Случайная величина
Материал из MachineLearning.
(→Определение) |
(категория) |
||
| (2 промежуточные версии не показаны) | |||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>. | Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>. | ||
| + | |||
| + | ==Свойства== | ||
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число. | Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число. | ||
| Строка 7: | Строка 9: | ||
Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>, | Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>, | ||
которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность <tex>P_X(B)</tex> также обозначают <tex>P(X\in B)</tex>. | которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность <tex>P_X(B)</tex> также обозначают <tex>P(X\in B)</tex>. | ||
| + | |||
| + | Универсальный способ задания распределения случайной величины - через [[функция_распределения|функцию распределения]] <tex>F_X(t)=P(X<t)</tex> | ||
| + | |||
| + | ==Наиболее часто используемые типы случайных величин== | ||
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов. | В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов. | ||
| - | ==Дискретные случайные величины== | + | ===Дискретные случайные величины=== |
| + | |||
| + | '''Дискретная случайная величина''' - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений <tex>\{x_1,x_2,\ldots\}</tex> и их вероятностей <tex>\{p_1,p_2,\ldots\}</tex>, <tex>p_i=P(X=x_i)</tex>, которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: <tex>\sum p_i=1</tex>. | ||
| + | |||
| + | При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле: | ||
| + | |||
| + | <center><tex>P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i</tex>, где <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>.</center> | ||
| + | |||
| + | ===Абсолютно непрерывные случайные величины=== | ||
| + | |||
| + | Если [[функция_распределения|функция распределения]] случайной величины <tex>X</tex> имеет вид: | ||
| + | |||
| + | <center><tex>F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du</tex>, где <tex>p(u)</tex> - интегрируемая неотрицательная функция,</center> | ||
| + | |||
| + | тогда эта случайная величина называется '''абсолютно непрерывной'''. Функция <tex>p(u)</tex> при этом называется '''плотностью распределения'''. Плотность распределения удовлетворяет свойствам: | ||
| + | |||
| + | <center><tex>p(u)\ge 0</tex> и <tex>\int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1</tex>.</center> | ||
| + | |||
| + | И наоборот, любая интегрируемая функция <tex>p(u)</tex>, удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины. | ||
| - | + | Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием: | |
| + | <center><tex>p(t)=F'_X(t)</tex>.</center> | ||
| - | [[Категория: | + | [[Категория:Теория вероятностей]] |
Текущая версия
Содержание |
Определение
Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция
, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу
число
- значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть
-измеримой (где
- борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества
его полный прообраз при отображении
должен быть событием:
.
Свойства
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Случайная величина индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство
с мерой
,
которая называется распределением вероятностей
. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность
также обозначают
.
Универсальный способ задания распределения случайной величины - через функцию распределения
Наиболее часто используемые типы случайных величин
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений и их вероятностей
,
, которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки:
.
При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:
Абсолютно непрерывные случайные величины
Если функция распределения случайной величины имеет вид:
тогда эта случайная величина называется абсолютно непрерывной. Функция при этом называется плотностью распределения. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:
И наоборот, любая интегрируемая функция , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.
Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:
