Участник:Vitsemgol/Биномиальное распределение одной случайной величины
Материал из MachineLearning.
(→Доказательство второе - Буняковского) |
(→Литература) |
||
Строка 72: | Строка 72: | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
<references /> | <references /> | ||
+ | |||
+ | ==См.также== | ||
+ | |||
+ | *[[Биномиальное распределение двух случайных величин]] | ||
+ | *[[Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] | ||
+ | *[[Мультиномиальное распределение независимых случайных величин]] | ||
+ | *[[Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин]] | ||
+ | *[[Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] | ||
+ | *[[Парадоксы мультиномиального распределения]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Категория:Вероятностные распределения]] |
Версия 09:16, 15 ноября 2013
Функция вероятности![]() | |
Функция распределения![]() | |
Параметры | |
Носитель | |
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | одно из |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Информационная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция | |
Содержание |
Определение
Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей одной случайной величины принимающей целочисленные значения
с вероятностями:
Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом называемым числом испытаний, и вещественным числом
называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из
независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью
то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы
независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.
Основные свойства
- Математическое ожидание:
- Дисперсия:
- Асимметрия:
при
распределение симметрично относительно центра
Асимптотические приближения при больших 
Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно.
В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).
Приближение Пуассона
Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения
близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром
Строгая формулировка: если и
таким образом, что
то
Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром
Тогда для произвольного множества
справедливо неравенство:
Нормальное приближение
Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а
фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении
в виде суммы
слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины
где
близко к стандартному нормальному.
Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины
Доказательство первое
Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание , то при условии
математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу
, что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.
Что и требовалось доказать
Доказательство второе - Буняковского
Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением на весь бином. [1]
Литература
- ↑ Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.
См.также
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы мультиномиального распределения