Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 31: Строка 31:
Дано: <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0</tex> начальное приближение <tex>\mathbf w^0</tex>.
Дано: <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0</tex> начальное приближение <tex>\mathbf w^0</tex>.
 +
Найти: такой вектор <tex>\mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}</tex>, что
Найти: такой вектор <tex>\mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}</tex>, что

Версия 18:36, 7 декабря 2010

Аннотация

В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на на работе алгоритма уточнения экспертной информации.

Ключевые слова: интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.

Постановка задачи

Пусть X - пространство объектов, {\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X -выборка объектов. Каждый объект x\in X характеризуется набором ранговых признаков {\{f_j\}}_{j=1}^{n}.

Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы A размера m \times n, где a^{ik} - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.

Два объекта x_i и x_j при векторе весов признаков \mathbf w сравниваются следующим образом.

x_i не хуже x_j, если {\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0, где {u}^{ij}_k = 1, если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и {u}^{ij}_k = -1 в противном случае.

Вектор \mathbf w нормирован \sum_{k=1}^{n} w_k=1.

Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков \mathbf w.

Вектору \mathbf w соответствует матрица попарных сравнений Q(A,{\mathbf w}) размера m \times m, где q^{ij}=1, когда i-й объект не хуже j-го при указаном сравнении и q^{ij}=-1 в противном случае.q^{ii}=1 - всегда.

Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы Q_0 попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору. Пусть функционал потерь

L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2

Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.

Тогда задача формулируется следующим образом.

Дано: {\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0 начальное приближение \mathbf w^0.

Найти: такой вектор \mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}, что

{\mathbf w}^{\mbox {opt}} = \arg \min_{{\mathbf w}\in \mathcal{W}} L .

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Александр Фирстенко
Преподаватель: В.В.Стрижов
Срок: 24 декабря 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D0%BC_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»