|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | '''Критерии согласия''' - это критерии проверки гипотез о законе распределения вероятностей.
| + | Метод LSD |
| - | Такие критерии подразделяются на два класса:
| + | |
| - | # '''Общие критерии согласия''' применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.
| + | |
| - | # '''Специальные критерии согласия''' предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.
| + | |
| - | | + | |
| - | =Общие критерии согласия=
| + | |
| - | '''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0: F_n(x) = F(x)</tex>, где <tex>F_n(x)</tex> - эмпирическая функция распределения вероятностей;
| + | |
| - | <tex>F(x)</tex> - гипотетическая функция распределения вероятностей.
| + | |
| - | | + | |
| - | Группы общих критериев согласия:
| + | |
| - | *критерии, основанные на изучении разницы между теоретической плотностью распределения и эмпирической гистограммой;
| + | |
| - | *критерии, основанные на расстоянии между теоретической и эмпирической функциями распределения вероятностей;
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распределения и эмпирической гистограммы==
| + | |
| - | *[[Критерий хи-квадрат|Критерий согласия хи-квадрат]] <ref>''Karl Pearson.'' On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of Correlated System of Variables is such that it can be Reasonably Supposed to have Arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine, 50, 157-175, 1900. </ref>
| + | |
| - | *[[Критерий числа пустых интервалов]] <ref>''Идье В., Драйад Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б.'' Статистические методы в экспериментальной физике. — М.: Атомиздат, 1976.</ref>
| + | |
| - | *[[Квартильный критерий Барнетта-Эйсена]] <ref>''Barnett A., Eisen E.'' A quartile test for differences in distribution. JASA. 1982. V. 77, №377. P. 47-51</ref>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функций распределения вероятностей==
| + | |
| - | Расстояние между эмпирической и теоретической функциями распределения вероятностей является весьма эффективной статистикой для проверки гипотез о виде закона распределения вероятностей случайной величины.
| + | |
| - | | + | |
| - | Критерии согласия, использующие различные варианты анализа расстояния между теоретической (<tex>\Phi(x)</tex>) и эмпирической (<tex>F(x)</tex>) функциями распределения:
| + | |
| - | | + | |
| - | {|class="standard"
| + | |
| - | ! Название критерия
| + | |
| - | ! Функционал расстояния
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Джини]]
| + | |
| - | | <tex> \int | F(x) - \Phi(x) | dx </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Крамера-фон Мизеса]]
| + | |
| - | | <tex> \int \{ F(x) - \Phi(x) \}^2 dx </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Колмогорова-Смирнова]] <ref>''Kolmogorov A. N.'' Confidence limits for an unknown distribution function. AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.</ref> <ref>''Смирнов Н.В.'' Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках. Бюллетенеь МГУ. Сер. А. Вып.2. 1939. С. 13-14.</ref>
| + | |
| - | | <tex> \sup_{-\infty < x < \infty} |F(x) - \Phi(x)| </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Реньи| Критерий Реньи (R-критерий)]] <ref> ''Renyi A.'' On the theory of order statistics. Acta Mathem. Acad. Scientarium Hungarical. 1953. V. 4. P. 191-232.</ref>
| + | |
| - | | <tex> \sup_{F(x) > a} \frac{|F(x) - \Phi(x)|}{F(x)} </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий омега-квадрат|Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса (Критерий омега-квадрат)]] <ref>''Смирнов Н.В.'' О критерии Крамера-фон Мизеса. Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4. №4(32). С. 196-197.</ref> <ref>''Мартынов Г.В.'' Критерии омега-квадрат. - М.:Наука. 1978.</ref>
| + | |
| - | | <tex> \int \{ F(x) - \Phi(x) \}^2 d\Phi(x) </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Андерсона-Дарлинга]] <ref> ''Anderson T.W., Darling D.A.'' A test for goodness-of-fit. JASA. 1954. V. 49. P. 765-769. </ref>
| + | |
| - | | <tex> \int \frac{\{ F(x) - \Phi(x) \}^2}{\Phi(x)\{1 - \Phi(x)\}}d\Phi(x) </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Купера]] <ref>''Kuiper N.H.'' Tests concerning random points on a circle. Proc. Konikl. Nederl. Akad. Van Wettenschappen. 1960. S. A. V. 63. P. 38-47.</ref>
| + | |
| - | | <tex> \sup_{-\infty < x < \infty} \{F(x) - \Phi(x)\} + \sup_{-\infty < x < \infty} \{ \Phi(x) - F(x) \} </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Ватсона]] <ref>''Watson G.S.'' Googness-of-fit tests on a circle. Biometrika. 1961. V. 48. № 1-2. P. 109-114.</ref>
| + | |
| - | | <tex> \int \left\{ F(x) - \Phi(x) - \int \left[ F(x) - \Phi(x) \right]d\Phi(x) \right\} d\Phi(x) </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | [[Критерий Фроцини]] <ref>''Frozini B. V.'' On the distribution and power of a goodness-of-fit statistic with parametric and nonparametric applications. "Goodness-of-fit". Ed. by Revesz P., Sarkadi K., Sen P.K., Amsterdam-Oxford- New York: North-Holland. Publ. Comp., 1987, P. 133-154.</ref>
| + | |
| - | | <tex> \int | F(x) - \Phi(x) | d\Phi(x) </tex>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | | + | |
| - | Другие критерии:
| + | |
| - | *[[Критерии согласия Дарбина]] <ref>''Darling J.'' The Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises tests. AMS. 1957. V. 28. P. 823-838.</ref> <ref>''Durbin J.'' Some methods of constructing exact tests. Biometrika. 1961. V. 48. № 1-2. P. 41-57.</ref>
| + | |
| - | | + | |
| - | =Специальные критерии согласия=
| + | |
| - | ==Нормальное распределение==
| + | |
| - | Нормальный закон распределения вероятностей получил наибольшее распространение в практических задачах обработки экспериментальных данных. Большинство прикладных методов математической статистики исходит из предположения нормальности распределения вероятностей изучаемых случайных величин.
| + | |
| - | Широкое распространения этого распределения вызвало необходимость разработки [[Критерии нормальности|специальных критериев согласия эмпирических распределений с нормальным]].
| + | |
| - | Существуют как модификации общих критериев согласия, так и критерии, созданные специально для проверки нормальности.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Экспоненциальное распределение==
| + | |
| - | Экспоненциальный закон распределения вероятностей является базовым законом, используемым в теории надежности. Его аналитическая простота делает его привлекательным для инженеров и исследователей.
| + | |
| - | | + | |
| - | Существует большое количество специальных критериев согласия для экспоненциального распределения:
| + | |
| - | *Критерий Шапиро-Уилка для экспоненциального распределения <ref>''Shapiro S.S., Wilk M.B.'' An analisys of variance test for the exponential distribution (complete samples). Technometrics. 1972. V. 14. P. 355-370. </ref>
| + | |
| - | *Критерии типа Колмогорова-Смирнова <ref>''Spinelli J.J., Stephens M.A.'' Tests for exponentiality when origin and scale paramters are unknown. Technometrics. 1987. V. 29. № 4. P. 471-476.</ref> <ref>''Spurrier J.D.'' On overview of tests of exponentiality. Commun. Stat.-Theor. Meth. 1984. V. 13. P. 1635-1654.</ref>
| + | |
| - | *Критерии типа Смирнова-Крамера-фон Мизеса для цензурированных данных. <ref>''Pettit A.N.'' Tests for the exponentionality distribution with censored data using Cramer-von Mises statistics. Biometrika. 1977. V. 64. № 3. P. 629-632.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Фроцини для экспоненциального распределения. <ref>''Frozini B. V.'' On the distribution and power of a goodness-of-fit statistic with parametric and nonparametric applications. "Goodness-of-fit". Ed. by Revesz P., Sarkadi K., Sen P.K., Amsterdam-Oxford- New York: North-Holland. Publ. Comp., 1987, P. 133-154.</ref>
| + | |
| - | *Корреляционный критерий экспоненциальности <ref>''Spinelli J.J., Stephens M.A.'' Tests for exponentiality when origin and scale paramters are unknown. Technometrics. 1987. V. 29. № 4. P. 471-476.</ref>
| + | |
| - | *Регрессионный критерий Брейна-Шапиро <ref>''Brain C.W., Shapiro S.S.'' A regression test for exponentiality: censored and complete samples. Technometrics. 1983. V. 25. № 1. P. 69-76.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Кимбера-Мичела. <ref>''Kimber A.C.'' Tests for the exponential, Weibull and Gumbel distributions based on the stabilized probability plot. Biometrika. 1985. V. 72. № 3. P. 661-663.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Фишера для экспоненциального распределения. <ref>''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. Стр. 293.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Бартлетта-Морана. <ref>''Moran P. A. P.'' The randomdivision of an interval, 11, JRSS, 1951, V. 13, P. 147-150.</ref> <ref>''Кокс С., Льюис П.'' Статистический анализ последовательностей событий. Пер. с англ. - М.: Мир. 1969.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Климко-Антла-Радемакера-Рокетта <ref>''Klimko L. A., Antle C. E., Rademaker A. W., Rockette H. E.'' Upper bounds for the power of invariant tests for the exponential distribution with Weibull alternative. Tachnometrics. 1975. V. 17. № 3. P. 357-360.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Холлендера-Прошана <ref>''Hollander M., Proshan F.'' Testing whether new is better than used. AMS. 1972. V. 43. P. 1136-1146.</ref> <ref>''Sturges H. A.'' The choice of a class interval. JASA. 1926. V .21. P. 65-66.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Кочара <ref>''Kochar S. C.'' Testing exponentiality against monotone failure rate average. Commun. Stat.-Theor. Meth. 1985. № 2. P. 381-392.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Эппса-Палли-Чёрго-Уэлча <ref>''Epps T.W., Pulley L.B.'' A test of exponentiality vs. monotone-hazard alternatives from the emphirical characteristics function. JRSS. Sec. B. 1986. V. 48. № 2. P. 206-216.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Бергмана <ref>''Bergman B.'' Crossing in the total time on test plot. Scand. J. Statist. 1977. V. 4. P. 171-177.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Шермана <ref>''Sherman B.'' Percentiles of the <tex>\omega_n</tex> statistic. AMS. 1957. V. 28. № 1. P. 257-261.</ref>
| + | |
| - | *Критерий наибольшего интервала <ref>''Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д.'' Математические методы в теории надежности. - М.: Наука, 1965.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Хартли <ref>''Hartley H. O.'' The maximum F-ratio as a short-cut test of heterogeneity of variance. Biometrika. 1950. V. 37. P. 308-312.</ref>
| + | |
| - | *Критерий показательных меток <ref>''Кокс С., Льюис П.'' Статистический анализ последовательностей событий. Пер. с англ. - М.: Мир. 1969.</ref>
| + | |
| - | *Ранговый критерий независимости интервалов <ref>''Wald. A., Wolfowitz J.'' An exact test of randomness in the nonparametric case based on serial correlation. AMS 1943. V. 14. P. 378-388.</ref> <ref>''Кокс С., Льюис П.'' Статистический анализ последовательностей событий. Пер. с англ. - М.: Мир. 1969.</ref>
| + | |
| - | *Критерии, основанные на трансформации экспоненциального распределения в равномерное
| + | |
| - | **Критерии <tex> \overline{U}, \widetilde{U}</tex> <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. Стр. 308. </ref>
| + | |
| - | **Критерий Гринвуда <ref>''Greenwood V.'' The statistical study of infection discase. JRSS. Sec. A. 1946. V. 109. P. 85-110.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Манн-Фертига-Шуера для распределения Вейбулла <ref>''Капур К., Ламберсон Л.'' Надежность и проектирование в технике. - М.: Мир. 1980.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Дешпанде <ref>''Deshpande J. V.'' A class of tests for exponentiality against increasing failure rate average alternatives. Biometrika. 1983. V. 70. P. 514-518.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Лоулесса <ref>''Lawless J. F.'' Statistical models and methods for lifetime data. - N.Y.: J. Welley, 1982.</ref>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Равномерное распределение==
| + | |
| - | Если <tex>x_1, \dots, x_n </tex> - выборка из распределения вероятностей с функцией <tex>F(x)</tex>, то случайная величина <tex> y_i = F(x_i) </tex> распределена равномерно на интервале [0,1]. Поэтому установление равномерности распределения является по существу критерием согласия наблюдаемых данных с любым теоретическим распределением. Этим и объясняется повышенный интерес к поиску простых в вычислительном отношении и эффективных критериев равномерности распределения.
| + | |
| - | *Критерий Кимбела <ref>''Kimball B F.'' Some basic theorems for developing tests of fit for the case of the nonparametric probability distribution function. 1. AMS. 1947. V. 18. P. 540-548.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Морана <ref>''Moran P. A. P.'' The random division of an intervals. JRSS. 1947. Sec. B. V. 9. P. 92-98.</ref>
| + | |
| - | *Критерий омега-квадрат <ref>''Smirnoff N.'' Sur la distribution de <tex>n\omega^2</tex>. Compte Rendus de l'Academie des Sciences. Paris. 1932. № 202. P. 449.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Шермана <ref>''Sherman B.'' A random variable related to the spacing of sample values. AMS. 1950. V. 21. № 3. P. 339-361.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Ченга-Спиринга <ref>''Cheng S. W., Spiring F. A.'' A test to identify the uniform distribution with applications to probability plotting and other distributions. IEEE Trans. Reliability. 1987. V. R-36. № 1. P. 98-105.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Саркади-Косика <ref>''Kosik P., Sarkadi K.'' A new goodness-of-fit test. Proc. of 5-th Pannonian Symp. of Math. Stat., Visegrad. Hungary. 20-24 May, 1985, P. 267-272.</ref>
| + | |
| - | *Энтропийный критерий Дудевича-ван дер Мюлена <ref>''Dudewiez E. J., van der Meulen E. C.'' Entropy-based tests of uniformity. JASA. 1981. V. 76. № 376. P. 967-974.</ref>
| + | |
| - | *Критерий равномерности Хегахи-Грина <ref>''Hegazy Y. A. S., Green J. R.'' Some new goodness-of-fit tests using order statistics. Appl. Statist. 1975. V. 24. № 3. P. 299-308.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Янга <ref>''Young D. L.'' The linear nearest neighbour statistic. Biometrika. 1982. V. 69. № 2.P. 477-480.</ref>
| + | |
| - | *Критерии типа Колмогорова-Смирнова <ref>''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. Стр. 330</ref>
| + | |
| - | *Критерий Фроцини для равномерного распределения <ref>''Frozini B. V.'' On the distribution and power of a goodness-of-fit statistic with parametric and nonparametric applications. "Goodness-of-fit". Ed. by Revesz P., Sarkadi K., Sen P.K., Amsterdam-Oxford- New York: North-Holland. Publ. Comp., 1987, P. 133-154.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Гринвуда-Кэсенберри-Миллера <ref>Quesenberry C. P., Miller F. L.'' Power studies of some tests for uniformity. J. Statist. Comput. Simul. 1977. V. 5. P. 169-191.</ref>
| + | |
| - | *"Сглаженный" критерий Неймана-Бартона <ref>''Neyman J.'' "Smooth" tests for goodness-of-fit. Scand. Aktuarietidsrift. 1937. V. 20. P. 149-199.</ref>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==Критерии симметрии==
| + | |
| - | Если отсутствуют предпосылки для проверки согласия эмпирического распределения с каким-либо теоретическим, то выявление даже самых общих свойств эмпирического распределения дает некоторую информацию для выбора приемов и методов обработки экспериментального материала.
| + | |
| - | | + | |
| - | Одним из таких практически важных свойств распределения является его симметричность относительно центра группирования значений случайной величины.
| + | |
| - | Существует много критериев, проверяющих симметрию:
| + | |
| - | *"Быстрый" критерий Кенуя <ref>''Кенуй М. Г.'' Быстрые статистические вычисления. Упрощенные методы оценивания и проверки. - М.: Статистика. 1979.</ref>
| + | |
| - | *Критерий симметрии Смирнова <ref>''Смирнов Н. В.'' О критерии симметрии закона распределения случайной величины. ДАН СССР. 1947. Т. 56. № 1. С. 13-16.</ref>
| + | |
| - | *Знаковый критерий симметрии <ref>''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. Стр. 337. </ref>
| + | |
| - | *Одновыборочный критерий Вилкоксона <ref>''Wilcoxon F.'' Individual comparisons by ranking methods. Biometrics, Bull. 1945. V. 1. P. 80-83.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Антилла-Керстинга-Цуккини <ref>''Antille A., Kersting G., Zicchini W.'' Testing symmetry. JASA. 1982. V. 77. № 379. P. 639-646.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Бхатачарья-Гаствирта-Райта (модифицированный критерий Вилкоксона) <ref>''Bhattachrya P. K. Gastwirth J. L. Wright A. L.'' Two modified Wilcoxon tests for symmetry about an unknown location parameters. Biometrika. 1982. V. 69. № 2. P. 377-382.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Финча <ref>''Finch S. J.'' Robust univariate test of symmetry. JASA. 1977. V. 72. № 358. P. 387-392.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Бооса <ref>''Boos D. D.'' A test for summetry assotiated with the Hodges-Lehmann estimator. JASA. 1982. V. 77. № 379. P. 647-651.</ref>.
| + | |
| - | *Критерий Гупты <ref>''Gupta M. K.'' An asymptotically nonparametric test of symmetry. AMS. 1967. V. 38. P. 849-866.</ref>
| + | |
| - | *Критерий Фрезера <ref>''Fraser D. A. S.'' Most powerfull rank-type tests. AMS. 1957. V. 28. P. 1040-1043.</ref>
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | =Ссылки=
| + | |
| - | <references/>
| + | |
| - | | + | |
| - | =Литература=
| + | |
| - | # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
| + | |
| - | # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Задание|Anton|Vokov|8 января 2010}}
| + | |
