|
|
| (65 промежуточных версий не показаны.) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | ====Статьи о группах методов или критериев====
| + | == Двухфакторная непараметрическая модель == |
| - | {{well|'''Некоторые рекомендации'''
| + | |
| - | | + | |
| - | # Эти статьи не содержат описаний методов, но в них должны перечисляться ссылки на большое число методов или критериев, объединённых под данным общим названием.
| + | |
| - | # Должно даваться общее определение из классических источников (например, из энциклопедии теории вероятностей и математической статистики).
| + | |
| - | # Желательны примеры задач.
| + | |
| - | # Желательно указывать, чем отличаются различные критерии и методы в данной группе друг от друга, какие есть рекомендации по выбору одного из этих методов.
| + | |
| - | # Любые сообщаемые факты должны сопровождаться ссылками на источник.
| + | |
| - | # Помните, что предоставляемая информация должна быть полезна специалистам при решении практических задач.
| + | |
| - | # Собрать грамотную подборку ссылок (вместо тупого копирования их содержимого) с вашими лаконичными комментариями — это уже очень полезно!
| + | |
| - | | + | |
| - | — ''[[Участник:Vokov|К.В.Воронцов]] 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)''
| + | |
| - | }}
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | Ссылки на источники обязательны. Если Вы упоминаете другие понятия прикладной статистики (в том числе названия статистических критериев), оформляйте их как ссылки на страницы внутри Ресурса. В конце каждой статьи не забывайте про разделы ==Литература== (для книг), ==Ссылки== (для ссылок на внешние URL), ==См. также== (для ссылок на страницы внутри Ресурса).
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Двухфакторная непараметрическая модель.== | + | |
| - | новая статья
| + | |
| | | | |
| | * [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов. | | * [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов. |
| | | | |
| | + | '''Данные.''' |
| | | | |
| - | Назначение. В том случае, когда закон
| + | В каждом из <tex>n</tex> блоков содержится по одному наблюдению <tex>x_{ij}</tex> |
| - | распределения не является нормальным,
| + | на каждуб из <tex>k</tex> обработок. Будем считать наблюдения реализацией случайных велечин |
| - | используется непараметрический
| + | <tex>X_{ij}</tex> в модели |
| - | дисперсионный анализ Фридмана.
| + | |
| - | Нулевая гипотеза. Средние значения всех
| + | |
| - | выборок равны.
| + | |
| - | Предпосылки
| + | |
| - | • Все случайные величины взаимно
| + | |
| - | независимы.
| + | |
| - | • Данные каждой выборки распределены по
| + | |
| - | одному закону распределения. Обратите | + | |
| - | внимание: закон распределения каждой
| + | |
| - | выборки может отличаться от закона
| + | |
| - | распределения других.
| + | |
| - | Описание метода
| + | |
| - | Исходные данные представляются в
| + | |
| - | следующем виде (табл. 4.17).
| + | |
| | | | |
| - | Таблица 4.17
| + | <tex>X_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}</tex>, |
| - | Общий вид исходных данных для однофакторного
| + | где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>. |
| - | дисперсионного анализа
| + | |
| - | Номера элементов совокупностей
| + | |
| - | Номера совокупностей
| + | |
| - | 1
| + | |
| - | 2
| + | |
| - | 1
| + | |
| - | m
| + | |
| - | 1 I2I...I i |...|n
| + | |
| - | Х11
| + | |
| - | Х21
| + | |
| - | Xii
| + | |
| - | Xml
| + | |
| - | X12
| + | |
| - | X22
| + | |
| - | Xi2
| + | |
| - | Xm2
| + | |
| - | Xij
| + | |
| - | X2,
| + | |
| - | x„
| + | |
| - | Xm)
| + | |
| - | Xin
| + | |
| - | X2n
| + | |
| - | Xjn
| + | |
| - | Xmn
| + | |
| - | Для этого в каждом столбце значения X
| + | |
| - | заменяют их рангами (другими словами,
| + | |
| - | вместо значений переменных ставится их
| + | |
| - | номер в ряду, упорядоченном по возрастанию).
| + | |
| - | Затем рассчитывается значение критерия:
| + | |
| - | тп
| + | |
| - | {п -н 1) | + | |
| - | Зт{п -¥ 1) >
| + | |
| - | (4.19)
| + | |
| - | где Ri, | + | |
| - | соответствующие значения рангов.
| + | |
| - | Если расчетное значение х^ будет больше
| + | |
| - | критического, взятого с заданным уровнем
| + | |
| - | значимости и (п - 1) степенью свободы,
| + | |
| - | гипотеза о различии между партиями принимается.
| + | |
| - | При расчетах можно проверить
| + | |
| - | правильность расстановки рангов и расчетов, зная,
| + | |
| - | что имеет место соотношение:
| + | |
| - | пт
| + | |
| - | (т + 1)
| + | |
| - | i:i:R,i = '^"^''y ''' (4-20) | + | |
| - | i=1j=1 ^
| + | |
| - | Примечание. При малых значениях тип
| + | |
| - | критерий х^ дает слишком грубое
| + | |
| - | приближение, и при этом возможно принятие
| + | |
| - | неправильного решения. Поэтому критерий х^
| + | |
| - | применяется в том случае, когда
| + | |
| - | выполняются следующие условия: т = 3 и п > 9
| + | |
| - | или m = 4 и п > 4 или т > 4,п>9 (см. [4]).
| + | |
| | | | |
| - | ==Литература==
| + | Здесь <tex>\mu</tex> - неизвестное общее среднее, |
| - | (для книг) | + | <tex>\alpha_i</tex> - эффект блока <tex>i</tex> (неизвестный мешающий параметр), |
| | + | <tex>\beta_j</tex> - эффект блока <tex>j</tex> (интересующий нас параметр), |
| | + | <tex>\epsilon_{ij}</tex> - случайная ошибка |
| | + | <tex>j</tex> |
| | | | |
| - | ==Ссылки==
| + | '''Допущения.''' |
| - | (для ссылок на внешние URL)
| + | |
| | | | |
| - | ==См. также==
| + | '''1.''' Все ошибки <tex>\epsilon_{ij}</tex> независимы. |
| - | (для ссылок на страницы внутри Ресурса).
| + | |
| | | | |
| - | [[Категория:Прикладная статистика]]
| + | '''2.''' Все <tex>\epsilon_{ij}</tex> имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение. |
| - | [[Категория:Дисперсионный анализ]]
| + | |
| | | | |
| - | ==Дисперсионный анализ== | + | ==Критерий Фридмана== |
| - | общие определения, примеры задач и перечень методов (в виде списка ссылок)
| + | |
| | | | |
| - | {{TOCright}}
| + | Для проверки гипотезы |
| | | | |
| - | '''Дисперсионный анализ''' (от латинского Dispersio – рассеивание / Analysis Of Variance - ANOVA) применяется для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных (факторов) на одну зависимую количественную переменную ([[регрессионный анализ|отклик]]).
| + | <tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex> |
| | | | |
| - | В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные): <tex>f_1,...,f_k</tex>, а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.
| + | против альтернативы |
| | | | |
| - | Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компоненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F — критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов.
| + | <tex> H_1 </tex>: не все <tex> \beta_j </tex> равны между собой |
| | | | |
| - | Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок: tex>x_1,...,x_n</tex>, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых факторов дисперсионный анализ может быть '''однофакторным''' (при этом изучается влияние одного фактора на результаты эксперимента), '''двухфакторным''' (при изучении влияния двух факторов) и '''многофакторным''' (позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие).
| + | применяется [[Критерий Фридмана]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 155; Лагутин М. Б., 260] |
| | | | |
| - | Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным. (Суходольский Г.В., 1972; Шеффе Г., 1980).
| + | ===Пример=== |
| | + | Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются? |
| | | | |
| - | Дисперсионный анализ используют, если
| + | ==Критерий Пейджа== |
| - | зависимая переменная измеряется в шкале
| + | |
| - | отношений, интервалов или порядка, а
| + | |
| - | влияющие переменные имеют нечисловую
| + | |
| - | природу (шкала наименований).
| + | |
| | | | |
| - | ==Цель дисперсионного анализа==
| + | Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой ''упорядоченности'' (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок). |
| | | | |
| - | Основной целью '''дисперсионного анализа''' (ANOVA) является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения (анализа) дисперсий. Разделение общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупповой изменчивостью. При истинности [[Нулевая гипотеза| нулевой гипотезы]] (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. Если вы просто сравниваете средние в двух [[выборка]]х, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный [[Критерий Стьюдента|t-критерий]] для независимых [[выборка|выборок]] (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или [[Критерий Стьюдента|t-критерий]] для зависимых [[выборка|выборок]] (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений).
| + | Для проверки гипотезы |
| | | | |
| - | ==Модель дисперсионного анализа== | + | <tex> H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k </tex> |
| | | | |
| - | ==Примеры задач==
| + | против альтернативы возрастания эффектов обработок |
| - | В задачах, которые решаются
| + | |
| - | дисперсионным анализом, присутствует отклик
| + | |
| - | числовой природы, на который воздействует
| + | |
| - | несколько переменных, имеюш;их
| + | |
| - | номинальную природу. Например, несколько видов
| + | |
| - | рационов откорма скота или два способа их
| + | |
| - | содержания и т.п.
| + | |
| | | | |
| - | Например, в течение недели в трех разных
| + | <tex> H_2: \beta_1 \leq \dots \leq \beta_k </tex>, |
| - | местах работало несколько аптечных
| + | |
| - | киосков. В дальнейшем мы можем оставить
| + | |
| - | только один. Необходимо определить,
| + | |
| - | существует ли статистически значимое отличие
| + | |
| - | между объемами реализации препаратов в
| + | |
| - | киосках. Если да, мы выберем киоск с
| + | |
| - | наибольшим среднесуточным объемом
| + | |
| - | реализации. Если же разница объема реализации
| + | |
| - | окажется статистически незначимой, то
| + | |
| - | основанием для выбора киоска должны быть
| + | |
| - | другие показатели. Исходные данные для
| + | |
| - | анализа приведены в табл. 7.2 (подробно
| + | |
| - | метод описан в 4.3.1).
| + | |
| | | | |
| - | ==Перечень методов==
| + | где хотя бы одно из неравенств строгое, |
| | | | |
| - | Разбиение суммы квадратов
| + | выполняется [[Критерий Пейджа|статистика критерия Пейджа]] [Холлендер М., Вульф Д.А., 163; Лагутин М. Б., 263] |
| - | Многофакторный дисперсионный анализ
| + | |
| - | Эффекты взаимодействия
| + | |
| - | Также смотрите разделы.
| + | |
| - | Сложные планы
| + | |
| - | Ковариационный анализ (ANCOVA)
| + | |
| - | Многомерные планы: многомерный дисперсионный и ковариационный анализ
| + | |
| - | Анализ контрастов и апостериорные критерии
| + | |
| - | Предположения и эффекты их нарушения
| + | |
| | | | |
| - | См. также Методы дисперсионного анализа, Компоненты дисперсии и смешанная модель ANOVA/ANCOVA, а также Планироване эксперимента.
| + | ===Пример=== |
| | + | '''Прочность волокон хлопка.''' |
| | | | |
| | + | Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам. |
| | + | С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения. |
| | | | |
| - | Дисперсионный анализ (ANOVA) [Лапач, 193, Кулаичев, 170]. Модели факторного эксперимента. Примеры: факторы, влияющие на успешность решения математических задач; факторы, влияющие на объёмы продаж. Однофакторная параметрическая модель: метод Шефе. Однофакторная непараметрическая модель: критерии Краскела-Уоллиса, Джонкхиера. Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена. Двухфакторная непараметрическая модель: критерии Фридмана [Лапач, 203], Пейджа. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов. Двухфакторный нормальный анализ. Задача ковариационного анализа.
| |
| | | | |
| | | | |
| - | Дисперсионный анализ (ANOVA)
| |
| - | [Лапач, 193, Кулаичев, 170].
| |
| - | * Модели факторного эксперимента. Примеры: факторы, влияющие на успешность решения математических задач; факторы, влияющие на объёмы продаж.
| |
| - | * [[Однофакторная параметрическая модель]]: метод Шеффе.
| |
| - | * [[Однофакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Краскела-Уоллиса]], [[критерий Джонкхиера]].
| |
| - | * Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена.
| |
| - | * [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.
| |
| - | * [[Двухфакторный нормальный анализ]].
| |
| - | * [[Ковариационный анализ]] (постановка задачи).
| |
| | | | |
| - | ==История==
| |
| - |
| |
| - | Откуда произошло название '''Дисперсионный анализ'''? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп, мы на самом деле сравниваем (анализируем) выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ.
| |
| - | Первоначально дисперсионный анализ был разработан для обработки данных, полученных в ходе специально поставленных экспериментов, и считался единственным методом, корректно исследующим причинные связи. Метод применялся для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.
| |
| | | | |
| | ==Литература== | | ==Литература== |
| - | (для книг)
| + | |
| | # ''Шеффе Г.'' Дисперсионный анализ. — М., 1980. | | # ''Шеффе Г.'' Дисперсионный анализ. — М., 1980. |
| | + | # ''Аренс Х.'' ''Лёйтер Ю.'' Многомерный дисперсионный анализ. |
| | + | # ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. |
| | + | # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. |
| | + | # ''Холлендер М., Вульф Д.А.'' Непараметрические методы статистики. |
| | | | |
| - | ==Ссылки==
| |
| - | (для ссылок на внешние URL)
| |
| | == Ссылки == | | == Ссылки == |
| - | * [http://www.statsoft.ru/home/textbook/modules/stanman.html Дисперсионный анализ] — Электронный учебник StatSoft.
| + | |
| - | * [http://www.tspu.tula.ru/res/math/mop/lections/lection_7.htm#_Toc73845987 Дисперсионный анализ] - Аналитическая статистика. | + | * [http://www.tspu.tula.ru/res/math/mop/lections/lection_7.htm#_Toc73845987 Дисперсионный анализ для связанных выборок] - Аналитическая статистика. |
| - | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test Student's t-test] (Wikipedia). | + | * [http://lib.socio.msu.ru/l/library?e=d-000-00---001ucheb--00-0-0-0prompt-10---4------0-1l--1-ru-50---20-about---00031-001-1-0windowsZz-1251-00&a=d&cl=CL1&d=HASHe10c3b36c7d751dd18704b.11 Многофакторный дисперсионный анализ] - Электронная библиотека. |
| - | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 t-критерий Стьюдента] (Википедия).
| + | |
| - | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 Распределение Стьюдента] (Википедия).
| + | |
| - | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 Квантили распределения Стьюдента] (Википедия).
| + | |
| | | | |
| | ==См. также== | | ==См. также== |
| - | (для ссылок на страницы внутри Ресурса).
| + | |
| - | * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез. | + | * [[Однофакторная параметрическая модель]] |
| - | * [[Статистика (функция выборки)]] | + | * [[Однофакторная непараметрическая модель]] |
| | + | * [[Дисперсионный анализ]] |
| | | | |
| | [[Категория:Прикладная статистика]] | | [[Категория:Прикладная статистика]] |
| | [[Категория:Дисперсионный анализ]] | | [[Категория:Дисперсионный анализ]] |
Д. Хебб и К.Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта для сравнительной оценки "сообразительности" животных. Он состоит из 12 заданий. Есть данные средних чисел ошибок при выполнении этих заданий крысами, кроликами и кошками. Есть ли животные, которые значимо различаются?
Нередко условия эксперимента таковы, что обработки упорядочены естественным образом, например, по интенсивности стимулов, сложности заданий и т.п. Критерий Пейджа учитывает информацию, содержащуюся в предпологаемой упорядоченности (в отличие от критерия Фридмана, статистика которого принимает одно и то же значение для всех перенумераций обработок).
Проведен опыт, в котором изучалось влияние колличества калорий удобрения, вносимого в почву, на разрывную прочность волокон хлопка. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на котором 4 измерительных показателя прочности по Прессли. Даны данные по этим четырем замерам.
С помощью критерия Пейджа проверить гипотезу об отсутствии влияния количества удобрения на прочность нити, против альтернативы убывания прочности с ростом количества удобрения.
