Обсуждение:Структурные методы анализа изображений и сигналов (курс лекций, А.С. Конушин, Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов, О.В. Баринова, В.С. Конушин, 2009)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(+ небольшая коррекция ответа для Марии Дударенко)
 
(11 промежуточных версий не показаны.)
Строка 37: Строка 37:
:Один из возможных способов решения задачи — вводить функцию Беллмана <tex>V_n(j)</tex> как стоимость оптимальной траектории при условии, что в момент времени <tex>n</tex> мы находимся в состоянии <tex>j</tex>, причем в следующий момент времени произойдет переход в другое состояние. Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — соответственно минимально и максимально допустимая длина одного сегмента. Тогда функция Беллмана <tex>V_n(j)</tex> вычисляется как максимум по моментам времени <tex>k = n-b,\dots,n-a</tex> ситуаций, что в момент времени <tex>k</tex> был переход в состояние <tex>j</tex> и затем в этом состоянии мы находились <tex>n-k</tex> отсчетов. Таким образом, в отличие от классического алгоритма Витерби здесь пересчет идет по моментам смены состояния сигнала. Сложность алгоритма соответственно возрастает в <tex>b-a</tex> раз.
:Один из возможных способов решения задачи — вводить функцию Беллмана <tex>V_n(j)</tex> как стоимость оптимальной траектории при условии, что в момент времени <tex>n</tex> мы находимся в состоянии <tex>j</tex>, причем в следующий момент времени произойдет переход в другое состояние. Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — соответственно минимально и максимально допустимая длина одного сегмента. Тогда функция Беллмана <tex>V_n(j)</tex> вычисляется как максимум по моментам времени <tex>k = n-b,\dots,n-a</tex> ситуаций, что в момент времени <tex>k</tex> был переход в состояние <tex>j</tex> и затем в этом состоянии мы находились <tex>n-k</tex> отсчетов. Таким образом, в отличие от классического алгоритма Витерби здесь пересчет идет по моментам смены состояния сигнала. Сложность алгоритма соответственно возрастает в <tex>b-a</tex> раз.
:[[Участник:Kropotov|Д.А. Кропотов]] 20:53, 13 ноября 2009 (MSK)
:[[Участник:Kropotov|Д.А. Кропотов]] 20:53, 13 ноября 2009 (MSK)
 +
 +
::Спасибо большое за разъяснение!
 +
::[[Участник:Марина|Марина Дударенко]] 20:27, 15 ноября 2009 (MSK) Дударенко Марина
 +
 +
----
 +
 +
Здравствуйте! Не могли бы вы проверить, правильно ли я вывел формулы для M-шага EM-алгоритма в случае авторегрессионной скрытой марковской модели:
 +
 +
<tex>\textstyle\mu_{j^*} = \frac{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*})\(x_i - \sum_{m=1}^Mc_{mj^*}x_{i-m}\)}{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*})}</tex>;
 +
 +
<tex>\textstyle\Sigma = \frac
 +
{\sum_{j=1}^K \sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij})\(x_i - \sum_{m=1}^Mc_{mj}x_{i-m}\)^T\(x_i - \sum_{m=1}^Mc_{mj}x_{i-m}\)}
 +
{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*})}</tex>;
 +
 +
<tex>\textstyle c_{m^*j^*} = \frac
 +
{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij}) x_{i-m^*}^T \left(x_i - \mu_{j^*} - \sum_{m\not=m^*}\left(c_{mj^*}x_{i-m}\right) \right)}
 +
{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*}) x_{i-m^*}^T x_{i-m^*} }</tex>;
 +
 +
[[Участник:Василий Ломакин|Василий Ломакин]] 10:43, 23 ноября 2009 (MSK)
 +
 +
:*Формула для <tex>\mu_j</tex> правильная.
 +
:*Формула для <tex>\Sigma</tex> не совсем правильная. Во-первых, в знаменателе должна стоять еще и сумма по всем <tex>j</tex>. Что такое у вас <tex>j^*</tex> в формуле для <tex>\Sigma</tex> — не совсем понятно. Во-вторых, в числителе должен быть вектор <tex>\mu_j</tex> в мат.ожидании, т.е. компоненты вида <tex>x_i-\mu_j-\sum_{m=1}^Mc_{mj}x_{i-m}</tex>. В-третьих, обычно в векторной нотации вектор — это вектор-столбец, т.е. для получения матрицы должно быть выражение вида <tex>vv^T</tex>. Если у вас под вектором понимается вектор-строка, то формула правильная, если нет, то транспонирование должно быть в другом месте.
 +
:*Формула для <tex>c_{mj}</tex> абсолютно неправильная. Помимо прочего она должна зависеть от матрицы <tex>\Sigma</tex> и не зависеть от остальных компонент <tex>c_{mj}</tex>. Попробуйте еще подумать над формулой для <tex>c_j</tex>. Советую выводить эту формулу сразу для вектора <tex>c_j</tex>, а не для отдельных его компонент. Если не будет получаться, то тогда, что делать, подскажу правильный вариант.
 +
: Крайний срок сдачи второго задания с уменьшением оценки за позднюю сдачу - ближайшее воскресенье, 29 ноября. После этого срока задание принято не будет (соответственно не будет допуска к экзамену). — [[Участник:Kropotov|Д.А. Кропотов]] 19:39, 23 ноября 2009 (MSK)
 +
 +
::Да, прошу прощения, при наборе формулы для ковариационной матрицы я напутал, все ваши замечания правильные.
 +
::Насчёт <tex>c_j</tex> - попробую последовать вашему совету. Эта идея приходила мне в голову, но меня остановило то, что мы не изучали дифференцирование по вектору (по <tex>c_j</tex>).
 +
::Насчёт сдачи задания - я ведь его уже сдал, вы его не получили или пока не проверяли? В readme я указал, что выведенные мной формулы работают только для случая <tex>M</tex> = 1. В общем я разберусь в вопросе и новую версию программы досдам, надо же всё-таки работу до конца довести. Если что-то не получится, подойду к вам в четверг. [[Участник:Василий Ломакин|Василий Ломакин]] 21:47, 23 ноября 2009 (MSK)
 +
:::#Ваше задание не было получено. Из 517 группы задание получено только от Одиноковой Евгении. В системе проверки задания в таблице есть строчка от еще одного представителя 517 группы, но самого архива с работой нет. Возможно, вы что-то не так сделали на этапе загрузки задания на сервер. Попробуйте загрузить свой архив еще раз.
 +
:::#Что касается дифференцирования по вектору, то вам понадобятся только два следующих свойства: <tex>\frac{d}{d\vec{x}}\vec{x}^T\vec{b}=\vec{b}</tex> и <tex>\frac{d}{d\vec{x}}\vec{x}^TA\vec{x}=2A\vec{x}</tex>. Оба этих свойства легко проверяются путем покоординатного дифференцирования.
 +
:::— [[Участник:Kropotov|Д.А. Кропотов]] 22:23, 23 ноября 2009 (MSK)
 +
::::# Очень странно, только что зашёл на сайт и скачал оттуда своё собственное задание. Что я делаю не так? Всё равно загрузить повторно?
 +
::::# Да, спасибо, вывести уже получилось, сейчас проверяю как оно работает...
 +
::::И ещё вопрос - а почему заведомо не работала формула, описанная выше? Я принципиально ошибся при дифференцировании или по какой-то причине всё равно не получится рассчитать <tex>c_{mj}</tex> покоординатно? [[Участник:Василий Ломакин|Василий Ломакин]] 23:36, 23 ноября 2009 (MSK)
 +
:::::Я попробую выяснить у администратора ресурса, с чем могут быть связаны проблемы при загрузке задания. Может быть в системе после того, как задание загружено, нужно нажать на какую-нибудь кнопку «отправить задание на проверку»?
 +
:::::Ваша формула для <tex>c_{mj}</tex> переходит в правильную при <tex>M=1</tex>. Что касается возможности покоординатного вычисления, то при выводе соответствующих формул в какой-то момент должна возникнуть система линейных уравнений. Если СЛАУ записана в векторной форме <tex>A\vec{x}=\vec{b}</tex>, то очень просто записать ответ в явном виде <tex>\vec{x}=A^{-1}\vec{b}</tex>. Кроме того, в том случае, если матрица <tex>A</tex> вдруг окажется вырожденной или плохо обусловленной, то сразу понятно, что делать — находить нормальное псевдорешение по формуле <tex>\vec{x}=(A^TA+\lambda I)^{-1}A^T\vec{b}</tex> для некоторого небольшого <tex>\lambda</tex>. В принципе можно выписать явную формулу и для отдельной компоненты <tex>x_i</tex> по правилу Крамера, но в таком виде формула получится громоздкой и долго вычисляемой на компьютере.
 +
:::::[[Участник:Kropotov|Д.А. Кропотов]] 01:42, 24 ноября 2009 (MSK)
 +
::::::Только что загрузил задание. Нашёл в интерфейсе кнопку "Подтвердить задание", нажал её, может быть это поможет. Хотя помню, что при загрузке задания по удалению шума её не нажимал. Чтобы всё было честно добавил в архив и старый вариант, отправленный неделю назад. Новый отличается модификацией обучения <tex>c</tex> в EM-алгоритме и несколько более читабельным кодом. Алгоритм Витерби и генерация выборки такие же. Судите сами заслуживает ли это штрафа и в каком объёме :) Спасибо! [[Участник:Василий Ломакин|Василий Ломакин]] 14:27, 24 ноября 2009 (MSK)
 +
 +
::::::И ещё вопрос вдогонку - а где лучше почитать про дифференцирование по вектору, по матрице и т.п.?
 +
:::::::Да, теперь задание получено.
 +
:::::::Про дифференцирование по векторам и матрицам вкратце написано в приложении C книги Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006. Кроме того, многие модели в этой книги выводятся с использованием матричной нотации.
 +
:::::::[[Участник:Kropotov|Д.А. Кропотов]] 22:00, 24 ноября 2009 (MSK)

Текущая версия

Добрый день! Возник вопрос по поводу задания 3. Нашёл следующие непонятные для себя моменты:

  • «где c_{0,j},\ldots,c_{M,j} — коэффициенты авторегрессии, которые зависят от состояния СММ.» Т.е коэффициентов М+1 штука. В то же время в описании функций сказано: «C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;» Не ясно, где ошибка - M или М+1.
  • \mu_{n,j}=c_{0,j}+\sum_{m=1}^Mc_{m,j}x_{n-m}, где c_{0,j} - число, c_{m,j}x_{n-m} - вектор, получается сложение вектора с числом. Хотя если смотреть с точки зрения матлаба, вопрос отпадает :)
  • В описании функций указано «Mu — константы в центрах гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор для соответствующего состояния; ». Но по формуле Mu на каждом шаге генерится только с помощью авторегрессии. Для чего тогда передавать этот параметр?

Василий Ломакин 20:14, 1 ноября 2009 (MSK)

Василий, здравствуйте. По сути, в Вашем вопросе уже содержатся ответы:
  • Матрица C\in\mathbb{R}^{K\times M;
  • В качестве величины c_{0,j} используйте d-мерный вектор Mu_j из спецификации СММ;
  • Коэффициенты авторегрессии c_{m,j} считаем общими для всех размерностей вектора x_n. Таким образом, :получаем линейную комбинацию векторов и никаких некорректностей не возникает.
Желаю Удачи.
--Д.П. Ветров 16:15, 2 ноября 2009 (MSK)
Я так и подумал (собственно так уже и реализовал), но на всякий случай решил уточнить. Спасибо за интересное задание!
Василий Ломакин 08:41, 3 ноября 2009 (MSK)

Здравствуйте! Появился вопрос по поводу 1 варианта 2 задания.

При реализации функции HMM_TEST нужно хранить величину lj (сколько моментов времени мы находимся в данном состоянии) для каждого t(n,j). Как рассчитывать эту величину, если мы не знаем ни того состояния, в котором находимся в начальный момент времени, ни того состояния, куда переходим? Или нужно делать полный перебор для состояния t(n-1,i) по состояниям t(n,j), то есть из каждого состояния можем попасть в одно из К?

Надеюсь на Ваши разъяснения! Извините за корявый вопрос, лучше сформулировать не удалось.

Марина Дударенко 14:30, 13 ноября 2009 (MSK)

Один из возможных способов решения задачи — вводить функцию Беллмана V_n(j) как стоимость оптимальной траектории при условии, что в момент времени n мы находимся в состоянии j, причем в следующий момент времени произойдет переход в другое состояние. Пусть a и b — соответственно минимально и максимально допустимая длина одного сегмента. Тогда функция Беллмана V_n(j) вычисляется как максимум по моментам времени k = n-b,\dots,n-a ситуаций, что в момент времени k был переход в состояние j и затем в этом состоянии мы находились n-k отсчетов. Таким образом, в отличие от классического алгоритма Витерби здесь пересчет идет по моментам смены состояния сигнала. Сложность алгоритма соответственно возрастает в b-a раз.
Д.А. Кропотов 20:53, 13 ноября 2009 (MSK)
Спасибо большое за разъяснение!
Марина Дударенко 20:27, 15 ноября 2009 (MSK) Дударенко Марина

Здравствуйте! Не могли бы вы проверить, правильно ли я вывел формулы для M-шага EM-алгоритма в случае авторегрессионной скрытой марковской модели:

\textstyle\mu_{j^*} = \frac{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*})\(x_i - \sum_{m=1}^Mc_{mj^*}x_{i-m}\)}{\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*})};

\textstyle\Sigma = \frac {\sum_{j=1}^K \sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij})\(x_i - \sum_{m=1}^Mc_{mj}x_{i-m}\)^T\(x_i - \sum_{m=1}^Mc_{mj}x_{i-m}\)} {\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*})};

\textstyle c_{m^*j^*} = \frac {\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij}) x_{i-m^*}^T \left(x_i - \mu_{j^*} - \sum_{m\not=m^*}\left(c_{mj^*}x_{i-m}\right) \right)} {\sum_{i=1}^N \gamma(t_{ij^*}) x_{i-m^*}^T x_{i-m^*} };

Василий Ломакин 10:43, 23 ноября 2009 (MSK)

  • Формула для \mu_j правильная.
  • Формула для \Sigma не совсем правильная. Во-первых, в знаменателе должна стоять еще и сумма по всем j. Что такое у вас j^* в формуле для \Sigma — не совсем понятно. Во-вторых, в числителе должен быть вектор \mu_j в мат.ожидании, т.е. компоненты вида x_i-\mu_j-\sum_{m=1}^Mc_{mj}x_{i-m}. В-третьих, обычно в векторной нотации вектор — это вектор-столбец, т.е. для получения матрицы должно быть выражение вида vv^T. Если у вас под вектором понимается вектор-строка, то формула правильная, если нет, то транспонирование должно быть в другом месте.
  • Формула для c_{mj} абсолютно неправильная. Помимо прочего она должна зависеть от матрицы \Sigma и не зависеть от остальных компонент c_{mj}. Попробуйте еще подумать над формулой для c_j. Советую выводить эту формулу сразу для вектора c_j, а не для отдельных его компонент. Если не будет получаться, то тогда, что делать, подскажу правильный вариант.
Крайний срок сдачи второго задания с уменьшением оценки за позднюю сдачу - ближайшее воскресенье, 29 ноября. После этого срока задание принято не будет (соответственно не будет допуска к экзамену). — Д.А. Кропотов 19:39, 23 ноября 2009 (MSK)
Да, прошу прощения, при наборе формулы для ковариационной матрицы я напутал, все ваши замечания правильные.
Насчёт c_j - попробую последовать вашему совету. Эта идея приходила мне в голову, но меня остановило то, что мы не изучали дифференцирование по вектору (по c_j).
Насчёт сдачи задания - я ведь его уже сдал, вы его не получили или пока не проверяли? В readme я указал, что выведенные мной формулы работают только для случая M = 1. В общем я разберусь в вопросе и новую версию программы досдам, надо же всё-таки работу до конца довести. Если что-то не получится, подойду к вам в четверг. Василий Ломакин 21:47, 23 ноября 2009 (MSK)
  1. Ваше задание не было получено. Из 517 группы задание получено только от Одиноковой Евгении. В системе проверки задания в таблице есть строчка от еще одного представителя 517 группы, но самого архива с работой нет. Возможно, вы что-то не так сделали на этапе загрузки задания на сервер. Попробуйте загрузить свой архив еще раз.
  2. Что касается дифференцирования по вектору, то вам понадобятся только два следующих свойства: \frac{d}{d\vec{x}}\vec{x}^T\vec{b}=\vec{b} и \frac{d}{d\vec{x}}\vec{x}^TA\vec{x}=2A\vec{x}. Оба этих свойства легко проверяются путем покоординатного дифференцирования.
— Д.А. Кропотов 22:23, 23 ноября 2009 (MSK)
  1. Очень странно, только что зашёл на сайт и скачал оттуда своё собственное задание. Что я делаю не так? Всё равно загрузить повторно?
  2. Да, спасибо, вывести уже получилось, сейчас проверяю как оно работает...
И ещё вопрос - а почему заведомо не работала формула, описанная выше? Я принципиально ошибся при дифференцировании или по какой-то причине всё равно не получится рассчитать c_{mj} покоординатно? Василий Ломакин 23:36, 23 ноября 2009 (MSK)
Я попробую выяснить у администратора ресурса, с чем могут быть связаны проблемы при загрузке задания. Может быть в системе после того, как задание загружено, нужно нажать на какую-нибудь кнопку «отправить задание на проверку»?
Ваша формула для c_{mj} переходит в правильную при M=1. Что касается возможности покоординатного вычисления, то при выводе соответствующих формул в какой-то момент должна возникнуть система линейных уравнений. Если СЛАУ записана в векторной форме A\vec{x}=\vec{b}, то очень просто записать ответ в явном виде \vec{x}=A^{-1}\vec{b}. Кроме того, в том случае, если матрица A вдруг окажется вырожденной или плохо обусловленной, то сразу понятно, что делать — находить нормальное псевдорешение по формуле \vec{x}=(A^TA+\lambda I)^{-1}A^T\vec{b} для некоторого небольшого \lambda. В принципе можно выписать явную формулу и для отдельной компоненты x_i по правилу Крамера, но в таком виде формула получится громоздкой и долго вычисляемой на компьютере.
Д.А. Кропотов 01:42, 24 ноября 2009 (MSK)
Только что загрузил задание. Нашёл в интерфейсе кнопку "Подтвердить задание", нажал её, может быть это поможет. Хотя помню, что при загрузке задания по удалению шума её не нажимал. Чтобы всё было честно добавил в архив и старый вариант, отправленный неделю назад. Новый отличается модификацией обучения c в EM-алгоритме и несколько более читабельным кодом. Алгоритм Витерби и генерация выборки такие же. Судите сами заслуживает ли это штрафа и в каком объёме :) Спасибо! Василий Ломакин 14:27, 24 ноября 2009 (MSK)
И ещё вопрос вдогонку - а где лучше почитать про дифференцирование по вектору, по матрице и т.п.?
Да, теперь задание получено.
Про дифференцирование по векторам и матрицам вкратце написано в приложении C книги Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006. Кроме того, многие модели в этой книги выводятся с использованием матричной нотации.
Д.А. Кропотов 22:00, 24 ноября 2009 (MSK)
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%90.%D0%A1._%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%83%D1%88%D0%B8%D0%BD%2C_%D0%94.%D0%9F._%D0%92%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%2C_%D0%94.%D0%90._%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B2%2C_%D0%9E.%D0%92._%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%2C_%D0%92.%D0%A1._%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%83%D1%88%D0%B8%D0%BD%2C_2009%29»
Личные инструменты