Моменты случайной величины

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Содержание

1 Определения
2 Замечания
3 Геометрический смысл некоторых моментов
4 Вычисление моментов

Определения

Если дана случайная величина $\displaystyle X,$ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

$\displaystyle k$ -м начальным моментом случайной величины $\displaystyle X,$ где $k \in \mathbb{N},$ называется величина

$\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],$

если математическое ожидание $\mathbb{E}[*]$ в правой части этого равенства определено;

$\displaystyle k$ -м центральным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],$

$\displaystyle k$ -м факториальным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

Если определены моменты $\displaystyle k$ -го порядка, то определены и все моменты низших порядков $1 \le k' < k.$
В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

$\displaystyle \mu_1 = 0,$

$\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,$

$\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,$

$\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,$ и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

$\displaystyle \nu_1$ равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
$\displaystyle \mu_2$ равняется дисперсии распределения $\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)$ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
$\displaystyle \mu_3$ , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

$\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

называется коэффициентом асимметрии.

$\displaystyle \mu_4$ контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

$\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$

называется коэффициентом эксцесса распределения $\displaystyle X.$

Вычисление моментов

Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью $\displaystyle f(x),$ имеем:

$\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,$

если $\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,$

а для дискретного распределения с функцией вероятности $\displaystyle p(x):$

$\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),$

если $\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.$

Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию $\displaystyle \phi(t)$ :

$\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.$

Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов $\displaystyle M(t),$ то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

$\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.$

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B»

Категория: Теория вероятностей

Просмотры

Личные инструменты

Представиться системе

Поиск

Инструменты