Распределение Стьюдента

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

**Распределение Стьюдента**
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$n > 0\!$ - число степеней свободы
Носитель	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{\Gamma((n+1)/2)} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)\,(1+x^2/n)^{(n+1)/2}}\!$
Функция распределения	$\frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (n+1)/2 \right)}{\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)}$ $\frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(n+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)}$ где $\,_2F_1$ - гипергеометрическая функция
Математическое ожидание	$0$
Медиана	$0$
Мода	$0$
Дисперсия	$\frac{n}{n-2}\!$ если $n>2$
Коэффициент асимметрии	$0$ если $n>3$
Коэффициент эксцесса	$\frac{3n - 6}{n-4}\!$ где $n>4$
Информационная энтропия	$\frac{n+1}{2}\left[\psi(\frac{1+n}{2})- \psi(\frac{n}{2})\right] + \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}$ $\psi = \Gamma' / \Gamma$ , $B$ : бета-функция
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть $Y_0,Y_1,\ldots, Y_n$ — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что $Y_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,\ldots, n$ . Тогда распределение случайной величины $t$ , где

$t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}}$

называется распределением Стьюдента с $n$ степенями свободы. Пишут $t \sim \mathrm{t}(n)$ . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

$f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi n} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}$ ,

где $\Gamma$ — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента симметрично. В частности если $t \sim \mathrm{t}(n)$ , то

$-t \sim \mathrm{t}(n)$ .

Моменты

Случайная величина $t \sim \mathrm{t}(n)$ имеет только моменты порядков $k < n$ , причём

$\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0$ , если $k$ нечётно;

$\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})n^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}$ , если $k$ чётно.

В частности,

$\mathbb{E}[t] = 0$ ,

$\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}$ , если $n > 2$ .

Моменты порядков $k \ge n$ не определены.

Связь с другими распределениями

Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

$\mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1)$ .

Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при $n \to \infty$ . Пусть дана последовательность случайных величин $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ , где $t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}$ . Тогда

$t_n \to \mathrm{N}(0,1)$ по распределению при $n \to \infty$ .

Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть $t \sim \mathrm{t}(n)$ . Тогда

$t^2 \sim \mathrm{F}(0,n)$ .

Представление распределения Стьюдента в виде бесконечной смеси Гауссиан:

Пусть $x \sim \mathrm{t}(x | n, \mu, \sigma^2) = \frac{\sigma\,\Gamma(\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{-\frac{n + 1}{2}} \propto (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{-\frac{n + 1}{2}}$ . Тогда:

$x \sim t(x | n, \mu, \sigma^2) = \int\limits_{0}^{+\infty} \mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})\mathrm{G}(\lambda | \frac{n}{2}, \frac{n}{2}) \:\textrm{d}\lambda$ , где $\mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})$ - плотность нормального распределения, $\mathrm{G}(\lambda \mid \frac{n}{2}, \frac{n}{2})$ - плотность гамма распределения

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть $X_1,\ldots, X_n$ независимые случайные величины, такие что $X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n$ . Обозначим $\bar{X}$ выборочное среднее этой выборки, а $S^2$ выборочную оценку её дисперсии. Тогда

$\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)$ .

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0»

Категория: Вероятностные распределения

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
   name       =Распределение Стьюдента|
   type       =Плотность|
-  pdf_image  =[[Файл:Student densite best.JPG|325px]]|
+  pdf_image  =[[Изображение:Student_densite_best.jpg|325px]]|
-  cdf_image  =[[Файл:T distributionCDF.png|325px]]|
+  cdf_image  =[[Изображение:T_distributionCDF.png|325px]]|
   parameters =<tex>n > 0\!</tex> - число степеней свободы |
   support    =<tex>x \in (-\infty; +\infty)\!</tex>|
@@ Строка 14: / Строка 14: @@
   skewness   =<tex>0</tex> если <tex>n>3</tex>|
   kurtosis   =<tex>\frac{3n - 6}{n-4}\!</tex> где <tex>n>4</tex>|
-  entropy    =<tex>\begin{matrix}
+  entropy    =<tex>\frac{n+1}{2}\left[\psi(\frac{1+n}{2})- \psi(\frac{n}{2})\right] + \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}</tex>
-         \frac{n+1}{2}\left[
-             \psi(\frac{1+n}{2})
-               - \psi(\frac{n}{2})
-         \right] \\[0.5em]
-+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]}
-\end{matrix}</tex>
 * <tex>\psi = \Gamma' / \Gamma</tex>,
 * <tex>B</tex>: [[бета-функция]]|
@@ Строка 63: / Строка 57: @@
 * Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет [[распределение Фишера]]. Пусть <tex>t \sim \mathrm{t}(n)</tex>. Тогда
 : <tex>t^2 \sim \mathrm{F}(0,n)</tex>.
+* Представление распределения Стьюдента в виде бесконечной смеси Гауссиан:
+: Пусть <tex>x \sim \mathrm{t}(x | n, \mu, \sigma^2) = \frac{\sigma\,\Gamma(\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}{2})} (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{-\frac{n + 1}{2}} \propto (1 + \frac{1}{n} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 )^{-\frac{n + 1}{2}}</tex>. Тогда:
+: <tex>x \sim t(x | n, \mu, \sigma^2) = \int\limits_{0}^{+\infty} \mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})\mathrm{G}(\lambda | \frac{n}{2}, \frac{n}{2}) \:\textrm{d}\lambda</tex>, где <tex>\mathrm{N}(x | \mu, \frac{\sigma^2}{\lambda})</tex> - плотность [[Нормальное распределение|нормального распределения]], <tex>\mathrm{G}(\lambda \mid \frac{n}{2}, \frac{n}{2})</tex> - плотность [[Гамма распределение|гамма распределения]]
 == Применение распределения Стьюдента ==
-Распределение Стьюдента используется в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] статистической [[Выборка|выборки]] из нормального распределения. В частности, пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> независимые случайные величины, такие что <tex>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</tex>. Обозначим <tex>\bar{X}</tex> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <tex>S^2</tex> её [[Выборочная дисперсия|выборочную дисперсию]]. Тогда
+Распределение Стьюдента используется в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] статистической [[Выборка|выборки]] из нормального распределения. В частности, пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> независимые случайные величины, такие что <tex>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</tex>. Обозначим <tex>\bar{X}</tex> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <tex>S^2</tex> выборочную оценку её [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]]. Тогда
 : <tex>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</tex>.
 [[Категория:Вероятностные распределения]]

Распределение Стьюдента

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Определение

Свойства распределения Стьюдента

Моменты

Связь с другими распределениями

Применение распределения Стьюдента

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты