Участник:Айнагуль Джумабекова/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Айнагуль Джумабекова(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
3 Рекомендации программисту
4 Список литературы
5 См. также

Введение

Постановка математической задачи

Численное дифференцирование применяется, если функцию $y(x)$ трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.

Изложение метода

При численном дифференцировании функцию $y(x)$ аппроксимируют легко вычисляемой функцией $\varphi(x)$ и приближенно полагают $y'(x)=\varphi'(x)$ . При этом можно использовать различные способы аппроксимации.

Интерполирование полиномами Ньютона

Рассмотрим случай аппроксимации интерполяционным многочленом Ньютона.

Пусть задана сетка $x_0<x_1<\dots<x_N. y(x)$ - исследуемая функция. Введем обозначение $\xi_i=x-x_i$ и введем понятие разделенные разности $y(x_0,x_1,\dots,x_k)$ , определяемые следующим образом:

$y(x_i,x_j)=\frac{y(x_i) - y(x_j)}{x_i - x_j}$ ,

$y(x_i,x_j,x_k) = \frac{y(x_i,x_j)-y(x_j,x_k)}{x_i-x_k}$ и т.д.

Можно доказать, что

$y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}$ .

Запишем интерполяционный многочлен Ньютона и продифференцируем его почленно:

$\varphi(x)=y(x_0)+\xi_0 y(x_0,x_1)+\xi_0\xi_1 y(x_0,x_1,x_2) + \xi_0\xi_1\xi_2 y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots$

$\varphi'(x)=y(x_0,x_1)+(\xi_0+\xi_1) y(x_0,x_1,x_2) + (\xi_0\xi_1+\xi_0\xi_2 +\xi_1\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots$

$\varphi''(x)=2 y(x_0,x_1,x_2) + 2(\xi_0+\xi_1 +\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots$

Общая формула примет следующий вид:

( 1 )

$\varphi^{(k)}(x)=k!\left[ y(x_0,x_1,\dots,x_k) + \left( \sum_{i=0}^k \xi_i \right) y(x_0,x_1,\dots,x_{k+1}) + \left( \sum_{i>j\geq 0}^{i=k+1}\xi_i\xi_j\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+2}) + \left( \sum_{i>j>l\geq 0}^{i=k+2}\xi_i\xi_j\xi_l\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+3}) +\dots\right]$

Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответствующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член:

( 2 )

$y'(x)\approx y(x_0,x_1) = \frac{y(x_0)-y(x_1)}{x_0-x_1}$ ,

$\frac{1}{2}y''(x)\approx y(x_0,x_1,x_2) = \frac{1}{x_0-x_2}\left( \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}- \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)$ ,

$\frac{1}{k!} y^{(k)}(x) \approx y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}$

Исследование точности полученных выражений при численных расчётах удобно делать при помощи апостериорной оценки, по скорости убывания членов ряда (1). Если шаг сетки достаточно мал, то погрешность близка к первому отброшенному члену. Пусть мы используем узлы $x_i, i=1\dots n$ . Тогда первый отброшенный член содержит разделенную разность $y(x_0,x_1,\dots,x_{n+1})$ , которая согласно (2) примерно равна $y^{(n+1)}(x)/(n+1)!$ . Перед ней стоит сумма произведений различных множителей $\xi_i$ ; каждое произведение содержит $n+1-k$ множителей, а вся сумма состоит из $C_{n+1}^k$ слагаемых. Отсюда следует оценка погрешности формулы (3) с $n+1$ узлами:

(3)

$R_n^{(k)}\leq\frac{M_{n+1}}{(n+1-k)!}\max_i {|\xi_i|}^{n+1-k},\; M_{n+1}=\max{|y^{(n+1)}|}$

В частности, если сетка равномерная, то $M_{n+1}=\max{|\xi_i|}\leq nh$ , откуда

(4)

$R_n^{(k)}<M_{n+1} {\left( \frac{en}{n+1-k}h \right)}^{n+1-k}=O(h^{n+1-k})$ .

Стоит заметить, что строгое априорное исследование погрешности формулы (3), аналогичное выводу остаточного члена многочлена Ньютона в форме Коши, для произвольного расположения узлов приводит к той же оценке (3).

Таким образом, порядок точности формулы (1) по отношению к шагу сетки равен числу оставленных в ней членов, или, что то же самое, он равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления $k$ -й производной, равно $k+1$ ; оно приводит к формулам (2) и обеспечивает первый порядок точности. Эти выводы соответствуют общему принципу: при почленном дифференцировании ряда скорость его сходимости уменьшается.

Интерполирование полиномами Лагранжа

Рассмотрим неравномерную сетку $\omega_h=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b\}$ и обозначим за $h_i=x_i-x_{i-1}$ , $i=1,2,\dots,N$ шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа $L_{2,i}(x)$ , построенного для функции $u(x)$ по трем точкам $x_{i-1},x_i,x_{i+1}$ . Многочлен $L_{2,i}(x)$ имеет вид

$L_{2,i}(x)=\frac {(x-x_i)(x-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(x-x_{i-1})(x-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}$

Отсюда получим $L_{2,i}'(x)=\frac{(2x-x_i-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(2x-x_{i-1}-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(2x-x_{i-1}-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}$

Это выражение можно принять за приближенное значение $u'(x)$ в любой точке $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ . Его удобнее записать в виде $L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]$ , где $\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})$ , $x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i$ .

В частности, при $x=x_i$ получим $L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$ , И если сетка равномерна, $h_{i+1}=h_i=h$ , то приходим к центральной разностной производной, $L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}$ . При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные $u_{\bar{x},i}$ и $u_{x,i}$ . Далее вычисляя вторую производную многочлена $L_{2,i}(x)$ , получим приближенное выражение для $u''(x)$ при $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ :

$u''(x)$ ≈ $L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})$

На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной $u_{\bar{x}x,i}$ . Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена $L_{2,i}(x)$ , надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.

Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене $u'(x)$ выражением $L_{2,i}'(x)$ . Будем считать, что $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ и что величины $h_i, h_{i+1}$ имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности $u^{(4)}(x)$ получим $u_{i+k}=u(x)+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4)$ ,

где $k=0$ ,± $1,h=max\{h_i,h_{i+1}\}$

Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений

$\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}=u'(x)-(x-x_{i-\frac{1}{2}})u''(x)+(\frac{{(x-x_{i-\frac{1}{2}})}^2}{2}+\frac{h_i^2}{24})u'''(x)+O(h^3)$

$\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}=u'(x)-(x_{i+\frac{1}{2}}-x)u''(x)+(\frac{{(x_{i+\frac{1}{2}}-x)}^2}{2}+\frac{h_{i+1}^2}{24})u'''(x)+O(h^3)$

Подставляя полученные формулы в выражение для разностной производной и приводя подобные слагаемые получим

$L_{2,i}'(x)=u'(x)-[\frac{{(x-x_i)}^2}{2}-\frac{(h_{i+1}-h_i)(x-x_i)}{3}-\frac{h_ih_{i+1}}{6}]u'''(x)+O(h^3)$ , $x$ ∈ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ .

Отсюда видно,что разностное выражение аппроксимирует $u'(x)$ со вторым порядком.

Если подставить полученные ранее разностные отношения в выражение для второй производной многочлена $L_{2,i}(x)$ , то имеем

$L_{2,i}''(x)=u''(x)+(x_i-x + \frac{h_{i+1}-h_i}{3})u'''(x)+O(h^2)$

Из этого выражения видно, что даже на равномерной сетке,т.е. когда $h_i=h_{i+1}$ , второй порядок аппроксимации имеет место лишь в точке $x=x_i$ , а относительно других точек (например, $x=x_{i+1}$ ) выполняется аппроксимация только первого порядка. Таким образом, получим аппроксимацию лишь первого порядка.

Интеполирование кубическими сплайнами

Для того, чтобы избежать больших погрешностей в процессе приближения, весь отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию $f(x)$ многочленом невысокой степени (так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных. Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых их сходимость, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

Построение кубического сплайна.

Пусть на [a,b] задана непрерывная функция $f(x)$ . Введем сетку $a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b$ и обозначим $f_i=f(x_i)$ , $i=0,1,\dots,N$ . Сплайном соответствующим данной функции $f(x)$ и данным узлам $\{x_i\}_{i=0}^N$ называется функция $s(x)$ , удовлетворяющая следующим условиям:

а) на каждом сегменте $[x_i-1,x_i]$ , $i=1,2,\dots,N$ функция $s(x)$ является многочленом третьей степени;

б) функция $s(x)$ , а также её первая и вторая производная производные непрерывны на [a,b];

в) $s(x_i)=f(x_i)$ , $i=1,2,\dots,N$ ;

На каждом из отрезков $[x_i-1,x_i]$ , $i=1,2,\dots,N$ будем искать функцию $s(x)=s_i(x)$ в виде многочлена третьей степени

$s_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+\frac{c_i}{2}(x-x_i)^2 +\frac{d_i}{6}(x-x_i)^3$ ,

где $x_i-1<=x<=x_i$ , $i=1,2,\dots,N$ , где $a_i,b_i,c_i,d_i$ - коэффициенты, подлежащие определению. Доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями $s''(a)=s''(b)=0$ .

Для их нахождения используются следующие формулы

1) $a_i=f(x_i)$ , $i=1,2,\dots,N$

2) Для определения коэффициентов $c_i$ получаем систему уравнений

$h_ic_{i-1}+2(h_i+h_{i+1})c_i+h_{i+1}c_{i+1}=6\left(\frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}\right), <tex>i=1,2,\dots,N-1$ , $c_0=c_N=0$

(система решается методом прогонки) По найденным коэффициентам $c_i$ коэффициенты $b_i$ , $d_i$ определяются с помощью явных формул

3) $d_i=\frac{c_i-c_{i-1}}{h_i},<tex>i=1,2,\dots,N$

4) $b_i=\frac{h_i}{2}c_i-\frac{h_i^2}{6}d_i+\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}, <tex>i=1,2,\dots,N$

Найдем производные введенного кубического сплайна, имеем $s_i'(x)=b_i+c_i(x-x_i)+\frac{d_i}{2}{(x-x_i)}^2$

$s_i''(x)=c_i+d_i(x-x_i)$

$s_i'''(x)=d_i$

Рассмотрим оценку погрешности метода, которая зависит от выбора сеток и от гладкости $f(x)$ . Для простоты изложения допустим, что сетка равномерная, т.е.

$\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\dots,N\}$ с шагом $b=\frac{b-a}{N}$

От функции $f(x)$ будем требовать существования непрерывной на [a,b] четвертой производной, $f(x)$ ∈ $C^{(4)}[a,b]$ . Кроме того, предположим, что выполнены граничные условия $f''(a)=f''(b)=0$ и такие же условия для сплайнов. Обозначим,

$||g(x)||_{C[a,b]}=\max_{[a,b]}|g(x)|$ , $M_4=||f^4(x)||_{C[a,b]}$

Пусть $s_h(x)$ - кубический сплайн, построенный для функции $f(x)$ на сетке $\omega_h$ . В следующей теореме приведены оценки погрешности интерполяции для функции $f(x)$ и её производных $f'(x)$ , $f''(x)$

Теорема

Для $f(x)$ ∈ $C^{(4)}[a,b]$ справедливы оценки

$||f(x)-s_h(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^4$

$||f'(x)-s_h'(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^3$

$||f''(x)-s_h''(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^2$

Из этих оценок следует, что при $h \to 0$ (т.е. при $N \to \infty$ ) последовательности $s_h^{(i)}(x)$ , $i=0,1,2$ сходятся соответственно к функциям $f^{(i)}(x)$ $i=0,1,2$ .

Обычно дифференцирование кубического сплайна позволят определить первую и вторую производную интерполяционного многочлена с хорошей точностью. Если надо вычислить более высокие производные, то целесообразно строить сплайны высоких порядков. Из-за большей трудоемкости этот способ редко используется. Способ дифференцирования с помощью сплайновой интерполяцией теоретически мало исследован.

Тригонометрическая интерполяция

Не всякую функцию целесообразно приближать алгебраическими многочленами. Рассмотрим тригонометрическую интерполяцию. Если $f(x)$ - периодическая функция с периодом l, то естественно строить приближения с помощью функций

$\varphi_k(x)=a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\pi kx}{l}), k=0,1,\dots,n$

Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене $f(x)$ тригонометрическим многочленом

$T_n(x)=\sum_{k=0}^n \varphi_k(x)= a_0 + \sum_{k=1}^n\left(a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\p ikx}{l})\right)$ ,

коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений

$T_n(x_j)=f(x_j), j=1,2,\dots,2n+1$ ,

где $x_0<x_1<\dots<x_{2n+1},x_{2n+1}-x_0=l$ .

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%90%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%94%D0%B6%D1%83%D0%BC%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

@@ Строка 168: / Строка 168: @@
 Для <tex>f(x)</tex>∈ <tex>C^{(4)}[a,b]</tex> справедливы оценки
-		::<tex>||f(x)-s_h(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^4</tex>
+		<tex>||f(x)-s_h(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^4</tex>
-		::<tex>||f'(x)-s_h'(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^3</tex>
+		<tex>||f'(x)-s_h'(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^3</tex>
-		::<tex>||f''(x)-s_h''(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^2</tex>
+		<tex>||f''(x)-s_h''(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^2</tex>
 Из этих оценок следует, что при  <tex>h \to 0</tex>  (т.е. при <tex>N \to \infty</tex>)  последовательности  <tex>s_h^{(i)}(x)</tex>, <tex>i=0,1,2</tex> сходятся соответственно к функциям <tex>f^{(i)}(x)</tex> <tex>i=0,1,2</tex>.
@@ Строка 183: / Строка 183: @@
 Если <tex>f(x)</tex> - периодическая функция с периодом l, то естественно строить приближения с помощью функций
-	::<tex>\varphi_k(x)=a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\pi kx}{l}), k=0,1,\dots,n</tex>
+	<tex>\varphi_k(x)=a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\pi kx}{l}), k=0,1,\dots,n</tex>
 Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене <tex>f(x)</tex> тригонометрическим многочленом

Участник:Айнагуль Джумабекова/Песочница

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Изложение метода

Интерполирование полиномами Ньютона

Интерполирование полиномами Лагранжа

Интеполирование кубическими сплайнами

Тригонометрическая интерполяция

Рекомендации программисту

Список литературы

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты