Участник:EvgSokolov/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 45: Строка 45:
В первую очередь делается поправка интенсивностей проб для учета коэффициента сродства:
В первую очередь делается поправка интенсивностей проб для учета коэффициента сродства:
 +
{{eqno|2}}
::<tex> Y_{ijln}^* = Y_{ijln} - \hat \phi_{jn} \approx \theta_{in} + \gamma_{jln} + \varepsilon_{ijln} </tex>
::<tex> Y_{ijln}^* = Y_{ijln} - \hat \phi_{jn} \approx \theta_{in} + \gamma_{jln} + \varepsilon_{ijln} </tex>
Строка 64: Строка 65:
==== Партия микрочипов ====
==== Партия микрочипов ====
-
В данном случае индекс <tex>l</tex> может быть опущен, так как обрабатывается одна партия микрочипов.
+
В данном случае индекс <tex>l</tex> может быть опущен, так как обрабатывается одна партия микрочипов. Число чипов в новой партии будем обозначать через <tex>I</tex>
 +
 
 +
Введем следующие обозначения:
 +
* <tex> {\mathbf X} = 1_{J_n \times 1} \otimes \mathbf{E}_{I \times I} } </tex> — индикаторная матрица (<tex> 1_{m \times n} </tex> — матрица из единиц размера <tex> m \times n </tex>; <tex> {\mathbf E}_{n \times n} </tex> — единичная матрица размера <tex> n \times n </tex>; <tex> \otimes </tex> — [http://ru.wikipedia.org/wiki/Произведение_Кронекера произведение Кронекера]).
 +
* <tex> {\mathbf \theta} = \left( \theta_{1 n}, \dots, \theta_{I n} \right) </tex> — вектор экспрессий.
 +
* <tex> {\mathbf Y_{jn}^*} = \left( Y_{ijn}^* \right)_{i = 1}^{I} \in \mathbb{R}^I </tex> — вектор интенсивностей пробы <tex>j</tex> набора <tex>n</tex> на всех чипах партии.
 +
* <tex> {\mathbf Y_n^*} = \left( {\mathbf Y_{1,n}^*, \dots, Y_{J_n, n}^* } \right)^T \in \mathbb{R}^{I J_n}</tex> — вектор интенсивностей всех проб к гену <tex>n</tex> на всех чипах партии.
 +
* <tex> {\mathbf \delta} \in \mathbb{R}^{I J_n} </tex> — вектор случайных ошибок, соответствующих интенсивностям из <tex> {\mathbf Y_n^*} </tex>.
 +
 
 +
Тогда модель {{eqref|2}} можно записать в матричном виде:
 +
::<tex> \mathbf Y_n^* = X \theta + \delta </tex>

Версия 07:38, 24 октября 2011

Содержание

fRMA (Frozen Robust Multi-Array Analysis)

Рассматривается следующая модель уровня экспрессии:

(1)
Y_{ijkn} = \theta_{in} + \phi_{jn} + \gamma_{jkn} + \varepsilon_{ijkn}

Здесь используются следующие обозначения:

  • k — номер партии микрочипов k \in 1, \dots, K . Два чипа относятся к одной партии, если эксперименты с ними были проведены в одной лаборатории в одно и то же время.
  • i — номер микрочипа i \in 1, \dots, I_k .
  • n — номер набора проб n \in 1, \dots, N . Также через n мы будем обозначать номер гена, соответствующего n-му набору проб.
  • j — номер пробы i \in 1, \dots, J_n .
  • Y_{ijkn} — предобработанная (с вычтенным фоном и нормализованная) логарифмированная интенсивность пробы j из набора проб n микрочипа i из партии микрочипов k.
  • \theta_{in} — экспрессия гена n на i-м микрочипе.
  • \phi_{jn} — коэффициент сродства пробы j гену n.
  • \gamma_{jkn} — случайная ошибка, вызывающая различия между партиями проб.
  • \varepsilon_{ijkn} — случайная ошибка, вызывающая различия между пробами на чипах одной партии.

В данной модели предполагается, что пробы на разных чипах имеют одинаковую дисперсию случайной ошибки: \mathbb{D} \varepsilon_{ijkn} = \sigma_{jn}^2. Также делается предположение, что \gamma_{jkn} — это случайная величина, дисперсия которой не зависит от партии чипов: \mathbb{D} \gamma_{jkn} = \tau_{jn}^2.

Обучение модели

Для обучения необходимы данные с большого числа микрочипов.

Сначала ко всем микрочипам применяется метод квантильной нормализации, приводящий все данные к одному распределению. В дальнейшем будем называть это распределение «представительным».

Непосредственная настройка модели (1) при наличии выбросов в обучающей выборке крайне сложна, поэтому предлагается перейти к более простой задаче. Рассматривается упрощенная модель

Y_{ijn} = \theta_{in} + \phi_{jn} + \varepsilon_{ijn} .

По обучающей выборке находятся робастные оценки параметров \hat \theta_{in} и \hat \phi_{jn} для данной модели. Затем вычисляются остатки r_{ijkn} = Y_{ijkn} - \left( \hat \theta_{in} + \hat \phi_{jn} \right) , с помощью которых оцениваются дисперсии \sigma_{jn}^2 и \tau_{jn}^n:

\hat \tau_{jn}^2 = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \left( \bar r_{.jkn} - \bar r_{.j.n} \right)^2;
\hat \sigma_{jn}^2 = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} \left( r_{ijkn} - \bar r_{.jkn} \right)^2,

где \bar r_{.jkn} = \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} r_{ijkn},\; \bar r_{.j.n} = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} r_{ijkn} .

Обработка новых чипов

Рассмотрим процесс обработки новых чипов. Сначала делается фоновая поправка всех чипов методом RMA-свертки, затем с помощью квантильной нормализации интенсивности новых чипов приводятся к представительному распределению, полученному на этапе обучения. Последним шагом является суммаризация, которая подробно описана ниже.

В первую очередь делается поправка интенсивностей проб для учета коэффициента сродства:

(2)
Y_{ijln}^* = Y_{ijln} - \hat \phi_{jn} \approx \theta_{in} + \gamma_{jln} + \varepsilon_{ijln}

(здесь l — это индекс новой партии микрочипов).

Далее из скорректированных интенсивностей нужно получить робастную оценку для \theta. Это делается разными способами в зависимости от того, из скольких чипов состоит партия.

Один микрочип

В данном случае индексы i и l могут быть опущены опущены, так как обрабатывается один микрочип и одна партия.

Логарифмированная концентрация оценивается следующим образом:

\hat \theta_n = \frac{\sum_{j = 1}^{J_n} \frac{w_{jn}}{v_{jn}} Y_{jn}^*}{\sum_{j = 1}^{J_n} \frac{w_{jn}}{v_{jn}}} ,

где v_{jn} = \hat \tau_{jn}^2 + \hat \sigma_{jn}^2 — оценка дисперсии скорректированной интенсивности Y_{jn}^*, а w_{jn} — веса, соответствующие некоторой M-оценке.

Данная оценка учитывает с низкими весами выбросы (так как им соответствуют маленькие w_{jn}) и пробы с большой дисперсией шума.

Партия микрочипов

В данном случае индекс l может быть опущен, так как обрабатывается одна партия микрочипов. Число чипов в новой партии будем обозначать через I

Введем следующие обозначения:

  • {\mathbf X} = 1_{J_n \times 1} \otimes \mathbf{E}_{I \times I} } — индикаторная матрица ( 1_{m \times n} — матрица из единиц размера m \times n ; {\mathbf E}_{n \times n} — единичная матрица размера n \times n ; \otimes — произведение Кронекера).
  • {\mathbf \theta} = \left( \theta_{1 n}, \dots, \theta_{I n} \right) — вектор экспрессий.
  • {\mathbf Y_{jn}^*} = \left( Y_{ijn}^* \right)_{i = 1}^{I} \in \mathbb{R}^I — вектор интенсивностей пробы j набора n на всех чипах партии.
  • {\mathbf Y_n^*} = \left( {\mathbf Y_{1,n}^*, \dots, Y_{J_n, n}^* } \right)^T \in \mathbb{R}^{I J_n} — вектор интенсивностей всех проб к гену n на всех чипах партии.
  • {\mathbf \delta} \in \mathbb{R}^{I J_n} — вектор случайных ошибок, соответствующих интенсивностям из {\mathbf Y_n^*} .

Тогда модель (2) можно записать в матричном виде:

\mathbf Y_n^* = X \theta + \delta
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:EvgSokolov/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»
Личные инструменты