-отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>
 *против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex>
-::если <tex>F>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается
+::если <tex>F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>;
-в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>;
 где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.
@@ Строка 54: / Строка 53: @@
 # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
-== Ссылки ==
+== См. также ==
-* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
+* [[Критерий Стьюдента]]
+* [[Проверка статистических гипотез]]
 * [[Статистика (функция выборки)]]
-* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера Распределение Фишера](Википедия).
+* [[Нормальный дисперсионный анализ]]
-* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера Критерий Фишера](Википедия).
-[[Категория:Прикладная статистика]]
+== Ссылки ==
+* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера Распределение Фишера] (Википедия).
+* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера Критерий Фишера] (Википедия).
+* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Homogeneity_variance_1.pdf О применении и мощности критериев однородности дисперсий Фишера, Бартлетта, Кокрена, Хартли, Левене на сайте Новосибирского государственного технического университета]
+[[Категория:Регрессионный анализ]]
+[[Категория:Дисперсионный анализ]]
+[[Категория:Параметрические критерии]]
 [[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
+{{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2009}}

Критерий Фишера

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Примеры задач

Описание критерия

Литература

См. также

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты