Модель Хольта-Уинтерса

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Ссылки)
 
(7 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
{{TOCright}}
{{TOCright}}
 +
Многие продукты имеют тенденцию роста или падения продаж, особенно когда они производятся впервые или когда появляются конкурирующие товары. Для некоторых продуктов существенны сезонные изменения уровня продаж, поэтому для прогноза продаж товара целесообразно учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. На основе [[Модель Хольта|модели Хольта]] Уинтерс (Винтерс, Winters) создал свою прогностическую модель, которая учитывает экспоненциальный [[тренд]] и аддитивную [[сезонность]].
 +
== Определение ==
== Определение ==
-
Пусть задан [[Временной ряд|временной ряд]]: <tex>y_i \dots y_t,\; y_i \in R</tex>.
+
Пусть задан [[Временной ряд|временной ряд]]: <tex>y_i, \ldots, y_t,\; y_i \in R</tex>.
Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда.
Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда.
-
'''Модель Хольта-Уинтерса''' - усложненная [[Модель Хольта|модель Хольта]], учитывающая [[Сезонность|сезонность]] и мультипликативные [[Тренд|тренды]].
+
<tex>
 +
\begin{align*}
 +
\hat{y}_{t+d} &= a_t (r_t)^d \Theta_{t + (d \text{ mod } s) - s}, \\
 +
a_t &= \alpha_1 \cdot \frac{y_t}{\Theta_{t-s}} + \left(1-\alpha_1 \right)a_{t-1} r_{t-1}, \\
 +
r_t &= \alpha_3 \cdot \frac{a_t}{a_{t-1}} + \left(1-\alpha_3 \right)r_{t-1}, \\
 +
\Theta_t &= \alpha_2 \cdot \frac{y_t}{a_t} + \left(1-\alpha_2 \right) \Theta_{t-s},
 +
\end{align}
 +
</tex>
-
<tex>\hat{y}_{t+d}=a_t (r_t)^d \Theta_{t + (d MOD s) - s}</tex>
+
где <tex>s</tex> — период [[Сезонность|сезонности]],<tex>\Theta_i, \; i \in 0, \ldots, s-1</tex> — сезонный профиль, <tex>r_t</tex> — параметр тренда, <tex>a_t</tex> — параметр прогноза, очищенный от влияния тренда и сезонности.
-
<tex>a_t=\alpha_1 \left( y_t/\Theta_{t-s} \right) + \left(1-\alpha_1 \right)a_{t-1} r_{t-1}</tex>;
+
Оптимальные параметры <tex>\alpha_1,\; \alpha_2, \; \alpha_3 \in \left( 0,1 \right) </tex>
 +
предлагается находить экспериментальным путем. Один набор весов можно использовать для широкого класса продуктов, например, Уинтерс использовал данные (за 5—7 лет): о продажах кухонной утвари, о продажах краски, о котлованах для изготовленных заводским способом сооружений и т.п. Первая часть данных (2—3 года) использовалась для построения модели, а на основе остальных данных проверялась точность прогнозирования.
-
<tex>r_t=\alpha_3 \left( a_t/\a_{t-1} \right) + \left(1-\alpha_3 \right)r_{t-1}</tex>;
+
== Пример ==
 +
[[Изображение:HoltWintersSample.jpg|300px|thumb|Красным отмечен прогноз, синим - исходные данные.]]
-
<tex>\Theta_t=\alpha_2 \left( y_t/\a_t \right) + \left(1-\alpha_2 \right) \Theta_{t-s}</tex>;
+
Прогноз арендной ставки на 1 год. Оптимальные параметры <tex>\alpha_1,\; \alpha_2, \; \alpha_3</tex> подбирались путем минимизации среднеквадратичной ошибки прогноза <tex>\eps_t^2=(y_t-\hat{y}_t)^2</tex>.
-
 
+
-
где s - период [[Сезонность|сезонности]],<tex>\Theta_i, \; i \in 0 \dots s-1</tex> - сезонный профиль, <tex>a_t, \;r_t</tex> отвечают за линейную и экспоненциальную составляющую тренда соответствено.
+
-
 
+
-
Параметры <tex>\alpha_1,\; \alpha_2, \; \alpha_3 \in \left( 0,1 \right) </tex>. Параметры выбираются по аналогии с выбором параметра α в [[Экспоненциальное_сглаживание|модели Брауна]].
+
== Литература==
== Литература==
''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
 +
 +
''Winters P.R.'' Forecasting sales by exponentially weighted
 +
moving averages //Management Science. - 1960. - Vol. 6. -
 +
№3.
 +
 +
''Погодин С. К.'' Методы оценки портфелей инвестиций, диссертация на соискание степени кандидата экономических наук (ВШЭ), Москва, 2006.
 +
== Ссылки ==
== Ссылки ==
Строка 28: Строка 42:
[[Модель Тейла-Вейджа]] — учитываются аддитивный тренд и сезонность.
[[Модель Тейла-Вейджа]] — учитываются аддитивный тренд и сезонность.
-
{{stub}}
+
 
 +
[[Следящий контрольный сигнал| Анализ адекватности адаптивных моделей]]
 +
 
 +
[[Категория:Прогнозирование временных рядов]]
[[Категория:Прикладная статистика]]
[[Категория:Прикладная статистика]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]

Текущая версия

Содержание

Многие продукты имеют тенденцию роста или падения продаж, особенно когда они производятся впервые или когда появляются конкурирующие товары. Для некоторых продуктов существенны сезонные изменения уровня продаж, поэтому для прогноза продаж товара целесообразно учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. На основе модели Хольта Уинтерс (Винтерс, Winters) создал свою прогностическую модель, которая учитывает экспоненциальный тренд и аддитивную сезонность.

Определение

Пусть задан временной ряд: y_i, \ldots, y_t,\; y_i \in R.

Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда.

\begin{align*} \hat{y}_{t+d} &= a_t (r_t)^d \Theta_{t + (d \text{ mod } s) - s}, \\ a_t &= \alpha_1 \cdot \frac{y_t}{\Theta_{t-s}} + \left(1-\alpha_1 \right)a_{t-1} r_{t-1}, \\ r_t &= \alpha_3 \cdot \frac{a_t}{a_{t-1}} + \left(1-\alpha_3 \right)r_{t-1}, \\ \Theta_t &= \alpha_2 \cdot \frac{y_t}{a_t} + \left(1-\alpha_2 \right) \Theta_{t-s}, \end{align}

где s — период сезонности,\Theta_i, \; i \in 0, \ldots, s-1 — сезонный профиль, r_t — параметр тренда, a_t — параметр прогноза, очищенный от влияния тренда и сезонности.

Оптимальные параметры \alpha_1,\; \alpha_2, \; \alpha_3 \in \left( 0,1 \right) предлагается находить экспериментальным путем. Один набор весов можно использовать для широкого класса продуктов, например, Уинтерс использовал данные (за 5—7 лет): о продажах кухонной утвари, о продажах краски, о котлованах для изготовленных заводским способом сооружений и т.п. Первая часть данных (2—3 года) использовалась для построения модели, а на основе остальных данных проверялась точность прогнозирования.

Пример

Красным отмечен прогноз, синим - исходные данные.
Красным отмечен прогноз, синим - исходные данные.

Прогноз арендной ставки на 1 год. Оптимальные параметры \alpha_1,\; \alpha_2, \; \alpha_3 подбирались путем минимизации среднеквадратичной ошибки прогноза \eps_t^2=(y_t-\hat{y}_t)^2.

Литература

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.

Winters P.R. Forecasting sales by exponentially weighted moving averages //Management Science. - 1960. - Vol. 6. - №3.

Погодин С. К. Методы оценки портфелей инвестиций, диссертация на соискание степени кандидата экономических наук (ВШЭ), Москва, 2006.

Ссылки

Модель Брауна — экспоненциальное сглаживание.

Модель Хольта — учитываются линейный тренд без сезонности.

Модель Тейла-Вейджа — учитываются аддитивный тренд и сезонность.

Анализ адекватности адаптивных моделей

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0-%D0%A3%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0»
Личные инструменты