Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Введение
2 Формула замены переменных в неопределенном интеграле
3 Формула замены переменных в определенном интеграле
- 3.1 Квадратурные формулы интерполяционного типа
4 Формула замены переменных в кратном интеграле
5 Сведения об интегралах с бесконечными пределами
6 Литература
7 См. также

Введение

Задача интегрирования функций значительно сложнее задачи дифференцирования. Здесь отсутствуют правила интегрирования произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Имеются лишь некоторый приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Методы замены переменных позволяют свести исходный интеграл к более простому с помощью перехода от старой переменной интегрирования к новой.

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции $f(x)$ и $\phi(x)$ определены соответственно на промежутках $\Delta_x$ и $\Delta_y$ , причем $\phi(\Delta_t) \subset \Delta_x$ . Если функция $f$ имеет на $\Delta_x$ первообразную $F{x)$ и, следовательно,

(1)

а функция $\phi(x)$ дифференцируема на $\Delta_t$ , то функция $f(\phi(t))\phi^,(t)$ имеет на $\Delta_t$ , первообразную $F(\phi(t))$ и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой $\phi(t) = x$ . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку $x = \phi(t)$ , вычислить интеграл $\int f(x) dx$ и затем вернуться к переменной $t$ , положив $x = \phi(t)$ .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла $\int cos ax dx$ естественно сделать подстановку $u = ax$ , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку $u = x^3 + a^3$ :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка $u = \phi(x)$ :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла $\int f(x) dx$ с помощью соответствующей замены переменного $x = \phi(t)$ свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция $\phi$ имеет обратную $\phi^{-1}$ , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной $x$ с помощью подстановки $t = \phi^{-1}(x)$ и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция $\phi^{-1}$ , обратная $\phi$ , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке $\Delta_t$ функция $\phi$ была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция $\phi^{-1}$ .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед $t^2$ стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной $t$ к переменной $x$ , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки $x = a sin t$ . Имеем $dx = a cos t dt$ , поэтому

Подставляя это выражение $t = arcsin \frac{x}{a}$ и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a'; b']$ , а функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi'(t)$ на отрезке $[\alpha; \beta]$ , причём все значения $x = \phi(t)$ при $[t \in{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $[a'; b']$ , в том числе $\phi(\alpha) = a$ и $\phi(\beta) = b$ . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $x$ должны быть указаны пределы изменения именно $x$ (то есть $a$ и $b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $t$ указаны пределы изменения $t$ (то есть $\alpha$ и $\beta$ ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену $x = \phi(t) = \sin t$ , откуда $dx = \phi'(t)dt = \cos t dt$ . Кроме того, при $t = 0$ имеем $x = \sin 0 = 0$ , а при $t = \frac{\pi}{2}$ имеем $x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где $p(x) > 0$ — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и $f(x)$ — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где $x \in[{a};{b}]$ и $c_k$ — числа, $k = 0, 1, ..., n$ .

Получим квадратурные формулы путем замены $f(x)$ интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке $[a, b]$ . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда $n = 0, 1, 2, p(x) = 1$ .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке $[a, b]$ заданы узлы интерполирования $x_k, k = 0, 1, ... n$ . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на $[a, b]$ .

Заменяя в интеграле (3) функцию $f(x)$ интерполяционным многочленом Лагранжа

получим приближенную формулу (4), где

(5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Пусть $F$ — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества $G \subset R_{x}^{n}$ в пространство $R_{y}^{n}$ и его якобиан $J_{F}$ не обращается в нуль на множестве $G$ .

Теорема.

Если $E$ — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием $\bar{E}$ в открытом множестве $G$ : $E \subset \bar{E} \subset G$ , а функция $f$ непрерывна на множестве $\bar{F(E)}$ , то

(6)

Эта формула равносильна формуле

(7)

Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.

В нашем случае функции $f(y)$ и непрерывны соответственно на компактах $\bar{F(E)}$ и $\bar{E}$ (являющихся замыканием измеримых множеств $F(E)$ и $E$ ), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.

Таким образом, все входящие в формулы (6) и (7) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном интеграле.

Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.

Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены $r$ , $\varphi$ и на ней открытый прямоугольник

При отображении

(8)

прямоугольник $G$ отображается на множество $G$ плоскости с декартовыми координатами $x, y$ , которое представляет собой круг , из которого удален радиус .

Отображение (8) и его якобиан

непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник

образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг $G$ , на котором отображение (8) уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника $G$ — отрезки при $\varphi = 0$ и $\varphi = 2 \pi$ отображаются в один и тот же отрезок , $y = 0$ , а отрезок и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при $r = 0$ .

Для отображения (8) и непрерывной на круге функции $f(x)(y)$ имеет место формула

Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Определение.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на бесконечном промежутке $[a, \infty)$ . Несобственным интегралом от функции $f(x)$ на промежутке $[a, \infty)$ называется предел и обозначается

Определение.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на бесконечном промежутке $(-\infty, b)$ . Несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке $(-\infty, b)$ называется предел и обозначается

Определение.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции $f(x)$ на бесконечном промежутке $(-\infty, +\infty)$ определяется равенством

где $c$ — любое число на оси $Ox$ .

Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке $[a, \infty)$ . Известно, что интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком $[a, b]$ оси $Ox$ , сверху — кривой $y = f(x)$ , слева и справа — прямыми $x = a$ и $x = b$ . При возрастании $b$ прямая $x = b$ перемещается вправо вдоль оси $Ox$ . Если при этом интеграл $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью $Ox$ , сверху — графиком функции $y = f(x)$ , слева — прямой $x = a$ .

Литература

Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа в 3 томах.
З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87_%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8B_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование | Учебные задачи

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Введение ==
+Задача интегрирования функций значительно сложнее задачи дифференцирования. Здесь отсутствуют правила интегрирования произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Имеются лишь некоторый приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Методы замены переменных позволяют свести исходный интеграл к более простому с помощью перехода от старой переменной интегрирования к новой.
 == Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
@@ Строка 86: / Строка 85: @@
 ==Формула замены переменных в определенном интеграле ==
+'''Теорема.'''
+Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на отрезке <tex> [a'; b'] </tex> , а функция <tex> \phi(t) </tex> имеет непрерывную производную <tex> \phi'(t) </tex> на отрезке <tex> [\alpha; \beta] </tex>, причём все значения <tex> x = \phi(t) </tex> при <tex> [t \in{\alpha};{\beta}] </tex> принадлежат отрезку <tex> [a'; b'] </tex>, в том числе <tex> \phi(\alpha) = a </tex> и <tex> \phi(\beta) = b </tex>. Тогда имеет место равенство
+<p align = "center">
+[[Изображение:Img1.png‎]] </p>
+'''Замечание.'''
+Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной <tex> x </tex> не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной <tex> t </tex>. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.
+Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной <tex> x </tex> должны быть указаны пределы изменения именно <tex> x </tex> (то есть <tex> a </tex> и <tex> b </tex>), в то время как в исходном интеграле по переменной <tex> t </tex> указаны пределы изменения <tex> t </tex> (то есть <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>).
+Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
+'''Пример.'''
+Вычислим интеграл
+::[[Изображение:Img2.png‎]]
+Для этого сделаем замену <tex> x = \phi(t) = \sin t </tex>, откуда <tex> dx = \phi'(t)dt = \cos t dt</tex>. Кроме того, при <tex> t = 0 </tex> имеем <tex> x = \sin 0 = 0 </tex>, а при <tex> t = \frac{\pi}{2} </tex>  имеем <tex> x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </tex>. Получаем:
+::[[Изображение:Img2.png‎]]
 === Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
+Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
+::[[Изображение:W1.png‎]] (3)
+где <tex> p(x) > 0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
+::[[Изображение:W2.png‎]] (4)
+где <tex> x \in[{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.
+Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.
+Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
+Пусть на отрезке <tex> [a, b] </tex> заданы узлы интерполирования <tex> x_k, k = 0, 1, ... n </tex>. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на <tex> [a, b] </tex>.
+Заменяя в интеграле {{eqref|3}} функцию <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом Лагранжа
+::[[Изображение:W3.png‎]]
+получим приближенную формулу {{eqref|4}}, где
+::[[Изображение:W4.png‎]] (5)
+Таким образом, формула {{eqref|4}} является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу {{eqref|5}}.
 == Формула замены переменных в кратном интеграле ==
+Пусть <tex> F </tex> — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества <tex> G \subset R_{x}^{n} </tex> в пространство <tex> R_{y}^{n} </tex> и его якобиан <tex> J_{F} </tex> не обращается в нуль на множестве <tex> G </tex>.
+'''Теорема.'''
+Если <tex> E </tex> — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием <tex> \bar{E} </tex> в открытом множестве <tex> G </tex>: <tex> E \subset \bar{E} \subset G </tex>, а функция <tex> f </tex> непрерывна на множестве <tex> \bar{F(E)} </tex>, то
+<p align = "center">
+[[Изображение:A1.png‎]] (6) </p>
+Эта формула равносильна формуле
+<p align = "center">
+[[Изображение:A2.png‎]] (7) </p>
+Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.
+В нашем случае функции <tex> f(y) </tex> и [[Изображение:A3.png‎‎]] непрерывны соответственно на компактах <tex> \bar{F(E)} </tex> и <tex> \bar{E} </tex> (являющихся замыканием измеримых множеств <tex> F(E) </tex> и <tex> E </tex>), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.
+Таким образом, все входящие в формулы {{eqref|6}} и {{eqref|7}} интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются ''формулами замены переменных в кратном интеграле''.
+Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
+В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.
+Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены <tex> r </tex>, <tex> \varphi </tex> и на ней открытый прямоугольник
+::[[Изображение:A4.png‎]]
+При отображении
+::[[Изображение:A5.png‎]] (8)
+прямоугольник <tex> G </tex> отображается на множество <tex> G </tex> плоскости с декартовыми координатами <tex> x, y </tex>, которое представляет собой круг [[Изображение:A6.png‎]], из которого удален радиус [[Изображение:A7.png‎]].
+Отображение {{eqref|8}} и его якобиан
+::[[Изображение:A8.png‎]]
+непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник
+::[[Изображение:A9.png‎]]
+образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг <tex> G </tex>, на котором
+отображение {{eqref|8}} уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника <tex> G </tex> — отрезки [[Изображение:A10.png‎]] при <tex> \varphi = 0 </tex> и <tex> \varphi = 2 \pi </tex> отображаются в один и тот же отрезок [[Изображение:A10.png‎]], <tex> y = 0 </tex>, а отрезок [[Изображение:A11.png‎]]и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при <tex> r = 0 </tex>.
+<p align = "center">
+[[Изображение:A15.png‎]] </p>
+Для отображения {{eqref|8}} и непрерывной на круге [[Изображение:A12.png‎]] функции <tex> f(x)(y) </tex> имеет место формула
+::[[Изображение:A13.png‎]]
+Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:
+::[[Изображение:A14.png‎]]
 == Сведения об интегралах с бесконечными пределами ==
-== Соотношение равномощности ==
-== Заключение ==
+'''Определение.'''
+Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на бесконечном промежутке <tex> [a, \infty) </tex>. ''Несобственным интегралом'' от функции <tex> f(x) </tex> на промежутке <tex> [a, \infty) </tex> называется предел [[Изображение:Z1.png‎]]
+и обозначается
+::[[Изображение:Z2.png‎]]
+'''Определение.'''
+Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на бесконечном  промежутке <tex> (-\infty, b) </tex>. ''Несобственным  интегралом'' от  функции f(x) на промежутке <tex> (-\infty, b) </tex> называется предел [[Изображение:Z3.png‎]]
+и обозначается
+::[[Изображение:Z4.png‎]]
+'''Определение.'''
+Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции <tex> f(x) </tex> на бесконечном промежутке <tex> (-\infty, +\infty) </tex> определяется равенством
+::[[Изображение:Z5.png‎]]
+где <tex> c </tex> — любое число на оси <tex> Ox </tex>.
+Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.
+Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке <tex> [a, \infty) </tex>. Известно, что интеграл <tex> \int_{a}^{b} f(x) dx </tex> численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком <tex> [a, b] </tex> оси <tex> Ox </tex>, сверху — кривой <tex> y = f(x) </tex>, слева и справа — прямыми <tex> x = a </tex> и <tex> x = b </tex>. При возрастании <tex> b </tex> прямая <tex> x = b </tex> перемещается вправо вдоль оси <tex> Ox </tex>. Если при этом интеграл <tex> \int_{a}^{+\infty} f(x) dx </tex> сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью <tex> Ox </tex>, сверху — графиком функции <tex> y = f(x) </tex>, слева — прямой <tex> x = a </tex>.
+::[[Изображение:Z6.png‎]]
 == Литература ==

Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Введение

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Формула замены переменных в определенном интеграле

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Формула замены переменных в кратном интеграле

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Литература

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты