Вариация и смещение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(категория)
 
Строка 36: Строка 36:
=== Следствие 2 ===
=== Следствие 2 ===
Если <tex> \mid y''(x) \mid \uparrow \Rightarrow Bias \uparrow</tex>
Если <tex> \mid y''(x) \mid \uparrow \Rightarrow Bias \uparrow</tex>
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Непараметрическая регрессия]]
 +
* [[Ядерное сглаживание]]
 +
 +
[[Категория:Регрессионный анализ]]

Текущая версия

Содержание

Теорема о разложении ошибки на вариацию и смещение

Пусть есть выборка из n k-мерных векторов x^n=(x_1,...x_n). y - отклик, y=(y_1,...,y_n)

\hat y(x) - оценка y по x_i \in x^n, ближайшим к x.

\rho (x,x_i) - метрика, позволяющая сравнить x_i с новым объектом x

Объектам приписаны веса w_i(x)=K(\frac{\rho (x,x_i)}{h}), где K(r) - ядро, а h - ширина окна.

Теорема о разложении ошибки на вариацию и смещение

Для простоты будем считать k=1.

Рассмтаривается модель с фиксированным планом эксперимента, т.е. y_i = y(x_i) + \epsilon_i, \epsilon_i - независимые и одинаково распределенные случайные ошибки, \mathbb{E} \epsilon_i = 0, \mathbb{E} \epsilon_i \epsilon_j = 0, \mathbb{D} \epsilon_i = \sigma^2;

\max_i \mid x_i - x_{i-1} \mid = O(\frac 1n), если x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n;

K(r)=0 при r \notin (-1;1); \int_{-1}^1 K(r)dr = 1; \quad \int_{-1}^1 K^2(r)dr = c_k; \int_{-1}^1 r^2 \ K(r)dr = d_k;

при n \to \infty \ h_n \to 0, \ nh_n \to \infty.

Тогда \mathbb{E} (\hat y_h_n(x) - y(x))^2 \quad \longrightarrow^{n \to \infty}\quad \frac {\sigma^2 c_k}{n \cdot h_n} \ + \ (\frac{h_n^2 \ d_k \ y''(x)}{2})^2.

Здесь \frac {\sigma^2 c_k}{n \cdot h_n} называется вариацией и обозначается Var, а (\frac{h_n^2 \ d_k \ y''(x)}{2})^2 называется смещением и обозначается Bias.

Следствия

Следствие 1

Сущность сглаживания состоит в балансе вариации и смещения.

h\down \Rightarrow Var \uparrow, Bias \down

Следствие 2

Если \mid y''(x) \mid \uparrow \Rightarrow Bias \uparrow

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D1%81%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»
Личные инструменты