Оценка эффективности природоохранных программ (пример)
Материал из MachineLearning.
(→Постановка задачи) |
|||
Строка 4: | Строка 4: | ||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
+ | Интегральный индикатор - линейная комбинация вида | ||
+ | <tex>\mathbf{q} = A\mathbf{w},</tex> где <tex> A = \{a_{ij}\}_{i=1,j=1}^{n,m}</tex> - матрица объекты-признаки, <tex> \mathbf{w} </tex> - вектор весов признаков. Заданы в ранговых шкалах экспертные оценки: <tex> \mathbf{q_0}, \mathbf{w_0}</tex>, допускающие произвольные монотонные преобразования. Пусть на наборах экспертных оценок | ||
+ | введено отношение порядка такое, что | ||
+ | <tex>q_1\geq q_2 \geq ... \geq q_n \geq 0;\ w_1\geq w_2\geq ... \geq w_n \geq 0.</tex> Множество всех таких векторов задается системой линейных неравенств <tex>J\mathbf{q}\geq 0,</tex> где | ||
+ | <tex>\underset{n\times n}J = | ||
+ | \left( | ||
+ | \begin{array}{rrrrrr} | ||
+ | 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right). | ||
+ | </tex> | ||
+ | Таким образом, заданным <tex> \mathbf{q}, \mathbf{w}</tex> можно поставить в соответствие матрицы <tex>J_q</tex> и <tex>J_w</tex> размеров соответственно <tex>n\times n</tex> | ||
+ | и <tex>m\times m</tex>. | ||
+ | Определим <tex>\mathcal{Q}</tex> — конус, задаваемый | ||
+ | матрицей <tex>J_q</tex> в пространстве интегральных индикаторов; <tex>\mathcal{W}</tex> — конус, задаваемый матрицей <tex>J_w</tex> в пространстве весов признаков. | ||
+ | |||
+ | ЗАДАЧА 1. Требуется найти в конусах <tex>\mathcal{W}</tex> и <tex> \mathcal{Q} </tex> векторы <tex> \mathbf{p} </tex> и <tex>\mathbf{q}</tex>, такие, что: | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \min\limits_{\mathbf{p},\mathbf{q}}\|\mathbf{q}-A\mathbf{p}\|:\ \mathbf{q} \in \mathcal{Q}, \mathbf{p} \in \mathcal{W}, \|\mathbf{q}\| = 1, \|\mathbf{p}\| = 1, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | </tex> | ||
+ | |||
+ | где <tex>\|.\|</tex> --- евклидова метрика в пространстве <tex>\mathbb{R}^n</tex>. | ||
+ | |||
+ | ЗАДАЧА 2. Найти вектор весов, который максимизирует коэффициент | ||
+ | корреляции между интегральными индикаторами: | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathbf{w_1} = \arg \underset{\mathbf{w} \in \mathcal{W}}{max} C(\mathbf{q_0}, A\mathbf{w}),</tex> | ||
+ | |||
+ | по этому вектору весов построить уточненный интегральный индикатор | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathbf{q_1} = A\mathbf{w_1}.</tex> |
Версия 11:14, 7 декабря 2010
Аннотация
Описан способ построения интегральных индикаторов качества объектов с использованием экспертных оценок и измеряемых данных. Каждый объект описан набором признаков в линейных шкалах. Используются экспертные оценки качества объектов и важности признаков, которые корректируются в процессе вычисления. Предполагается, что оценки выставлены в ранговых шкалах. Рассматривается задача получения таких интегральных индикаторов, которые не противоречили бы экспертным оценкам. Предложено два алгоритма уточнения экспертных оценок.
Постановка задачи
Интегральный индикатор - линейная комбинация вида где - матрица объекты-признаки, - вектор весов признаков. Заданы в ранговых шкалах экспертные оценки: , допускающие произвольные монотонные преобразования. Пусть на наборах экспертных оценок введено отношение порядка такое, что Множество всех таких векторов задается системой линейных неравенств где Таким образом, заданным можно поставить в соответствие матрицы и размеров соответственно и . Определим — конус, задаваемый матрицей в пространстве интегральных индикаторов; — конус, задаваемый матрицей в пространстве весов признаков.
ЗАДАЧА 1. Требуется найти в конусах и векторы и , такие, что:
где --- евклидова метрика в пространстве .
ЗАДАЧА 2. Найти вектор весов, который максимизирует коэффициент корреляции между интегральными индикаторами:
по этому вектору весов построить уточненный интегральный индикатор