Логранговый критерий
Материал из MachineLearning.
(2 промежуточные версии не показаны) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | '''Логранговый критерий''' (англ. Logrank test) | + | '''Логранговый критерий или логарифмический ранговый критерий''' (англ. Logrank test) - это непараметричесикй критерий, используемый для сравнения двух кривых выживаемости. Критерий часто применяется в медицине и страховании. |
Этот критерий был впервые предложен Натаном Мантелём и был назван "логранк критерием" Ричардом и Джулианом Пето. | Этот критерий был впервые предложен Натаном Мантелём и был назван "логранк критерием" Ричардом и Джулианом Пето. | ||
- | ==Пример | + | ==Примеры задач== |
- | В больнице проводятся испытания нового лекартва. Для этого сравнивают 2 контрольные группы: в первой группе люди принимают новое лекарство, а во второй - плацебо. | + | ===Пример 1=== |
+ | В больнице проводятся испытания нового лекартва. Для этого сравнивают 2 контрольные группы: в первой группе люди принимают новое лекарство, а во второй - плацебо или старое лекарство. Исходом в данном случае является, например, сердечный приступ. Требуется определить, насколько эффективно новое лекарство. | ||
+ | |||
+ | ===Пример 2=== | ||
+ | При лейкозе требуется пересадка костного мозга. Лучшими его донорами являются близкие родственники (аллотрансплантация). Однако не всегда есть у кого взять костный мозг. Тогда используется другой метод: костный мозг берётся у самого больного, очищается и вводится ему после терапии. Этот метод называется аутотрансплантация. Требуется сравнить выживаемость после алло- и аутотрансплонтации. | ||
+ | <ref name="Glanc">{{книга | ||
+ | |автор = Стентон Гланц | ||
+ | |заглавие = Медико-биологическая статистика. Электронная книга | ||
+ | |оригинал = Primer of BIOSTATISTICS | ||
+ | |ссылка = | ||
+ | |издание = 4-е изд | ||
+ | |место = М. | ||
+ | |издательство = Практика | ||
+ | |год = 1999 | ||
+ | |страницы = 459 | ||
+ | }}</ref> | ||
==Описание метода== | ==Описание метода== | ||
- | + | В клинических исследования часто нужно сравнить выживаемость в разных группах пациентов. Для этого можно использовать логранговый критерий. | |
- | + | ||
- | <tex> | + | ===Нулевая гипотеза=== |
+ | [[Нулевая гипотеза|Гипотеза <tex>H_0</tex>]] состоит в том, что выживаемость в группах одинакова и различия случайны, т.е. [[Функция выживаемости|функции выживаемости]] <tex>S_1(t)</tex> и <tex>S_2(t)</tex>, заданные по <tex>\{R_i^1,d_i^1\}</tex> и <tex>\{R_i^2,d_i^2\}</tex> соответственно, неразличимы. | ||
- | <tex>R_i</tex> - число объектов, доживающих до момента времени <tex>t_i</tex>, исключая выбывших | + | <tex>R_i^1</tex> и <tex>R_i^2</tex>- число объектов, доживающих до момента времени <tex>t_i</tex>, исключая выбывших, из первой и второй групп, |
- | <tex>d_i</tex> - число объектов, для которых произошёл исход в момент времени <tex>t_i</tex> | + | <tex>d_i^1</tex> и <tex>d_i^2</tex> - число объектов, для которых произошёл исход в момент времени <tex>t_i</tex> в первой и второй группах. |
- | === | + | ===Дополнительные предположения=== |
- | + | Применение логрангового критерия основано на следующих трех допущениях: | |
+ | * Две сравниваемые выборки независимы и случайны. | ||
+ | * Выбывание в обеих выборках одинаково. | ||
+ | * [[Функция выживаемости|Функции выживаемости]] связаны соотношением: <tex>S_2(t)=(S_1(t))^{\psi}</tex>.Величина <tex>\psi</tex> называется отношением смертности. Если <tex>\psi =1</tex>, то кривые выживаемости совпадают. Если <tex>\psi <1</tex>, люди во второй выборке умирают позже, чем в первой. И наоборот, если <tex>\psi >1</tex>, позже умирают в первой выборке. | ||
- | |||
- | Ожидаемое число исходов в <tex>i</tex>-й момент | + | Ожидаемое число исходов в <tex>i</tex>-й момент для первой выборки вычисляется по формуле: |
- | <tex>E_t^1=\frac{R_i^1}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex> | + | <tex>E_t^1=\frac{R_i^1}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex>, |
+ | |||
+ | где <tex>d_i^1+d_i^2</tex> - общее число исходов в момент времени <tex>t_i</tex> в обеих выборках, | ||
+ | |||
+ | <tex>R_i^1+R_i^2</tex> - число объектов, доживжих до момента времени <tex>t_i</tex>, исключая выбывших, в обеих выборках. | ||
+ | |||
+ | Аналогично вычисляется ожидаемое число исходов в <tex>i</tex>-й момент для второй выборки: | ||
<tex>E_t^2=\frac{R_i^2}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex> | <tex>E_t^2=\frac{R_i^2}{R_i^1+R_i^2}(d_i^1+d_i^2)</tex> | ||
- | <tex>V_i=\frac{R_i^1 R_i^2(d_i^1+d_i^2)(R_i^1+R_i^2-d_i^1-d_i^2)}{(R_i^1+R_i^2)(R_i^1+R_i^2-1)}</tex> | + | А оценка дисперсии в <tex>i</tex>-й момент равна |
+ | |||
+ | <tex>V_i=\frac{R_i^1 R_i^2(d_i^1+d_i^2)(R_i^1+R_i^2-d_i^1-d_i^2)}{(R_i^1+R_i^2)^2 (R_i^1+R_i^2-1)}</tex> | ||
===Статистика критерия=== | ===Статистика критерия=== | ||
- | + | ||
- | <tex>LR=\frac{\max_k(\sum_i d_i^k - \sum_i E_i^k)}{\sum_i V_i}</tex> | + | <tex>LR=\frac{\max_k(\sum_i d_i^k - \sum_i E_i^k)^2}{\sum_i V_i}</tex> |
<tex>LR</tex> распределена приближенно по закону хи-квадрат с одной степенью свободы. | <tex>LR</tex> распределена приближенно по закону хи-квадрат с одной степенью свободы. | ||
- | Если <tex>LR>\chi_{1,\alpha}^2</tex>, то <tex>H_0</tex> отвергается. | + | ===Критерий=== |
+ | Если <tex>LR>\chi_{1,\alpha}^2</tex>, то гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается. | ||
+ | |||
+ | <tex>\chi_{1,\alpha}^2</tex> - <tex>\alpha</tex>-[[Квантиль|квантиль]] распределения хи-квадрат с одной степенью свободы. | ||
+ | |||
+ | ===Статистика критерия (другая форма)=== | ||
+ | Если же представить статистику критерия, как | ||
+ | |||
+ | <tex>Z=\frac{\sum_i(d_i^1-E_i^1)}{\sqr{\sum_i V_i}}</tex>, | ||
+ | |||
+ | то <tex>Z</tex> приблизительно имеет нормальное распределение. Если у двух групп одинаковые функции выживаемости, то статистика критерия <tex>Z</tex> приближённо имеет стандартное нормальное распределение. | ||
+ | |||
+ | ===Критерий=== | ||
+ | И если <tex>Z>\Phi_\alpha</tex>, где <tex>\Phi_\alpha</tex> [[Квантиль|квантиль]] нормального распределения, то [[Нулевая гипотеза| нулевая гипотеза]] отвергается. | ||
+ | |||
+ | Заметим, что совершенно неважно, для какой именно из групп вычисляется числитель статистики <tex>Z</tex>. Для второй группы <tex>Z</tex> равна по абсолютной величине <tex>Z</tex> для первой, но имеет противоположный знак. | ||
+ | |||
+ | |||
== Литература == | == Литература == | ||
- | + | <references/> | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
Текущая версия
Логранговый критерий или логарифмический ранговый критерий (англ. Logrank test) - это непараметричесикй критерий, используемый для сравнения двух кривых выживаемости. Критерий часто применяется в медицине и страховании.
Этот критерий был впервые предложен Натаном Мантелём и был назван "логранк критерием" Ричардом и Джулианом Пето.
Содержание |
Примеры задач
Пример 1
В больнице проводятся испытания нового лекартва. Для этого сравнивают 2 контрольные группы: в первой группе люди принимают новое лекарство, а во второй - плацебо или старое лекарство. Исходом в данном случае является, например, сердечный приступ. Требуется определить, насколько эффективно новое лекарство.
Пример 2
При лейкозе требуется пересадка костного мозга. Лучшими его донорами являются близкие родственники (аллотрансплантация). Однако не всегда есть у кого взять костный мозг. Тогда используется другой метод: костный мозг берётся у самого больного, очищается и вводится ему после терапии. Этот метод называется аутотрансплантация. Требуется сравнить выживаемость после алло- и аутотрансплонтации. [1]
Описание метода
В клинических исследования часто нужно сравнить выживаемость в разных группах пациентов. Для этого можно использовать логранговый критерий.
Нулевая гипотеза
Гипотеза состоит в том, что выживаемость в группах одинакова и различия случайны, т.е. функции выживаемости
и
, заданные по
и
соответственно, неразличимы.
и
- число объектов, доживающих до момента времени
, исключая выбывших, из первой и второй групп,
и
- число объектов, для которых произошёл исход в момент времени
в первой и второй группах.
Дополнительные предположения
Применение логрангового критерия основано на следующих трех допущениях:
- Две сравниваемые выборки независимы и случайны.
- Выбывание в обеих выборках одинаково.
- Функции выживаемости связаны соотношением:
.Величина
называется отношением смертности. Если
, то кривые выживаемости совпадают. Если
, люди во второй выборке умирают позже, чем в первой. И наоборот, если
, позже умирают в первой выборке.
Ожидаемое число исходов в -й момент для первой выборки вычисляется по формуле:
,
где - общее число исходов в момент времени
в обеих выборках,
- число объектов, доживжих до момента времени
, исключая выбывших, в обеих выборках.
Аналогично вычисляется ожидаемое число исходов в -й момент для второй выборки:
А оценка дисперсии в -й момент равна
Статистика критерия
распределена приближенно по закону хи-квадрат с одной степенью свободы.
Критерий
Если , то гипотеза
отвергается.
-
-квантиль распределения хи-квадрат с одной степенью свободы.
Статистика критерия (другая форма)
Если же представить статистику критерия, как
,
то приблизительно имеет нормальное распределение. Если у двух групп одинаковые функции выживаемости, то статистика критерия
приближённо имеет стандартное нормальное распределение.
Критерий
И если , где
квантиль нормального распределения, то нулевая гипотеза отвергается.
Заметим, что совершенно неважно, для какой именно из групп вычисляется числитель статистики . Для второй группы
равна по абсолютной величине
для первой, но имеет противоположный знак.
Литература