ARIMA
Материал из MachineLearning.
(Новая: '''Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее''' (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщ...) |
м (→См. также) |
||
| (3 промежуточные версии не показаны) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| - | '''Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее''' (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщением модели авторегрессионного скользящего среднего. | + | '''Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее''' (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщением модели [[Авторегрессионное скользящее среднее|авторегрессионного скользящего среднего]]. |
| - | Эти модели используются при работе с временными рядами для более глубокого понимания данных или предсказания будущих точек ряда. | + | Эти модели используются при работе с [[временной ряд|временными рядами]] для более глубокого понимания данных или предсказания будущих точек ряда. |
Обычно модель упоминается, как ARIMA(<i>p,d,q</i>), где <i>p,d</i> и <i>q</i> — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего). | Обычно модель упоминается, как ARIMA(<i>p,d,q</i>), где <i>p,d</i> и <i>q</i> — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего). | ||
Пусть задан временной ряд <tex>X_t</tex>, где <i>t</i> — целый индекс и <tex>X_t</tex> — вещественные числа. | Пусть задан временной ряд <tex>X_t</tex>, где <i>t</i> — целый индекс и <tex>X_t</tex> — вещественные числа. | ||
Тогда модель ARMA(<i>p,q</i>) задаётся следующем образом: <br /> | Тогда модель ARMA(<i>p,q</i>) задаётся следующем образом: <br /> | ||
| - | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \ | + | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t</tex>, <br /> |
| - | где <i>L</i> — оператор задержки, <tex>\phi_i</tex> — параметры авторегрессионной части модели, <tex>\ | + | где <i>L</i> — оператор задержки, <tex>\phi_i</tex> — параметры авторегрессионной части модели, <tex>\theta_i</tex> — параметры скользящего среднего, а <tex>\epsilon_t</tex> — значения ошибки. Обычно предполагают, что ошибки <tex>\epsilon_t</tex> являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним. |
ARIMA(<i>p,d,q</i>) получается интегрированием ARMA(<i>p,q</i>). | ARIMA(<i>p,d,q</i>) получается интегрированием ARMA(<i>p,q</i>). | ||
| - | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) (1-L)^d X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \ | + | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) (1-L)^d X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t</tex>, <br /> |
где <i>d</i> — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если <i>d</i>=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). | где <i>d</i> — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если <i>d</i>=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). | ||
И наоборот, применяя почленное дифференцирование <i>d</i> раз к модели ARMA(<i>p,q</i>), получим модель ARIMA(<i>p,d,q</i>). | И наоборот, применяя почленное дифференцирование <i>d</i> раз к модели ARMA(<i>p,q</i>), получим модель ARIMA(<i>p,d,q</i>). | ||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
Например, ARIMA(0,1,0), задающая <br /> | Например, ARIMA(0,1,0), задающая <br /> | ||
::<tex>X_t = X_{t-1} + \epsilon_t</tex>, <br /> | ::<tex>X_t = X_{t-1} + \epsilon_t</tex>, <br /> | ||
| - | является моделью случайных блужданий. | + | является моделью [[случайное блуждание|случайных блужданий]]. |
Используется большое количество вариаций модели ARIMA. | Используется большое количество вариаций модели ARIMA. | ||
| Строка 32: | Строка 32: | ||
== См. также == | == См. также == | ||
| - | *[[ | + | *[[Авторегрессионное скользящее среднее]] |
*[[Временной ряд]] | *[[Временной ряд]] | ||
*[[Автокорреляция]] | *[[Автокорреляция]] | ||
| + | *[[Случайное блуждание]] | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| Строка 41: | Строка 42: | ||
[[Категория:Прикладная статистика]] | [[Категория:Прикладная статистика]] | ||
| + | [[Категория:Регрессионный анализ]] | ||
Текущая версия
Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщением модели авторегрессионного скользящего среднего. Эти модели используются при работе с временными рядами для более глубокого понимания данных или предсказания будущих точек ряда. Обычно модель упоминается, как ARIMA(p,d,q), где p,d и q — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего).
Пусть задан временной ряд , где t — целый индекс и
— вещественные числа.
Тогда модель ARMA(p,q) задаётся следующем образом:
,
где L — оператор задержки, — параметры авторегрессионной части модели,
— параметры скользящего среднего, а
— значения ошибки. Обычно предполагают, что ошибки
являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним.
ARIMA(p,d,q) получается интегрированием ARMA(p,q).
,
где d — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если d=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). И наоборот, применяя почленное дифференцирование d раз к модели ARMA(p,q), получим модель ARIMA(p,d,q). Заметим, что дифференцировать надо только авторегрессионную часть.
Важно отметить, что не все сочетания параметров дают «хорошую» модель. В частности, чтобы получить стационарную модель требуется выполнение некоторых условий.
Существует несколько известных частных случаев модели ARIMA.
Например, ARIMA(0,1,0), задающая
,
является моделью случайных блужданий.
Используется большое количество вариаций модели ARIMA.
Например, если исследуются несколько рядов, то можно трактовать как векторы.
Тогда мы приходим к модели VARIMA.
Иногда в модели может иметься сезонный фактор.
Примером может послужить модель объёма трафика за день.
На выходных поведение ряда будет заметно отличаться от рабочих дней.
В этом случае вместо того, чтобы наращивать порядки скользящего среднего и авторегрессионной части модели, лучше прибегнуть к модели сезонного авторегрессионного скользящего среднего (SARIMA).
Если имеется некоторая долгосрочная зависимость, параметр d может быть заменён нецелыми значениями, приводя к авторегрессионному дробноинтегрированному процессу скользящего среднего (FARIMA или ARFIMA).
