Формула Надарая-Ватсона

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
{{Задание|Kolesnikov||8 января 2009}}
{{Задание|Kolesnikov||8 января 2009}}
-
'''Формула Надарая-Ватсона''' используется для решения задачи непараметрического [[восстановления регрессии]].
+
'''Формула Надарая-Ватсона''' используется для решения задачи непараметрического [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 восстановления регрессии].
== Постановка задачи ==
== Постановка задачи ==
Пусть задано пространство объектов <tex>X</tex> и множество возможных ответов <tex>Y = \mathbb{R}</tex>. Существует неизвестная зависимость <tex>$y^*:X \rightarrow Y$</tex>, значения которой известны только на объектах обучающией выборки <tex>$ X^l = (x_i\ ,\ y_i)^l_{i=1},\ y_i = y^*(x_i) $</tex>. Требуется построить [[алгоритм]] <tex>a:\ X\rightarrow Y</tex>, аппроксимирующий неизвестную зависимость <tex>$y^*$</tex>. Предполагается, что на множестве <tex>X</tex> задана [[метрика]] <tex>\rho(x,x^')</tex>.
Пусть задано пространство объектов <tex>X</tex> и множество возможных ответов <tex>Y = \mathbb{R}</tex>. Существует неизвестная зависимость <tex>$y^*:X \rightarrow Y$</tex>, значения которой известны только на объектах обучающией выборки <tex>$ X^l = (x_i\ ,\ y_i)^l_{i=1},\ y_i = y^*(x_i) $</tex>. Требуется построить [[алгоритм]] <tex>a:\ X\rightarrow Y</tex>, аппроксимирующий неизвестную зависимость <tex>$y^*$</tex>. Предполагается, что на множестве <tex>X</tex> задана [[метрика]] <tex>\rho(x,x^')</tex>.
==Формула Надарая-Ватсона==
==Формула Надарая-Ватсона==
-
Для вычисления <tex>$a(x) = \alpha$</tex> при <tex>$ \forall x \in X$</tex>, воспользуемся [[методом наименьших квадратов]]: <br />
+
Для вычисления <tex>$a(x) = \alpha$</tex> при <tex>$ \forall x \in X$</tex>, воспользуемся [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2 методом наименьших квадратов]: <br />
<tex>Q(\alpha;X^l) = \sum_{i=1}^l \omega_i(x)(\alpha-y_i)^2 \rightarrow \underset{\alpha \in \mathbb{R}}{min}</tex>, где <tex>\omega_i</tex> - это вес i-ого объекта. <br />
<tex>Q(\alpha;X^l) = \sum_{i=1}^l \omega_i(x)(\alpha-y_i)^2 \rightarrow \underset{\alpha \in \mathbb{R}}{min}</tex>, где <tex>\omega_i</tex> - это вес i-ого объекта. <br />
Веса <tex>\omega_i</tex> разумно задать так, чтобы они убывали по мере увеличения расстояния <tex>\rho(x,x_i)</tex>. Для этого можно ввести невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию <tex>K:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</tex>, называемую [[ядром]], и представить <tex>\omega_i</tex> в следующем виде : <br />
Веса <tex>\omega_i</tex> разумно задать так, чтобы они убывали по мере увеличения расстояния <tex>\rho(x,x_i)</tex>. Для этого можно ввести невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию <tex>K:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</tex>, называемую [[ядром]], и представить <tex>\omega_i</tex> в следующем виде : <br />

Версия 13:22, 5 января 2010

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Kolesnikov
Преподаватель: [[Участник:]]
Срок: 8 января 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Формула Надарая-Ватсона используется для решения задачи непараметрического восстановления регрессии.

Содержание

Постановка задачи

Пусть задано пространство объектов X и множество возможных ответов Y = \mathbb{R}. Существует неизвестная зависимость $y^*:X \rightarrow Y$, значения которой известны только на объектах обучающией выборки $ X^l = (x_i\ ,\ y_i)^l_{i=1},\ y_i = y^*(x_i) $. Требуется построить алгоритм a:\ X\rightarrow Y, аппроксимирующий неизвестную зависимость $y^*$. Предполагается, что на множестве X задана метрика \rho(x,x^').

Формула Надарая-Ватсона

Для вычисления $a(x) = \alpha$ при $ \forall x \in X$, воспользуемся методом наименьших квадратов: 

Q(\alpha;X^l) = \sum_{i=1}^l \omega_i(x)(\alpha-y_i)^2 \rightarrow \underset{\alpha \in \mathbb{R}}{min}, где \omega_i - это вес i-ого объекта.

Веса \omega_i разумно задать так, чтобы они убывали по мере увеличения расстояния \rho(x,x_i). Для этого можно ввести невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию K:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty), называемую ядром, и представить \omega_i в следующем виде :
\omega_i(x) = K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )
Приравняв нулю производную \frac{\partial Q}{\partial \alpha} = 0,получаем формулу Надалая-Ватсона : 

$a(x;X^l) = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_i\omega_i(x)}{\sum_{i=1}^{l} \omega_i(x)}$

Обоснование формулы

Литература

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%92%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0»
Личные инструменты