Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Пасконова Ольга(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Содержание

1 Двухфакторная непараметрическая модель
2 Критерий Фридмана
- 2.1 Пример
3 Критерий Пейджа
- 3.1 Пример
4 Литература
5 Ссылки
6 См. также

Двухфакторная непараметрическая модель

Двухфакторная непараметрическая модель: критерий Фридмана [Лапач, 203], критерий Пейджа. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.

Данные.

В каждом из $n$ блоков содержится по одному наблюдению $x_{ij}$ на каждуб из $k$ обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин $X_{ij}$ в модели

$X_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$ , где $1 \le i \le n, 1 \le j \le k,$ .

Здесь $\mu$ - неизвестное общее среднее, $\alpha_i$ - эффект блока $i$ (неизвестный мешающий параметр), $\beta_j$ - эффект блока $j$ (интересующий нас параметр), $\epsilon_{ij}$ - случайная ошибка $j$

Допущения.

1. Все ошибки $\epsilon_{ij}$ независимы.

2. Все $\epsilon_{ij}$ имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение.

Критерий Фридмана

Для проверки гипотезы

$H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k$

против альтернативы

$H_1$ : не все $\beta_j$ равны между собой

применяется Критерий Фридмана [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260]

Пример

Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?

Критерий Пейджа

Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой упорядоченности (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).

Для проверки гипотезы

$H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k$

против альтернативы возрастания эффектов обработок

$H_2: \beta_1 \leq \dots \leq \beta_k$ ,

где хотя бы одно из неравенств строгое,

выполняется статистика критерия Пейджа [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263]

Пример

Прочность волокон хлопка.

Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам. С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.

Литература

Шеффе Г. Дисперсионный анализ. — М., 1980.
Аренс Х. Лёйтер Ю. Многомерный дисперсионный анализ.
Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
Холлендер М., Вульф Д.А. Непараметрические методы статистики.

Ссылки

Дисперсионный анализ для связанных выборок - Аналитическая статистика.
Многофакторный дисперсионный анализ - Электронная библиотека.

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%9E%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B0/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категории: Прикладная статистика | Дисперсионный анализ

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<tex>  </tex>
+== Двухфакторная непараметрическая модель ==
-== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
+* [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.
-Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
-'''Теорема.'''
+'''Данные.'''
-Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
+В каждом из <tex>n</tex> блоков содержится по одному наблюдению <tex>x_{ij}</tex>
-<p align = "center">
+на каждуб из <tex>k</tex> обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин
-[[Изображение:Q1.jpg‎]] {{eqno|1}} </p>
+<tex>X_{ij}</tex> в модели
-а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
+<tex>X_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}</tex>,
-<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
+где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>.
-<p align = "center">
-[[Изображение:Q2.png‎]] {{eqno|2}} </p>
-Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex> = х. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
+Здесь <tex>\mu</tex> - неизвестное общее среднее,
+<tex>\alpha_i</tex> - эффект блока <tex>i</tex> (неизвестный мешающий параметр),
+<tex>\beta_j</tex> -  эффект блока <tex>j</tex> (интересующий нас параметр),
+<tex>\epsilon_{ij}</tex> - случайная ошибка
+<tex>j</tex>
-::[[Изображение:Q3.png‎]]
+'''Допущения.'''
-то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png‎]]), можно сделать подстановку <tex> х = \phi(f) <tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t <tex>, положив <tex> х = \phi(t) <tex>.
+'''1.''' Все ошибки <tex>\epsilon_{ij}</tex> независимы.
-'''Примеры.'''
+'''2.''' Все <tex>\epsilon_{ij}</tex> имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение.
-, Для вычисления интеграла j cos ax dx ес¬тественно сделать подстановку и = ах, тогда
+==Критерий Фридмана==
-I cos ax dx =   - [cos и du =   -sin u + C -   -sin ax -f С, а ^ 0,
-Ш
-. Для вычисления интеграла | -=
-удоопо применить
-	2
-подстановку и := х  +а :
-. При вычислении интегралов вида J полезна подстановка и = ф(х):
-I 7-777 Ас = J" ^^   = \ тг = In bfx)l + С. Например,
+Для проверки гипотезы
-Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:
+<tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex>
-Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью
+против альтернативы
+<tex> H_1 </tex>: не все <tex> \beta_j </tex> равны между собой
+применяется [[Критерий Фридмана]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260]
+===Пример===
+Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?
+==Критерий Пейджа==
+Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой ''упорядоченности'' (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).
+Для проверки гипотезы
+<tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex>
+против альтернативы возрастания эффектов обработок
+<tex> H_2: \beta_1 \leq \dots \leq  \beta_k </tex>,
+где хотя бы одно из неравенств строгое,
+выполняется [[Критерий Пейджа|статистика критерия Пейджа]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263]
+===Пример===
+'''Прочность волокон хлопка.'''
+Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам.
+С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.
+==Литература==
+# ''Шеффе Г.'' Дисперсионный анализ. — М., 1980.
+# ''Аренс Х.'' ''Лёйтер Ю.'' Многомерный дисперсионный анализ.
+# ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
+# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
+# ''Холлендер М., Вульф Д.А.'' Непараметрические методы статистики.
+== Ссылки ==
+* [http://www.tspu.tula.ru/res/math/mop/lections/lection_7.htm#_Toc73845987 Дисперсионный анализ для связанных выборок] - Аналитическая статистика.
+* [http://lib.socio.msu.ru/l/library?e=d-000-00---001ucheb--00-0-0-0prompt-10---4------0-1l--1-ru-50---20-about---00031-001-1-0windowsZz-1251-00&a=d&cl=CL1&d=HASHe10c3b36c7d751dd18704b.11 Многофакторный дисперсионный анализ] - Электронная библиотека.
+==См. также==
+* [[Однофакторная параметрическая модель]]
+* [[Однофакторная непараметрическая модель]]
+* [[Дисперсионный анализ]]
+[[Категория:Прикладная статистика]]
+[[Категория:Дисперсионный анализ]]

Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Двухфакторная непараметрическая модель

Критерий Фридмана

Пример

Критерий Пейджа

Пример

Литература

Ссылки

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты