Непараметрическая регрессия

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 13:26, 7 января 2010

Непараметрическая регрессия, в отличие от параметрических подходов, использует модель, которая не описывается конечным числом параметров.

Содержание

1 Введение
2 Отличие от параметрических подходов
3 Разновидности
4 Ядерное сглаживание
5 оценки
6 Оценки ортогональных разложений
7 Сглаживание сплайнами
8 Литература
9 Ссылки
10 См. также

Введение

Цель регрессионного анализа состоит в осуществлении разумной аппроксимации неизвестной функции отклика $Y(X)$ по известым точкам $(X_i,Y_i)_{i=1}^{m}$ . В случае малых ошибок наблюдения становится возможным сконцентрировать внимание на важных деталях средней зависимости $Y$ от $X$ при ее интерпретации.

Отличие от параметрических подходов

Процедура аппроксимации обычно называется сглаживанием. По существу эта аппроксимация функции отклика $Y$ может быть выполнена двумя способами. Довольно часто используется параметрический подход, заключающийся в предположении, что функция отклика $Y$ имеет некоторую предписанную функциональную форму, например, это прямая линия с неизвестными свободным членом и наклоном. Альтернативой этому может служить попытка оценить $Y$ непараметрически, без указания конкретного ее вида. Первый подход к анализу регрессионной зависимости называется параметрическим, поскольку предполагается, что вид функции полностью описывается конечным набором параметров. Типичный пример параметрической модели представляет собой полиномиальное уравнение регрессии, когда параметрами являются коэффициенты при неизвестных. Однако при параметрическом подходе молчаливо предполагается, что кривая может быть представлена в терминах параметрической модели, или, по крайней мере, имеется уверенность в том, что ошибка аппроксимации для наилучшего параметрического приближения пренебрежимо мала. Наоборот, в непараметрической модели регрессионной зависимости не производится проектирования данных в "прокрустово ложе" фиксированной параметризации. Предварительное задание параметрической модели может оказаться слишком ограничительным или чересчур малой размерности для аппроксимации непредвиденных характеристик, в то время как непараметрическое сглаживание предоставляет гибкие средства анализа неизвестных регрессионных зависимостей.

Непараметрический подход приводит, таким образом, к гибкому функциональному виду кривой регрессии.

Разновидности

Ядерное сглаживание

Одним из простейших методов является ядерное сглаживание. Этот метод прост в применении, не требует дополнительных математических сведений и понятен на интуитивном уровне. Ядерное сглаживание во многих случаях является подходящим средством. Существуют разнообразные альтернативные методы сглаживания такие, например, как сплайны, но в [Хардле В, гл3] показывается, что в асимптотическом смысле они эквивалентны ядерному сглаживанию.

Ключом к проведению качественного непараметрического оценивания является выбор подходящей ширины окна для имеющейся задачи. Хотя ядерная функция $K$ остается важной, ее главная роль состоит в обеспечении дифференцируемости и гладкости получающейся оценки. Ширина окна $h$ , с другой стороны, определяет поведение оценки в конечных выборках, что ядерная функция сделать просто не в состоянии. Существуют четыре общих подхода к выбору ширины окна:

референтные эвристические правила
методы подстановки
методы кросс-валидации
бутстраповские методы.

Ради аккуратности подчеркнем, что диктуемые данными методы выбора ширины окна $h$ не всегда гарантируют хороший результат.

Исходя из минимизации глобальной ошибки следует $h$ брать равным::

$h_{opt}=\[ \frac{\int{K^2(z)dz}}{ $\int{z^2K^2(z)dz} $^2 \int{\[y''(x)\]^2dx} }\]^{-1/5} m^{-1/5}$ , где $y(x)$ - неизвестная аппроксимируемая зависимость.

Референтные эвристические правила

Референтные эвристические правила выбора ширины окна используют стандартное семейство распределений для определения $h_{opt}$ .

Рассмотрим оценку Парзена-Розенблата для одномерной функции плотности

$\hat{y}(x)=\frac{1}{mh} \sum_{i=0}^m{K$ \frac{X_i-x}{h}$}$ .

В случае семейства ормальных рапределений и гаусовского ядра $h_{opt}=1.059*\sigma m^{-1/5}$ . На практике применяется $\hat{\sigma}$ , выборочное стандартное отклонение.

Методы подстановки

Методы подстановки, такие как в Sheather & Jones (1991), состоят в подстановке оценок неизвестной константы $\int{\[y''(x)\]^2dx$ в формулу для оптимальной ширины окна на основе первоначальной оценки $y''(x)$ , которая в свою очередь основана на «предварительной» ширине окна, например, найденной по правилу $1.059*\sigma m^{-1/5}$ . Все прочие константы в выражении для $h_{opt}$ известны после выбора ядерной функции $K$ (то есть $\int{K^2(z)dz}$ и $\int{z^2K^2(z)dz}$ известны). Хотя такие правила популярны, заинтересованный читатель может обратиться к работе Loader (1999), где обсуждаются относительные достоинства методов подстановки по сравнению с другими методами выбора ширины окна, обсуждаемыми ниже.

Методы кросс-валидации

Методы кросс-валидация на основе наименьших квадратов – это полностью автоматический и диктуемый данными метод выбора сглаживающего параметра. Этот метод основан на принципе выбора ширины окна, минимизирующей интегральную среднеквадратическую ошибку получающейся оценки. Интеграл квадрата разности $y(x)$ и $\hat{y}(x)$ имеет вид

$\int{\[y(x) - \hat{y}(x)\]^2dx } = \int{y^2(x)dx} - 2*\int{y(x)\hat{y}(x)dx} + \int{\hat{y}^2(x)dx}$

Можно заменить эти величины их выборочными аналогами, сделать поправку на смещение и получить целевую функцию, которую затем можно минимизировать с помощью численных методов. Этот подход был предложен в работах Rudemo (1982) и Bowman (1984). Для понимания сущности комментариев Loader (1999) в на Рис. 1 изображены оценки бимодальной плотности – ядерная оценка при применении правила подстановки и кросс-валидации на основе наименьших квадратов. Рис. 1 показывает, что на самом деле правило подстановки чрезмерно сглаживает, приводя к существенному смещению в левой вершине. Кросс-валидация на основе наименьших квадратов исправляет это, как отмечает Loader (1999), но ценой дополнительной вариации в правой вершине.

Одна из проблем данного подхода – его чувствительность к наличию округленных или дискретизированных данных, а также к мелкомасштабным эффектам в данных.

Из примера следует, что, возможно, ядерную оценку с фиксированным параметром h можно улучшить, и существуют «адаптивные» ядерные оценки, которые позволяют h меняться в точке $x$ или $X_i$ ; см. Abramson (1982) и Breiman, Meisel & Purcell (1977). Эти оценки, однако, способствуют введению ложного шума в оценку плотности. Однако метод с фиксированным h доминирует в прикладных исследованиях.

Бутстраповские методы

Faraway & Jhun (1990) предложили метод выбора ширины окна $h$ на основе бутстрапа путем оценивания интегральной среднеквадратичной ошибки для каждой фиксированной ширины окна и затем минимизации по всем значениям. Данный подход использует сглаженный бутстраповский метод на основе начальной оценки плотности. Один из недостатков этого подхода в том, что целевая функция является случайной, что может привести к проблемам при численной минимизации, а также его вычислительная сложность.

Ядерные веса определяют некоторую окрестность вокруг точки $x$ лежащей на сетке. Следующий вопрос сглаживания – полиномиальное приближение функции $y$ в этой окрестности.

Локально полиномиальное приближение

Рис. 2. Локально полиномиальное сглаживание

Простейшим полиномом приближения в такой окрестности является константа. Ядерная оценка минимизирует сумму квадратов невязок в окрестности точки $x$ , форма и размер которой определяется ядром $K$ .

Локально полиномиальное приближение и его связь с ядерным сглаживанием подробно исследованы в работе (Muller 1987), где показана их эквивалентность.

Подробнее также см. Алгоритм LOWESS

$k-NN$ оценки

Рис. 3. k-NN сглаживание

Конструкция оценок ближайших соседей отличается от ядерных оценок. Ядерная оценка определяется как взвешенное среднее переменнных отклика в фиксированной окрестности точки $x$ , причем веса определялись ядром $K$ и шириной окна $h$ . Оценка k-ближайших соседей представляет собой среднее взвешенное в изменяющейся окресности. эта Окрестность определяется только теми значениями переменной $X$ , которые являются $k$ ближайшими к $x$ по евклидову(обычно) расстоянию. Последовательность $k-NN$ весов была введена в работе Loftsgaarden, Quesenberry, (1965) для близкой задачи оценивания плотности и использовалась в Сомук, Hart(1967) для целей классификации.

Параметр сглаживания $k$ определяет степень гладкости оценки кривой. Он играет ту же роль, что и ширина окна для ядерных сглаживателей. Влияние переменного $k$ на качественные характеристики оценки аналогочино случаю ядерных оценок с прямоугольным ядром.

На Рис. 3. изображен пример сравнения ядерного сглаживания с квартическим ядром и $k-NN$ сглаживания. Ширина окна выбиралась методом кросс-проверки. Данные прогонялись через окна шириной $h=0.25$ для ядерного сглаживания на отрезке $[0,3]$ и $h=0.15$ для оси значений. Получившиеся кривые регрессии практически совпаают для $x\le 1$ , где лежит большая часть данных. При бо‘льших значения $x$ наблюдается существенное расхождение кривых: ядерая оцена показывает очевидное бимодальное соотношение, а симметризованная оценка ближайших соседей указвывает либо на ассимптоту, либо даже на слабое убывание с ростом дохода. В констексте задачи кажется, что последнее содержит больше смысла с точки зрения экономики...

Оценки ортогональных разложений

Рис. 4. Cглаживание c помощью ортогональных разложений

Предположим, что функция регрессии может быть представлена в виде ряда Фурье

$y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\beta_j\varphi_j(x)$ ,

где ${\{\varphi_j\}}_{j=0}^\infty$ - известна система базисных функций, а ${\{\beta_j\}}_{j=0}^\infty$ - неизвестные коэффициенты Фурье. В работе Szego (1959) приведены условия, при которых такое представление возможно. Хорошо известными системами базисных функций являются полиномы Лагерра и полиномы Лежандра. Как только фиксирован базис функций, проблема оценивания функции регрессии может быть сведена к оцениванию коэффициентов Фурье. Конечно, существует определенная трудность, состоящая в том, что может быть бесконечно много ненулевых коэффициентов $\beta_j$ . Таким образом, при заданном конечном объеме выборки $m$ можно эффективно оценить лишь подсножество коэффициентов.

Пример применения показан на Рис. 4.

Сглаживание сплайнами

Общей мерой близости к данным для некоторой кривой $g$ является сумма квадратов невязок

$\sum_{i=1}^{n}{(Y_i-g(X_i))}^2$

Литература

Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия. — 1989.

Ссылки

Loader, C.R. Bandwidth selection: Classical or plug-in? Annals of Statistics 27. — 1999. — С. 415–438.
Sheather, S., M. Jones A reliable data-based bandwidth selection method for kernel density estimation. Journal of Royal Statistical Society, Series B 53. — 1991. — С. 683–690.

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F»

Категория: Регрессионный анализ

@@ Строка 67: / Строка 67: @@
 ::<tex>y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\beta_j\varphi_j(x)</tex>,
 :где  <tex>{\{\varphi_j\}}_{j=0}^\infty</tex> - известна система базисных функций, а <tex>{\{\beta_j\}}_{j=0}^\infty</tex> - неизвестные коэффициенты Фурье. В работе Szego (1959) приведены условия, при которых такое представление возможно. Хорошо известными системами базисных функций являются [[полиномы Лагерра]] и [[полиномы Лежандра]]. Как только фиксирован базис функций, проблема оценивания функции регрессии может быть сведена к оцениванию коэффициентов Фурье. Конечно, существует определенная трудность, состоящая в том, что может быть бесконечно много ненулевых коэффициентов <tex>\beta_j</tex>. Таким образом, при заданном конечном объеме выборки <tex>m</tex> можно эффективно оценить лишь подсножество коэффициентов.
+:Пример применения показан на '''Рис. 4.'''
 == Сглаживание сплайнами==