Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 08:59, 24 ноября 2008 (править) Пасконова Ольга (Обсуждение | вклад) (→Квадратурные формулы интерполяционного типа) ← К предыдущему изменению		Текущая версия (11:10, 16 декабря 2009) (править) (отменить) Пасконова Ольга (Обсуждение | вклад) (→История)
(140 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1:		Строка 1:
-	<tex> </tex>	+	== Двухфакторная непараметрическая модель ==
-	== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==	+	* [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.
-	Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.	+
-	'''Теорема.'''	+	'''Данные.'''
-	Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,	+	В каждом из <tex>n</tex> блоков содержится по одному наблюдению <tex>x_{ij}</tex>
-	<p align = "center">	+	на каждуб из <tex>k</tex> обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин
-	[[Изображение:Q1.jpg‎]] (1) </p>	+	<tex>X_{ij}</tex> в модели
-	а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция	+	<tex>X_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}</tex>,
-	<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и	+	где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>.
-	<p align = "center">	+
-	[[Изображение:Q2.png‎]] (2) </p>	+
		+	Здесь <tex>\mu</tex> - неизвестное общее среднее,
		+	<tex>\alpha_i</tex> - эффект блока <tex>i</tex> (неизвестный мешающий параметр),
		+	<tex>\beta_j</tex> - эффект блока <tex>j</tex> (интересующий нас параметр),
		+	<tex>\epsilon_{ij}</tex> - случайная ошибка
		+	<tex>j</tex>
-	Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex>. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде	+	'''Допущения.'''
-	::[[Изображение:Q3.png‎]]	+	'''1.''' Все ошибки <tex>\epsilon_{ij}</tex> независимы.
-		+
-	то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png‎]]), можно сделать подстановку <tex> x = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> x = \phi(t) </tex>.	+
		+	'''2.''' Все <tex>\epsilon_{ij}</tex> имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение.
-	'''Примеры.'''	+	==Критерий Фридмана==
-	'''1.''' Для вычисления интеграла <tex> \int cos ax dx </tex> естественно сделать подстановку <tex> u = ax </tex>, тогда	+	Для проверки гипотезы
-	::[[Изображение:Q5.png‎]]	+	<tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex>
-	'''2.''' Для вычисления интеграла [[Изображение:Q6.png‎]] удобно применить подстановку	+	против альтернативы
-	<tex> u = x^3 + a^3 </tex>:	+
-	::[[Изображение:Q7.png‎]]	+	<tex> H_1 </tex>: не все <tex> \beta_j </tex> равны между собой
-		+
-	'''3.''' При вычислении интегралов вида [[Изображение:Q8.png‎]] полезна подстановка	+
-	<tex> u = \phi(x) </tex>:	+
-	::[[Изображение:Q9.png‎]]	+	применяется [[Критерий Фридмана]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260]
-	Например,	+
-	::[[Изображение:Q10.png‎]]	+
-		+
-	Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:	+
-	::[[Изображение:Q11.png‎]]	+	===Пример===
-		+	Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?
-	Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью соответствующей замены переменного <tex> x = \phi(t) </tex> свести к вычислению интеграла [[Изображение:Q12.png‎]] (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).	+
-	В случае, когда функция <tex> \phi </tex> имеет обратную <tex> \phi^{-1} </tex>, перейдя в обеих частях формулы {{eqref|2}} к переменной <tex> x </tex> с помощью подстановки <tex> t = \phi^{-1}(x) </tex> и поменяв местами стороны равенства, получим	+	==Критерий Пейджа==
-	::[[Изображение:Q13.png‎]]	+	Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой ''упорядоченности'' (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).
-	Эта формула называется обычно ''формулой интегрирования заменой переменной''.	+	Для проверки гипотезы
-	Для того чтобы существовала функция <tex> \phi^{-1} </tex>, обратная <tex> \phi </tex>, в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке <tex> \Delta_t </tex> функция <tex> \phi </tex> была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция <tex> \phi^{-1} </tex>.	+	<tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex>
-	'''4.''' Интегралы вида [[Изображение:Q14.png‎]] в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.	+	против альтернативы возрастания эффектов обработок
-	Действительно, замечая, что [[Изображение:Q15.png‎]], сделаем замену переменной [[Изображение:Q16.png‎]] и положим [[Изображение:Q17.png‎]]. Тогда [[Изображение:Q18.png‎]] и, в силу формулы {{eqref|2}}, получим	+	<tex> H_2: \beta_1 \leq \dots \leq \beta_k </tex>,
-	::[[Изображение:Q19.png‎]]	+	где хотя бы одно из неравенств строгое,
-	(перед <tex> t^2 </tex> стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной <tex> t </tex> к переменной <tex> x </tex>, получим искомый интеграл.	+	выполняется [[Критерий Пейджа|статистика критерия Пейджа]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263]
-	Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида	+	===Пример===
		+	'''Прочность волокон хлопка.'''
-	::[[Изображение:Q20.png‎]]	+	Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам.
		+	С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.
-	'''5.''' Интеграл [[Изображение:Q21.png‎]] можно вычислить с помощью подстановки
-	<tex> x = a sin t </tex>. Имеем <tex> dx = a cos t dt </tex>, поэтому
-	::[[Изображение:Q22.png‎]]
-	Подставляя это выражение <tex> t = arcsin \frac{x}{a} </tex> и замечая, что
-	::[[Изображение:Q23.png‎]]
-	окончательно будем иметь	+	==Литература==
-	::[[Изображение:Q24.png‎]]	+	# ''Шеффе Г.'' Дисперсионный анализ. — М., 1980.
		+	# ''Аренс Х.'' ''Лёйтер Ю.'' Многомерный дисперсионный анализ.
		+	# ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
		+	# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
		+	# ''Холлендер М., Вульф Д.А.'' Непараметрические методы статистики.
-	Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.	+	== Ссылки ==
-	==Формула замены переменных в определенном интеграле ==	+	* [http://www.tspu.tula.ru/res/math/mop/lections/lection_7.htm#_Toc73845987 Дисперсионный анализ для связанных выборок] - Аналитическая статистика.
		+	* [http://lib.socio.msu.ru/l/library?e=d-000-00---001ucheb--00-0-0-0prompt-10---4------0-1l--1-ru-50---20-about---00031-001-1-0windowsZz-1251-00&a=d&cl=CL1&d=HASHe10c3b36c7d751dd18704b.11 Многофакторный дисперсионный анализ] - Электронная библиотека.
-	'''Теорема.'''	+	==См. также==
-	Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на отрезке <tex> [a'; b'] </tex> , а функция <tex> \phi(t) </tex> имеет непрерывную производную <tex> \phi'(t) </tex> на отрезке <tex> [\alpha; \beta] </tex>, причём все значения <tex> x = \phi(t) </tex> при <tex> [t \in{\alpha};{\beta}] </tex> принадлежат отрезку <tex> [a'; b'] </tex>, в том числе <tex> \phi(\alpha) = a </tex> и <tex> \phi(\beta) = b </tex>. Тогда имеет место равенство	+	* [[Однофакторная параметрическая модель]]
		+	* [[Однофакторная непараметрическая модель]]
		+	* [[Дисперсионный анализ]]
-	<p align = "center">	+	[[Категория:Прикладная статистика]]
-	[[Изображение:Img1.png‎]] </p>	+	[[Категория:Дисперсионный анализ]]
-		+
-	'''Замечание.'''	+
-		+
-	Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной <tex> x </tex> не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной <tex> t </tex>. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.	+
-		+
-	Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной <tex> x </tex> должны быть указаны пределы изменения именно <tex> x </tex> (то есть <tex> a </tex> и <tex> b </tex>), в то время как в исходном интеграле по переменной <tex> t </tex> указаны пределы изменения <tex> t </tex> (то есть <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>).	+
-		+
-	Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.	+
-		+
-	'''Пример.'''	+
-		+
-	Вычислим интеграл	+
-		+
-	::[[Изображение:Img2.png‎]]	+
-		+
-	Для этого сделаем замену <tex> x = \phi(t) = \sin t </tex>, откуда <tex> dx = \phi'(t)dt = \cos t dt</tex>. Кроме того, при <tex> t = 0 </tex> имеем <tex> x = \sin 0 = 0 </tex>, а при <tex> t = \frac{\pi}{2} </tex> имеем <tex> x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </tex>. Получаем:	+
-		+
-	::[[Изображение:Img2.png‎]]	+
-		+
-		+
-	=== Квадратурные формулы интерполяционного типа ===	+
-		+
-	Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов	+
-		+
-	::[[Изображение:W1.png‎]] (3)	+
-		+
-	где <tex> р(х)>0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид	+
-		+
-	::[[Изображение:W2.png‎]] (4)	+
-		+
-	где <tex> [x \in{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.	+
-		+
-	Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.	+

---

Текущая версия

Содержание 1 Двухфакторная непараметрическая модель 2 Критерий Фридмана 2.1 Пример 3 Критерий Пейджа 3.1 Пример 4 Литература 5 Ссылки 6 См. также

Двухфакторная непараметрическая модель

• Двухфакторная непараметрическая модель: критерий Фридмана [Лапач, 203], критерий Пейджа. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.

Данные.

В каждом из блоков содержится по одному наблюдению на каждуб из обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин в модели

, где .

Здесь - неизвестное общее среднее, - эффект блока (неизвестный мешающий параметр), - эффект блока (интересующий нас параметр), - случайная ошибка

Допущения.

1. Все ошибки независимы.

2. Все имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение.

Критерий Фридмана

Для проверки гипотезы

против альтернативы

: не все равны между собой

применяется Критерий Фридмана [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260]

Пример

Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?

Критерий Пейджа

Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой упорядоченности (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).

Для проверки гипотезы

против альтернативы возрастания эффектов обработок

,

где хотя бы одно из неравенств строгое,

выполняется статистика критерия Пейджа [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263]

Пример

Прочность волокон хлопка.

Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам. С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.

Литература

1. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. — М., 1980.
2. Аренс Х. Лёйтер Ю. Многомерный дисперсионный анализ.
3. Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
4. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
5. Холлендер М., Вульф Д.А. Непараметрические методы статистики.

Ссылки

• Дисперсионный анализ для связанных выборок - Аналитическая статистика.
• Многофакторный дисперсионный анализ - Электронная библиотека.

См. также

• Однофакторная параметрическая модель
• Однофакторная непараметрическая модель
• Дисперсионный анализ